MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasless Structured version   Unicode version

Theorem imasless 14798
Description: The order relation defined on an image set is a subset of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasless.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasless.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasless.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasless.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasless.l  |-  .<_  =  ( le `  U )
Assertion
Ref Expression
imasless  |-  ( ph  -> 
.<_  C_  ( B  X.  B ) )

Proof of Theorem imasless
StepHypRef Expression
1 imasless.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasless.v . . 3  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasless.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imasless.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
5 eqid 2467 . . 3  |-  ( le
`  R )  =  ( le `  R
)
6 imasless.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  U )
71, 2, 3, 4, 5, 6imasle 14781 . 2  |-  ( ph  -> 
.<_  =  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F ) )
8 relco 5505 . . . 4  |-  Rel  (
( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )
9 relssdmrn 5528 . . . 4  |-  ( Rel  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F
)  ->  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  C_  ( dom  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( F  o.  ( le
`  R ) )  o.  `' F ) 
C_  ( dom  (
( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  X.  ran  ( ( F  o.  ( le
`  R ) )  o.  `' F ) )
11 dmco 5515 . . . . 5  |-  dom  (
( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  =  ( `' `' F " dom  ( F  o.  ( le `  R ) ) )
12 fof 5795 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F : V --> B )
13 frel 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V --> B  ->  Rel  F )
143, 12, 133syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Rel  F )
15 dfrel2 5457 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
F  <->  `' `' F  =  F
)
1614, 15sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' `' F  =  F
)
1716imaeq1d 5336 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' `' F " dom  ( F  o.  ( le `  R ) ) )  =  ( F " dom  ( F  o.  ( le `  R ) ) ) )
18 imassrn 5348 . . . . . . 7  |-  ( F
" dom  ( F  o.  ( le `  R
) ) )  C_  ran  F
19 forn 5798 . . . . . . . 8  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
203, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
2118, 20syl5sseq 3552 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F " dom  ( F  o.  ( le `  R ) ) )  C_  B )
2217, 21eqsstrd 3538 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' `' F " dom  ( F  o.  ( le `  R ) ) )  C_  B
)
2311, 22syl5eqss 3548 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  C_  B
)
24 rncoss 5263 . . . . 5  |-  ran  (
( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F ) 
C_  ran  ( F  o.  ( le `  R
) )
25 rnco2 5514 . . . . . 6  |-  ran  ( F  o.  ( le `  R ) )  =  ( F " ran  ( le `  R ) )
26 imassrn 5348 . . . . . . 7  |-  ( F
" ran  ( le `  R ) )  C_  ran  F
2726, 20syl5sseq 3552 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F " ran  ( le `  R ) )  C_  B )
2825, 27syl5eqss 3548 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( F  o.  ( le `  R ) )  C_  B )
2924, 28syl5ss 3515 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  C_  B
)
30 xpss12 5108 . . . 4  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  C_  B  /\  ran  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  C_  B
)  ->  ( dom  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F ) )  C_  ( B  X.  B ) )
3123, 29, 30syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dom  ( ( F  o.  ( le
`  R ) )  o.  `' F )  X.  ran  ( ( F  o.  ( le
`  R ) )  o.  `' F ) )  C_  ( B  X.  B ) )
3210, 31syl5ss 3515 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F
)  C_  ( B  X.  B ) )
337, 32eqsstrd 3538 1  |-  ( ph  -> 
.<_  C_  ( B  X.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002    o. ccom 5003   Rel wrel 5004   -->wf 5584   -onto->wfo 5586   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Basecbs 14493   lecple 14565    "s cimas 14762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-imas 14766
This theorem is referenced by:  xpsless  14838
  Copyright terms: Public domain W3C validator