MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasless Structured version   Unicode version

Theorem imasless 15397
Description: The order relation defined on an image set is a subset of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasless.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasless.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasless.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasless.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasless.l  |-  .<_  =  ( le `  U )
Assertion
Ref Expression
imasless  |-  ( ph  -> 
.<_  C_  ( B  X.  B ) )

Proof of Theorem imasless
StepHypRef Expression
1 imasless.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasless.v . . 3  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasless.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imasless.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
5 eqid 2429 . . 3  |-  ( le
`  R )  =  ( le `  R
)
6 imasless.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  U )
71, 2, 3, 4, 5, 6imasle 15380 . 2  |-  ( ph  -> 
.<_  =  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F ) )
8 relco 5353 . . . 4  |-  Rel  (
( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )
9 relssdmrn 5376 . . . 4  |-  ( Rel  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F
)  ->  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  C_  ( dom  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( F  o.  ( le
`  R ) )  o.  `' F ) 
C_  ( dom  (
( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  X.  ran  ( ( F  o.  ( le
`  R ) )  o.  `' F ) )
11 dmco 5363 . . . . 5  |-  dom  (
( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  =  ( `' `' F " dom  ( F  o.  ( le `  R ) ) )
12 fof 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F : V --> B )
13 frel 5749 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V --> B  ->  Rel  F )
143, 12, 133syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Rel  F )
15 dfrel2 5306 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
F  <->  `' `' F  =  F
)
1614, 15sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' `' F  =  F
)
1716imaeq1d 5187 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' `' F " dom  ( F  o.  ( le `  R ) ) )  =  ( F " dom  ( F  o.  ( le `  R ) ) ) )
18 imassrn 5199 . . . . . . 7  |-  ( F
" dom  ( F  o.  ( le `  R
) ) )  C_  ran  F
19 forn 5813 . . . . . . . 8  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
203, 19syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
2118, 20syl5sseq 3518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F " dom  ( F  o.  ( le `  R ) ) )  C_  B )
2217, 21eqsstrd 3504 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' `' F " dom  ( F  o.  ( le `  R ) ) )  C_  B
)
2311, 22syl5eqss 3514 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  C_  B
)
24 rncoss 5115 . . . . 5  |-  ran  (
( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F ) 
C_  ran  ( F  o.  ( le `  R
) )
25 rnco2 5362 . . . . . 6  |-  ran  ( F  o.  ( le `  R ) )  =  ( F " ran  ( le `  R ) )
26 imassrn 5199 . . . . . . 7  |-  ( F
" ran  ( le `  R ) )  C_  ran  F
2726, 20syl5sseq 3518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F " ran  ( le `  R ) )  C_  B )
2825, 27syl5eqss 3514 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( F  o.  ( le `  R ) )  C_  B )
2924, 28syl5ss 3481 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  C_  B
)
30 xpss12 4960 . . . 4  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  C_  B  /\  ran  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F )  C_  B
)  ->  ( dom  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F ) )  C_  ( B  X.  B ) )
3123, 29, 30syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dom  ( ( F  o.  ( le
`  R ) )  o.  `' F )  X.  ran  ( ( F  o.  ( le
`  R ) )  o.  `' F ) )  C_  ( B  X.  B ) )
3210, 31syl5ss 3481 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F
)  C_  ( B  X.  B ) )
337, 32eqsstrd 3504 1  |-  ( ph  -> 
.<_  C_  ( B  X.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870    C_ wss 3442    X. cxp 4852   `'ccnv 4853   dom cdm 4854   ran crn 4855   "cima 4857    o. ccom 4858   Rel wrel 4859   -->wf 5597   -onto->wfo 5599   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   lecple 15159    "s cimas 15361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-imas 15365
This theorem is referenced by:  xpsless  15437
  Copyright terms: Public domain W3C validator