Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasip Structured version   Unicode version

Theorem imasip 14765
 Description: The inner product of an image structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
imasbas.u s
imasbas.v
imasbas.f
imasbas.r
imasip.i
imasip.w
Assertion
Ref Expression
imasip
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem imasip
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasbas.u . . 3 s
2 imasbas.v . . 3
3 eqid 2460 . . 3
4 eqid 2460 . . 3
5 eqid 2460 . . 3 Scalar Scalar
6 eqid 2460 . . 3 Scalar Scalar
7 eqid 2460 . . 3
8 imasip.i . . 3
9 eqid 2460 . . 3
10 eqid 2460 . . 3
11 eqid 2460 . . 3
12 imasbas.f . . . 4
13 imasbas.r . . . 4
14 eqid 2460 . . . 4
151, 2, 12, 13, 3, 14imasplusg 14761 . . 3
16 eqid 2460 . . . 4
171, 2, 12, 13, 4, 16imasmulr 14762 . . 3
18 eqid 2460 . . . 4
191, 2, 12, 13, 5, 6, 7, 18imasvsca 14764 . . 3 Scalar
20 eqidd 2461 . . 3
21 eqidd 2461 . . 3 qTop qTop
22 eqid 2460 . . . 4
231, 2, 12, 13, 10, 22imasds 14757 . . 3 g
24 eqidd 2461 . . 3
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 12, 13imasval 14755 . 2 Scalar Scalar TopSet qTop
26 eqid 2460 . . 3 Scalar Scalar TopSet qTop Scalar Scalar TopSet qTop
2726imasvalstr 14696 . 2 Scalar Scalar TopSet qTop Struct ;
28 ipid 14614 . 2 Slot
29 snsstp3 4173 . . . 4 Scalar Scalar
30 ssun2 3661 . . . 4 Scalar Scalar Scalar Scalar
3129, 30sstri 3506 . . 3 Scalar Scalar
32 ssun1 3660 . . 3 Scalar Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
3331, 32sstri 3506 . 2 Scalar Scalar TopSet qTop
34 fvex 5867 . . . 4
352, 34syl6eqel 2556 . . 3
36 snex 4681 . . . . . 6
3736rgenw 2818 . . . . 5
38 iunexg 6750 . . . . 5
3935, 37, 38sylancl 662 . . . 4
4039ralrimivw 2872 . . 3
41 iunexg 6750 . . 3
4235, 40, 41syl2anc 661 . 2
43 imasip.w . 2
4425, 27, 28, 33, 42, 43strfv3 14514 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1374   wcel 1762  wral 2807  cvv 3106   cun 3467  csn 4020  ctp 4024  cop 4026  ciun 4318  ccnv 4991   ccom 4996  wfo 5577  cfv 5579  (class class class)co 6275  c1 9482  c2 10574  ;cdc 10965  cnx 14476  cbs 14479   cplusg 14544  cmulr 14545  Scalarcsca 14547  cvsca 14548  cip 14549  TopSetcts 14550  cple 14551  cds 14553  ctopn 14666   qTop cqtop 14747   s cimas 14748 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-imas 14752 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator