Theorem imasgrpf1 15760

Description: The image of a group under an injection is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasgrpf1.u	|- U = ( F "s R )
imasgrpf1.v	|- V = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
imasgrpf1	|- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> U e. Grp )

Proof of Theorem imasgrpf1

Dummy variables a b p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasgrpf1.u	. . . 4 |- U = ( F "s R )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> U = ( F "s R ) )
3		imasgrpf1.v	. . . 4 |- V = ( Base ` R )
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> V = ( Base ` R ) )
5		eqidd 2451	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` R ) )
6		f1f1orn 5736	. . . . 5 |- ( F : V -1-1-> B -> F : V -1-1-onto-> ran F )
7	6	adantr 465	. . . 4 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> F : V -1-1-onto-> ran F )
8		f1ofo 5732	. . . 4 |- ( F : V -1-1-onto-> ran F -> F : V -onto-> ran F )
9	7, 8	syl 16	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> F : V -onto-> ran F )
10	7	f1ocpbl 14551	. . 3 |- ( ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
11		simpr 461	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> R e. Grp )
12		eqid 2450	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
13	2, 4, 5, 9, 10, 11, 12	imasgrp 15759	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> ( U e. Grp /\ ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` U ) ) )
14	13	simpld 459	1 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> U e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1757   ran crn 4925   -1-1->wf1 5499   -onto->wfo 5500   -1-1-onto->wf1o 5501   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   Basecbs 14262   +g cplusg 14326   0gc0g 14466   "_s cimas 14530   Grpcgrp 15498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-sup 7778  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-fz 11525  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-sca 14342  df-vsca 14343  df-ip 14344  df-tset 14345  df-ple 14346  df-ds 14348  df-0g 14468  df-imas 14534  df-mnd 15503  df-grp 15633  df-minusg 15634

This theorem is referenced by:  xpsgrp  15762