Theorem imasgrpf1 16304

Description: The image of a group under an injection is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasgrpf1.u	|- U = ( F "s R )
imasgrpf1.v	|- V = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
imasgrpf1	|- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> U e. Grp )

Proof of Theorem imasgrpf1

Dummy variables a b p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasgrpf1.u	. . . 4 |- U = ( F "s R )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> U = ( F "s R ) )
3		imasgrpf1.v	. . . 4 |- V = ( Base ` R )
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> V = ( Base ` R ) )
5		eqidd 2383	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` R ) )
6		f1f1orn 5735	. . . . 5 |- ( F : V -1-1-> B -> F : V -1-1-onto-> ran F )
7	6	adantr 463	. . . 4 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> F : V -1-1-onto-> ran F )
8		f1ofo 5731	. . . 4 |- ( F : V -1-1-onto-> ran F -> F : V -onto-> ran F )
9	7, 8	syl 16	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> F : V -onto-> ran F )
10	7	f1ocpbl 14932	. . 3 |- ( ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
11		simpr 459	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> R e. Grp )
12		eqid 2382	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
13	2, 4, 5, 9, 10, 11, 12	imasgrp 16303	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> ( U e. Grp /\ ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` U ) ) )
14	13	simpld 457	1 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> U e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1399   e. wcel 1826   ran crn 4914   -1-1->wf1 5493   -onto->wfo 5494   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   +g cplusg 14702   0gc0g 14847   "_s cimas 14911   Grpcgrp 16170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-fz 11594  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-0g 14849  df-imas 14915  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-grp 16174  df-minusg 16175

This theorem is referenced by:  xpsgrp  16306