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Theorem imasgrp2 16801
Description: The image structure of a group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasgrp.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasgrp.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasgrp.p  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
imasgrp.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasgrp.e  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .+  b )
)  =  ( F `
 ( p  .+  q ) ) ) )
imasgrp2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
imasgrp2.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( x  .+  y )  e.  V
)
imasgrp2.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .+  y
)  .+  z )
)  =  ( F `
 ( x  .+  ( y  .+  z
) ) ) )
imasgrp2.3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  V )
imasgrp2.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  (  .0.  .+  x ) )  =  ( F `  x
) )
imasgrp2.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  N  e.  V )
imasgrp2.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  ( N  .+  x ) )  =  ( F `  .0.  ) )
Assertion
Ref Expression
imasgrp2  |-  ( ph  ->  ( U  e.  Grp  /\  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  U ) ) )
Distinct variable groups:    q, p, x, B    N, p    a,
b, p, q, x, y, z, ph    R, p, q    F, a, b, p, q, x, y, z    .+ , p, q, x, y    U, a, b, p, q, x, y, z    V, a, b, p, q, x, y, z    .0. , p, q, x
Allowed substitution hints:    B( y, z, a, b)    .+ ( z, a, b)    R( x, y, z, a, b)    N( x, y, z, q, a, b)    W( x, y, z, q, p, a, b)    .0. ( y, z, a, b)

Proof of Theorem imasgrp2
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasgrp.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasgrp.v . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasgrp.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imasgrp2.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
51, 2, 3, 4imasbas 15413 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  U ) )
6 eqidd 2452 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +g  `  U
)  =  ( +g  `  U ) )
7 imasgrp.e . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .+  b )
)  =  ( F `
 ( p  .+  q ) ) ) )
8 imasgrp.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
98oveqd 6307 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( a  .+  b
)  =  ( a ( +g  `  R
) b ) )
109fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  (
a  .+  b )
)  =  ( F `
 ( a ( +g  `  R ) b ) ) )
118oveqd 6307 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( p  .+  q
)  =  ( p ( +g  `  R
) q ) )
1211fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  (
p  .+  q )
)  =  ( F `
 ( p ( +g  `  R ) q ) ) )
1310, 12eqeq12d 2466 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( a  .+  b
) )  =  ( F `  ( p 
.+  q ) )  <-> 
( F `  (
a ( +g  `  R
) b ) )  =  ( F `  ( p ( +g  `  R ) q ) ) ) )
14133ad2ant1 1029 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( ( F `  ( a  .+  b ) )  =  ( F `  (
p  .+  q )
)  <->  ( F `  ( a ( +g  `  R ) b ) )  =  ( F `
 ( p ( +g  `  R ) q ) ) ) )
157, 14sylibd 218 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a ( +g  `  R
) b ) )  =  ( F `  ( p ( +g  `  R ) q ) ) ) )
16 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
17 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
1811adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .+  q
)  =  ( p ( +g  `  R
) q ) )
19 imasgrp2.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( x  .+  y )  e.  V
)
20193expb 1209 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  V )
2120caovclg 6461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .+  q
)  e.  V )
2218, 21eqeltrrd 2530 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p ( +g  `  R ) q )  e.  V )
233, 15, 1, 2, 4, 16, 17, 22imasaddf 15439 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +g  `  U
) : ( B  X.  B ) --> B )
24 fovrn 6439 . . . 4  |-  ( ( ( +g  `  U
) : ( B  X.  B ) --> B  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( u
( +g  `  U ) v )  e.  B
)
2523, 24syl3an1 1301 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( u
( +g  `  U ) v )  e.  B
)
26 forn 5796 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
273, 26syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
2827eleq2d 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ran  F  <-> 
u  e.  B ) )
2927eleq2d 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ran  F  <-> 
v  e.  B ) )
3027eleq2d 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ran  F  <-> 
w  e.  B ) )
3128, 29, 303anbi123d 1339 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )
32 fofn 5795 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F  Fn  V )
333, 32syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
34 fvelrnb 5912 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
u  e.  ran  F  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
35 fvelrnb 5912 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
v  e.  ran  F  <->  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v ) )
36 fvelrnb 5912 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
w  e.  ran  F  <->  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) )
3734, 35, 363anbi123d 1339 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  V  ->  (
( u  e.  ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
3833, 37syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
3931, 38bitr3d 259 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
40 3reeanv 2959 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  (
( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) )
4139, 40syl6bbr 267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( ( F `  x )  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w ) ) )
42 imasgrp2.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .+  y
)  .+  z )
)  =  ( F `
 ( x  .+  ( y  .+  z
) ) ) )
438adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
4443oveqd 6307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( ( x  .+  y ) ( +g  `  R
) z ) )
4544fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .+  y
)  .+  z )
)  =  ( F `
 ( ( x 
.+  y ) ( +g  `  R ) z ) ) )
4643oveqd 6307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .+  (
y  .+  z )
)  =  ( x ( +g  `  R
) ( y  .+  z ) ) )
4746fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
x  .+  ( y  .+  z ) ) )  =  ( F `  ( x ( +g  `  R ) ( y 
.+  z ) ) ) )
4842, 45, 473eqtr3d 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .+  y
) ( +g  `  R
) z ) )  =  ( F `  ( x ( +g  `  R ) ( y 
.+  z ) ) ) )
49 simpl 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  ph )
50193adant3r3 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  V )
51 simpr3 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
z  e.  V )
523, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 15438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  .+  y )  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U ) ( F `  z
) )  =  ( F `  ( ( x  .+  y ) ( +g  `  R
) z ) ) )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( F `  (
( x  .+  y
) ( +g  `  R
) z ) ) )
54 simpr1 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  x  e.  V )
5521caovclg 6461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .+  z
)  e.  V )
56553adantr1 1167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .+  z
)  e.  V )
573, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 15438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( y  .+  z )  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( +g  `  U ) ( F `  (
y  .+  z )
) )  =  ( F `  ( x ( +g  `  R
) ( y  .+  z ) ) ) )
5849, 54, 56, 57syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 ( y  .+  z ) ) )  =  ( F `  ( x ( +g  `  R ) ( y 
.+  z ) ) ) )
5948, 53, 583eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 ( y  .+  z ) ) ) )
603, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 15438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( +g  `  U ) ( F `  y
) )  =  ( F `  ( x ( +g  `  R
) y ) ) )
61603adant3r3 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 y ) )  =  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) ) )
6243oveqd 6307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( x ( +g  `  R
) y ) )
6362fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
x  .+  y )
)  =  ( F `
 ( x ( +g  `  R ) y ) ) )
6461, 63eqtr4d 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 y ) )  =  ( F `  ( x  .+  y ) ) )
6564oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U ) ( F `  z
) ) )
663, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 15438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  y )
( +g  `  U ) ( F `  z
) )  =  ( F `  ( y ( +g  `  R
) z ) ) )
67663adant3r1 1217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( F `  ( y ( +g  `  R ) z ) ) )
6843oveqd 6307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .+  z
)  =  ( y ( +g  `  R
) z ) )
6968fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
y  .+  z )
)  =  ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) ) )
7067, 69eqtr4d 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( F `  ( y  .+  z
) ) )
7170oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( ( F `  y ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  (
y  .+  z )
) ) )
7259, 65, 713eqtr4d 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) ) ) )
73 simp1 1008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  x )  =  u )
74 simp2 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  y )  =  v )
7573, 74oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( F `  y ) )  =  ( u ( +g  `  U ) v ) )
76 simp3 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  z )  =  w )
7775, 76oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( ( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U ) w ) )
7874, 76oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  y
) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( v ( +g  `  U ) w ) )
7973, 78oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( ( F `
 y ) ( +g  `  U ) ( F `  z
) ) )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) )
8077, 79eqeq12d 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) ) )  <->  ( ( u ( +g  `  U
) v ) ( +g  `  U ) w )  =  ( u ( +g  `  U
) ( v ( +g  `  U ) w ) ) ) )
8172, 80syl5ibcom 224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
82813exp2 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  ->  ( y  e.  V  ->  ( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) ) ) ) )
8382imp32 435 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) ) )
8483rexlimdv 2877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
8584rexlimdvva 2886 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
8641, 85sylbid 219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
8786imp 431 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U ) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U ) w ) ) )
88 fof 5793 . . . . 5  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F : V --> B )
893, 88syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V --> B )
90 imasgrp2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  V )
9189, 90ffvelrnd 6023 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  e.  B )
9233, 34syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ran  F  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
9328, 92bitr3d 259 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
94 simpl 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ph )
9590adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  .0.  e.  V )
96 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
973, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 15438 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  .0.  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U ) ( F `  x
) )  =  ( F `  (  .0.  ( +g  `  R
) x ) ) )
9894, 95, 96, 97syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  (  .0.  ( +g  `  R
) x ) ) )
998adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
10099oveqd 6307 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (  .0.  .+  x )  =  (  .0.  ( +g  `  R ) x ) )
101100fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  (  .0.  .+  x ) )  =  ( F `  (  .0.  ( +g  `  R
) x ) ) )
102 imasgrp2.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  (  .0.  .+  x ) )  =  ( F `  x
) )
10398, 101, 1023eqtr2d 2491 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  x
) )
104 oveq2 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u ) )
105 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  ( F `  x )  =  u )
106104, 105eqeq12d 2466 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  x
)  <->  ( ( F `
 .0.  ) ( +g  `  U ) u )  =  u ) )
107103, 106syl5ibcom 224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
)  =  u  -> 
( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u )  =  u ) )
108107rexlimdva 2879 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  ->  ( ( F `
 .0.  ) ( +g  `  U ) u )  =  u ) )
10993, 108sylbid 219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  ->  ( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u )  =  u ) )
110109imp 431 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B )  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u )  =  u )
11189adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  F : V --> B )
112 imasgrp2.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  N  e.  V )
113111, 112ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  N )  e.  B )
1143, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 15438 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( F `  N )
( +g  `  U ) ( F `  x
) )  =  ( F `  ( N ( +g  `  R
) x ) ) )
11594, 112, 96, 114syl3anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  N
) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  ( N ( +g  `  R
) x ) ) )
11699oveqd 6307 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( N  .+  x )  =  ( N ( +g  `  R ) x ) )
117116fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  ( N  .+  x ) )  =  ( F `  ( N ( +g  `  R
) x ) ) )
118 imasgrp2.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  ( N  .+  x ) )  =  ( F `  .0.  ) )
119115, 117, 1183eqtr2d 2491 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  N
) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  .0.  ) )
120 oveq1 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( F `  N )  ->  (
v ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( ( F `  N ) ( +g  `  U ) ( F `
 x ) ) )
121120eqeq1d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( F `  N )  ->  (
( v ( +g  `  U ) ( F `
 x ) )  =  ( F `  .0.  )  <->  ( ( F `
 N ) ( +g  `  U ) ( F `  x
) )  =  ( F `  .0.  )
) )
122121rspcev 3150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  B  /\  ( ( F `  N ) ( +g  `  U ) ( F `
 x ) )  =  ( F `  .0.  ) )  ->  E. v  e.  B  ( v
( +g  `  U ) ( F `  x
) )  =  ( F `  .0.  )
)
123113, 119, 122syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  E. v  e.  B  ( v
( +g  `  U ) ( F `  x
) )  =  ( F `  .0.  )
)
124 oveq2 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
v ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( v ( +g  `  U ) u ) )
125124eqeq1d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( v ( +g  `  U ) ( F `
 x ) )  =  ( F `  .0.  )  <->  ( v ( +g  `  U ) u )  =  ( F `  .0.  )
) )
126125rexbidv 2901 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  ( E. v  e.  B  ( v ( +g  `  U ) ( F `
 x ) )  =  ( F `  .0.  )  <->  E. v  e.  B  ( v ( +g  `  U ) u )  =  ( F `  .0.  ) ) )
127123, 126syl5ibcom 224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
)  =  u  ->  E. v  e.  B  ( v ( +g  `  U ) u )  =  ( F `  .0.  ) ) )
128127rexlimdva 2879 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  ->  E. v  e.  B  ( v ( +g  `  U ) u )  =  ( F `  .0.  ) ) )
12993, 128sylbid 219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  ->  E. v  e.  B  ( v ( +g  `  U ) u )  =  ( F `  .0.  ) ) )
130129imp 431 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B )  ->  E. v  e.  B  ( v
( +g  `  U ) u )  =  ( F `  .0.  )
)
1315, 6, 25, 87, 91, 110, 130isgrpde 16690 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  Grp )
1325, 6, 91, 110, 131grpidd2 16703 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  U ) )
133131, 132jca 535 1  |-  ( ph  ->  ( U  e.  Grp  /\  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   E.wrex 2738    X. cxp 4832   ran crn 4835    Fn wfn 5577   -->wf 5578   -onto->wfo 5580   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   +g cplusg 15190   0gc0g 15338    "s cimas 15402   Grpcgrp 16669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-0g 15340  df-imas 15407  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673
This theorem is referenced by:  imasgrp  16802  qusgrp2  16804
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