Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasgrp2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem imasgrp2 16801
 Description: The image structure of a group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasgrp.u s
imasgrp.v
imasgrp.p
imasgrp.f
imasgrp.e
imasgrp2.r
imasgrp2.1
imasgrp2.2
imasgrp2.3
imasgrp2.4
imasgrp2.5
imasgrp2.6
Assertion
Ref Expression
imasgrp2
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,,,,,,   ,,   ,,,,,,,   ,,,,   ,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,)   (,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,,)   (,,,)

Proof of Theorem imasgrp2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasgrp.u . . . 4 s
2 imasgrp.v . . . 4
3 imasgrp.f . . . 4
4 imasgrp2.r . . . 4
51, 2, 3, 4imasbas 15413 . . 3
6 eqidd 2452 . . 3
7 imasgrp.e . . . . . 6
8 imasgrp.p . . . . . . . . . 10
98oveqd 6307 . . . . . . . . 9
109fveq2d 5869 . . . . . . . 8
118oveqd 6307 . . . . . . . . 9
1211fveq2d 5869 . . . . . . . 8
1310, 12eqeq12d 2466 . . . . . . 7
14133ad2ant1 1029 . . . . . 6
157, 14sylibd 218 . . . . 5
16 eqid 2451 . . . . 5
17 eqid 2451 . . . . 5
1811adantr 467 . . . . . 6
19 imasgrp2.1 . . . . . . . 8
20193expb 1209 . . . . . . 7
2120caovclg 6461 . . . . . 6
2218, 21eqeltrrd 2530 . . . . 5
233, 15, 1, 2, 4, 16, 17, 22imasaddf 15439 . . . 4
24 fovrn 6439 . . . 4
2523, 24syl3an1 1301 . . 3
26 forn 5796 . . . . . . . . . 10
273, 26syl 17 . . . . . . . . 9
2827eleq2d 2514 . . . . . . . 8
2927eleq2d 2514 . . . . . . . 8
3027eleq2d 2514 . . . . . . . 8
3128, 29, 303anbi123d 1339 . . . . . . 7
32 fofn 5795 . . . . . . . . 9
333, 32syl 17 . . . . . . . 8
34 fvelrnb 5912 . . . . . . . . 9
35 fvelrnb 5912 . . . . . . . . 9
36 fvelrnb 5912 . . . . . . . . 9
3734, 35, 363anbi123d 1339 . . . . . . . 8
3833, 37syl 17 . . . . . . 7
3931, 38bitr3d 259 . . . . . 6
40 3reeanv 2959 . . . . . 6
4139, 40syl6bbr 267 . . . . 5
42 imasgrp2.2 . . . . . . . . . . . . 13
438adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15
4443oveqd 6307 . . . . . . . . . . . . . 14
4544fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13
4643oveqd 6307 . . . . . . . . . . . . . 14
4746fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13
4842, 45, 473eqtr3d 2493 . . . . . . . . . . . 12
49 simpl 459 . . . . . . . . . . . . 13
50193adant3r3 1219 . . . . . . . . . . . . 13
51 simpr3 1016 . . . . . . . . . . . . 13
523, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 15438 . . . . . . . . . . . . 13
5349, 50, 51, 52syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12
54 simpr1 1014 . . . . . . . . . . . . 13
5521caovclg 6461 . . . . . . . . . . . . . 14
56553adantr1 1167 . . . . . . . . . . . . 13
573, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 15438 . . . . . . . . . . . . 13
5849, 54, 56, 57syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12
5948, 53, 583eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . 11
603, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 15438 . . . . . . . . . . . . . 14
61603adant3r3 1219 . . . . . . . . . . . . 13
6243oveqd 6307 . . . . . . . . . . . . . 14
6362fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13
6461, 63eqtr4d 2488 . . . . . . . . . . . 12
6564oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11
663, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 15438 . . . . . . . . . . . . . 14
67663adant3r1 1217 . . . . . . . . . . . . 13
6843oveqd 6307 . . . . . . . . . . . . . 14
6968fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13
7067, 69eqtr4d 2488 . . . . . . . . . . . 12
7170oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11
7259, 65, 713eqtr4d 2495 . . . . . . . . . 10
73 simp1 1008 . . . . . . . . . . . . 13
74 simp2 1009 . . . . . . . . . . . . 13
7573, 74oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . 12
76 simp3 1010 . . . . . . . . . . . 12
7775, 76oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11
7874, 76oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . 12
7973, 78oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11
8077, 79eqeq12d 2466 . . . . . . . . . 10
8172, 80syl5ibcom 224 . . . . . . . . 9
82813exp2 1227 . . . . . . . 8
8382imp32 435 . . . . . . 7
8483rexlimdv 2877 . . . . . 6
8584rexlimdvva 2886 . . . . 5
8641, 85sylbid 219 . . . 4
8786imp 431 . . 3
88 fof 5793 . . . . 5
893, 88syl 17 . . . 4
90 imasgrp2.3 . . . 4
9189, 90ffvelrnd 6023 . . 3
9233, 34syl 17 . . . . . 6
9328, 92bitr3d 259 . . . . 5
94 simpl 459 . . . . . . . . 9
9590adantr 467 . . . . . . . . 9
96 simpr 463 . . . . . . . . 9
973, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 15438 . . . . . . . . 9
9894, 95, 96, 97syl3anc 1268 . . . . . . . 8
998adantr 467 . . . . . . . . . 10
10099oveqd 6307 . . . . . . . . 9
101100fveq2d 5869 . . . . . . . 8
102 imasgrp2.4 . . . . . . . 8
10398, 101, 1023eqtr2d 2491 . . . . . . 7
104 oveq2 6298 . . . . . . . 8
105 id 22 . . . . . . . 8
106104, 105eqeq12d 2466 . . . . . . 7
107103, 106syl5ibcom 224 . . . . . 6
108107rexlimdva 2879 . . . . 5
10993, 108sylbid 219 . . . 4
110109imp 431 . . 3
11189adantr 467 . . . . . . . . 9
112 imasgrp2.5 . . . . . . . . 9
113111, 112ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8
1143, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 15438 . . . . . . . . . 10
11594, 112, 96, 114syl3anc 1268 . . . . . . . . 9
11699oveqd 6307 . . . . . . . . . 10
117116fveq2d 5869 . . . . . . . . 9
118 imasgrp2.6 . . . . . . . . 9
119115, 117, 1183eqtr2d 2491 . . . . . . . 8
120 oveq1 6297 . . . . . . . . . 10
121120eqeq1d 2453 . . . . . . . . 9
122121rspcev 3150 . . . . . . . 8
123113, 119, 122syl2anc 667 . . . . . . 7
124 oveq2 6298 . . . . . . . . 9
125124eqeq1d 2453 . . . . . . . 8
126125rexbidv 2901 . . . . . . 7
127123, 126syl5ibcom 224 . . . . . 6
128127rexlimdva 2879 . . . . 5
12993, 128sylbid 219 . . . 4
130129imp 431 . . 3
1315, 6, 25, 87, 91, 110, 130isgrpde 16690 . 2
1325, 6, 91, 110, 131grpidd2 16703 . 2
133131, 132jca 535 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  wrex 2738   cxp 4832   crn 4835   wfn 5577  wf 5578  wfo 5580  cfv 5582  (class class class)co 6290  cbs 15121   cplusg 15190  c0g 15338   s cimas 15402  cgrp 16669 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-0g 15340  df-imas 15407  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673 This theorem is referenced by:  imasgrp  16802  qusgrp2  16804
 Copyright terms: Public domain W3C validator