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Theorem imasgrp2 16164
Description: The image structure of a group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasgrp.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasgrp.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasgrp.p  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
imasgrp.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasgrp.e  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .+  b )
)  =  ( F `
 ( p  .+  q ) ) ) )
imasgrp2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
imasgrp2.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( x  .+  y )  e.  V
)
imasgrp2.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .+  y
)  .+  z )
)  =  ( F `
 ( x  .+  ( y  .+  z
) ) ) )
imasgrp2.3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  V )
imasgrp2.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  (  .0.  .+  x ) )  =  ( F `  x
) )
imasgrp2.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  N  e.  V )
imasgrp2.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  ( N  .+  x ) )  =  ( F `  .0.  ) )
Assertion
Ref Expression
imasgrp2  |-  ( ph  ->  ( U  e.  Grp  /\  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  U ) ) )
Distinct variable groups:    q, p, x, B    N, p    a,
b, p, q, x, y, z, ph    R, p, q    F, a, b, p, q, x, y, z    .+ , p, q, x, y    U, a, b, p, q, x, y, z    V, a, b, p, q, x, y, z    .0. , p, q, x
Allowed substitution hints:    B( y, z, a, b)    .+ ( z, a, b)    R( x, y, z, a, b)    N( x, y, z, q, a, b)    W( x, y, z, q, p, a, b)    .0. ( y, z, a, b)

Proof of Theorem imasgrp2
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasgrp.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasgrp.v . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasgrp.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imasgrp2.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
51, 2, 3, 4imasbas 14891 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  U ) )
6 eqidd 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +g  `  U
)  =  ( +g  `  U ) )
7 imasgrp.e . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .+  b )
)  =  ( F `
 ( p  .+  q ) ) ) )
8 imasgrp.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
98oveqd 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( a  .+  b
)  =  ( a ( +g  `  R
) b ) )
109fveq2d 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  (
a  .+  b )
)  =  ( F `
 ( a ( +g  `  R ) b ) ) )
118oveqd 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( p  .+  q
)  =  ( p ( +g  `  R
) q ) )
1211fveq2d 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  (
p  .+  q )
)  =  ( F `
 ( p ( +g  `  R ) q ) ) )
1310, 12eqeq12d 2465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( a  .+  b
) )  =  ( F `  ( p 
.+  q ) )  <-> 
( F `  (
a ( +g  `  R
) b ) )  =  ( F `  ( p ( +g  `  R ) q ) ) ) )
14133ad2ant1 1018 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( ( F `  ( a  .+  b ) )  =  ( F `  (
p  .+  q )
)  <->  ( F `  ( a ( +g  `  R ) b ) )  =  ( F `
 ( p ( +g  `  R ) q ) ) ) )
157, 14sylibd 214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a ( +g  `  R
) b ) )  =  ( F `  ( p ( +g  `  R ) q ) ) ) )
16 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
17 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
1811adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .+  q
)  =  ( p ( +g  `  R
) q ) )
19 imasgrp2.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( x  .+  y )  e.  V
)
20193expb 1198 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  V )
2120caovclg 6452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .+  q
)  e.  V )
2218, 21eqeltrrd 2532 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p ( +g  `  R ) q )  e.  V )
233, 15, 1, 2, 4, 16, 17, 22imasaddf 14912 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +g  `  U
) : ( B  X.  B ) --> B )
24 fovrn 6430 . . . 4  |-  ( ( ( +g  `  U
) : ( B  X.  B ) --> B  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( u
( +g  `  U ) v )  e.  B
)
2523, 24syl3an1 1262 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( u
( +g  `  U ) v )  e.  B
)
26 forn 5788 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
273, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
2827eleq2d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ran  F  <-> 
u  e.  B ) )
2927eleq2d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ran  F  <-> 
v  e.  B ) )
3027eleq2d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ran  F  <-> 
w  e.  B ) )
3128, 29, 303anbi123d 1300 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )
32 fofn 5787 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F  Fn  V )
333, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
34 fvelrnb 5905 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
u  e.  ran  F  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
35 fvelrnb 5905 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
v  e.  ran  F  <->  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v ) )
36 fvelrnb 5905 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
w  e.  ran  F  <->  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) )
3734, 35, 363anbi123d 1300 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  V  ->  (
( u  e.  ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
3833, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
3931, 38bitr3d 255 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
40 3reeanv 3012 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  (
( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) )
4139, 40syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( ( F `  x )  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w ) ) )
42 imasgrp2.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .+  y
)  .+  z )
)  =  ( F `
 ( x  .+  ( y  .+  z
) ) ) )
438adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
4443oveqd 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( ( x  .+  y ) ( +g  `  R
) z ) )
4544fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .+  y
)  .+  z )
)  =  ( F `
 ( ( x 
.+  y ) ( +g  `  R ) z ) ) )
4643oveqd 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .+  (
y  .+  z )
)  =  ( x ( +g  `  R
) ( y  .+  z ) ) )
4746fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
x  .+  ( y  .+  z ) ) )  =  ( F `  ( x ( +g  `  R ) ( y 
.+  z ) ) ) )
4842, 45, 473eqtr3d 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .+  y
) ( +g  `  R
) z ) )  =  ( F `  ( x ( +g  `  R ) ( y 
.+  z ) ) ) )
49 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  ph )
50193adant3r3 1208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  V )
51 simpr3 1005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
z  e.  V )
523, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 14911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  .+  y )  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U ) ( F `  z
) )  =  ( F `  ( ( x  .+  y ) ( +g  `  R
) z ) ) )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( F `  (
( x  .+  y
) ( +g  `  R
) z ) ) )
54 simpr1 1003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  x  e.  V )
5521caovclg 6452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .+  z
)  e.  V )
56553adantr1 1156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .+  z
)  e.  V )
573, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 14911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( y  .+  z )  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( +g  `  U ) ( F `  (
y  .+  z )
) )  =  ( F `  ( x ( +g  `  R
) ( y  .+  z ) ) ) )
5849, 54, 56, 57syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 ( y  .+  z ) ) )  =  ( F `  ( x ( +g  `  R ) ( y 
.+  z ) ) ) )
5948, 53, 583eqtr4d 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 ( y  .+  z ) ) ) )
603, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 14911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( +g  `  U ) ( F `  y
) )  =  ( F `  ( x ( +g  `  R
) y ) ) )
61603adant3r3 1208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 y ) )  =  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) ) )
6243oveqd 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( x ( +g  `  R
) y ) )
6362fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
x  .+  y )
)  =  ( F `
 ( x ( +g  `  R ) y ) ) )
6461, 63eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 y ) )  =  ( F `  ( x  .+  y ) ) )
6564oveq1d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U ) ( F `  z
) ) )
663, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 14911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  y )
( +g  `  U ) ( F `  z
) )  =  ( F `  ( y ( +g  `  R
) z ) ) )
67663adant3r1 1206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( F `  ( y ( +g  `  R ) z ) ) )
6843oveqd 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .+  z
)  =  ( y ( +g  `  R
) z ) )
6968fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
y  .+  z )
)  =  ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) ) )
7067, 69eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( F `  ( y  .+  z
) ) )
7170oveq2d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( ( F `  y ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  (
y  .+  z )
) ) )
7259, 65, 713eqtr4d 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) ) ) )
73 simp1 997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  x )  =  u )
74 simp2 998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  y )  =  v )
7573, 74oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( F `  y ) )  =  ( u ( +g  `  U ) v ) )
76 simp3 999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  z )  =  w )
7775, 76oveq12d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( ( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U ) w ) )
7874, 76oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  y
) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( v ( +g  `  U ) w ) )
7973, 78oveq12d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( ( F `
 y ) ( +g  `  U ) ( F `  z
) ) )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) )
8077, 79eqeq12d 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) ) )  <->  ( ( u ( +g  `  U
) v ) ( +g  `  U ) w )  =  ( u ( +g  `  U
) ( v ( +g  `  U ) w ) ) ) )
8172, 80syl5ibcom 220 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
82813exp2 1215 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  ->  ( y  e.  V  ->  ( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) ) ) ) )
8382imp32 433 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) ) )
8483rexlimdv 2933 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
8584rexlimdvva 2942 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
8641, 85sylbid 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
8786imp 429 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U ) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U ) w ) ) )
88 fof 5785 . . . . 5  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F : V --> B )
893, 88syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V --> B )
90 imasgrp2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  V )
9189, 90ffvelrnd 6017 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  e.  B )
9233, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ran  F  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
9328, 92bitr3d 255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
94 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ph )
9590adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  .0.  e.  V )
96 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
973, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 14911 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  .0.  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U ) ( F `  x
) )  =  ( F `  (  .0.  ( +g  `  R
) x ) ) )
9894, 95, 96, 97syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  (  .0.  ( +g  `  R
) x ) ) )
998adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
10099oveqd 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (  .0.  .+  x )  =  (  .0.  ( +g  `  R ) x ) )
101100fveq2d 5860 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  (  .0.  .+  x ) )  =  ( F `  (  .0.  ( +g  `  R
) x ) ) )
102 imasgrp2.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  (  .0.  .+  x ) )  =  ( F `  x
) )
10398, 101, 1023eqtr2d 2490 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  x
) )
104 oveq2 6289 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u ) )
105 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  ( F `  x )  =  u )
106104, 105eqeq12d 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  x
)  <->  ( ( F `
 .0.  ) ( +g  `  U ) u )  =  u ) )
107103, 106syl5ibcom 220 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
)  =  u  -> 
( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u )  =  u ) )
108107rexlimdva 2935 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  ->  ( ( F `
 .0.  ) ( +g  `  U ) u )  =  u ) )
10993, 108sylbid 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  ->  ( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u )  =  u ) )
110109imp 429 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B )  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u )  =  u )
11189adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  F : V --> B )
112 imasgrp2.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  N  e.  V )
113111, 112ffvelrnd 6017 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  N )  e.  B )
1143, 15, 1, 2, 4, 16, 17imasaddval 14911 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( F `  N )
( +g  `  U ) ( F `  x
) )  =  ( F `  ( N ( +g  `  R
) x ) ) )
11594, 112, 96, 114syl3anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  N
) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  ( N ( +g  `  R
) x ) ) )
11699oveqd 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( N  .+  x )  =  ( N ( +g  `  R ) x ) )
117116fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  ( N  .+  x ) )  =  ( F `  ( N ( +g  `  R
) x ) ) )
118 imasgrp2.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  ( N  .+  x ) )  =  ( F `  .0.  ) )
119115, 117, 1183eqtr2d 2490 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  N
) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  .0.  ) )
120 oveq1 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( F `  N )  ->  (
v ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( ( F `  N ) ( +g  `  U ) ( F `
 x ) ) )
121120eqeq1d 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( F `  N )  ->  (
( v ( +g  `  U ) ( F `
 x ) )  =  ( F `  .0.  )  <->  ( ( F `
 N ) ( +g  `  U ) ( F `  x
) )  =  ( F `  .0.  )
) )
122121rspcev 3196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  B  /\  ( ( F `  N ) ( +g  `  U ) ( F `
 x ) )  =  ( F `  .0.  ) )  ->  E. v  e.  B  ( v
( +g  `  U ) ( F `  x
) )  =  ( F `  .0.  )
)
123113, 119, 122syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  E. v  e.  B  ( v
( +g  `  U ) ( F `  x
) )  =  ( F `  .0.  )
)
124 oveq2 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
v ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( v ( +g  `  U ) u ) )
125124eqeq1d 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( v ( +g  `  U ) ( F `
 x ) )  =  ( F `  .0.  )  <->  ( v ( +g  `  U ) u )  =  ( F `  .0.  )
) )
126125rexbidv 2954 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  ( E. v  e.  B  ( v ( +g  `  U ) ( F `
 x ) )  =  ( F `  .0.  )  <->  E. v  e.  B  ( v ( +g  `  U ) u )  =  ( F `  .0.  ) ) )
127123, 126syl5ibcom 220 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
)  =  u  ->  E. v  e.  B  ( v ( +g  `  U ) u )  =  ( F `  .0.  ) ) )
128127rexlimdva 2935 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  ->  E. v  e.  B  ( v ( +g  `  U ) u )  =  ( F `  .0.  ) ) )
12993, 128sylbid 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  ->  E. v  e.  B  ( v ( +g  `  U ) u )  =  ( F `  .0.  ) ) )
130129imp 429 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B )  ->  E. v  e.  B  ( v
( +g  `  U ) u )  =  ( F `  .0.  )
)
1315, 6, 25, 87, 91, 110, 130isgrpde 16053 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  Grp )
1325, 6, 91, 110, 131grpidd2 16066 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  U ) )
133131, 132jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( U  e.  Grp  /\  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   E.wrex 2794    X. cxp 4987   ran crn 4990    Fn wfn 5573   -->wf 5574   -onto->wfo 5576   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14614   +g cplusg 14679   0gc0g 14819    "s cimas 14883   Grpcgrp 16032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11684  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-0g 14821  df-imas 14887  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036
This theorem is referenced by:  imasgrp  16165  qusgrp2  16167
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