Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imasgim Structured version   Unicode version

Theorem imasgim 35412
Description: A relabeling of the elements of a group induces an isomorphism to the relabeled group. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasgim.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasgim.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasgim.f  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
imasgim.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
Assertion
Ref Expression
imasgim  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R GrpIso  U ) )

Proof of Theorem imasgim
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
3 eqid 2402 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 eqid 2402 . . 3  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
5 imasgim.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
6 imasgim.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
7 imasgim.v . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
8 eqidd 2403 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( +g  `  R
)  =  ( +g  `  R ) )
9 imasgim.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
10 f1ofo 5806 . . . . . 6  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F : V -onto-> B )
119, 10syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
129f1ocpbl 15139 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 c )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  -> 
( F `  (
a ( +g  `  R
) b ) )  =  ( F `  ( c ( +g  `  R ) d ) ) ) )
13 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
146, 7, 8, 11, 12, 5, 13imasgrp 16510 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  e.  Grp  /\  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  U ) ) )
1514simpld 457 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  Grp )
166, 7, 11, 5imasbas 15126 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  U ) )
17 f1oeq3 5792 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( Base `  U
)  ->  ( F : V -1-1-onto-> B  <->  F : V -1-1-onto-> ( Base `  U ) ) )
1816, 17syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : V -1-1-onto-> B  <->  F : V -1-1-onto-> ( Base `  U
) ) )
199, 18mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> ( Base `  U ) )
20 f1oeq2 5791 . . . . . 6  |-  ( V  =  ( Base `  R
)  ->  ( F : V -1-1-onto-> ( Base `  U
)  <->  F : ( Base `  R ) -1-1-onto-> ( Base `  U
) ) )
217, 20syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F : V -1-1-onto-> ( Base `  U )  <->  F :
( Base `  R ) -1-1-onto-> ( Base `  U ) ) )
2219, 21mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  R ) -1-1-onto-> ( Base `  U
) )
23 f1of 5799 . . . 4  |-  ( F : ( Base `  R
)
-1-1-onto-> ( Base `  U )  ->  F : ( Base `  R ) --> ( Base `  U ) )
2422, 23syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  R ) --> ( Base `  U ) )
257eleq2d 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( a  e.  V  <->  a  e.  ( Base `  R
) ) )
267eleq2d 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( b  e.  V  <->  b  e.  ( Base `  R
) ) )
2725, 26anbi12d 709 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  <->  ( a  e.  ( Base `  R
)  /\  b  e.  ( Base `  R )
) ) )
2811, 12, 6, 7, 5, 3, 4imasaddval 15146 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V  /\  b  e.  V
)  ->  ( ( F `  a )
( +g  `  U ) ( F `  b
) )  =  ( F `  ( a ( +g  `  R
) b ) ) )
2928eqcomd 2410 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V  /\  b  e.  V
)  ->  ( F `  ( a ( +g  `  R ) b ) )  =  ( ( F `  a ) ( +g  `  U
) ( F `  b ) ) )
30293expib 1200 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  ->  ( F `  ( a
( +g  `  R ) b ) )  =  ( ( F `  a ) ( +g  `  U ) ( F `
 b ) ) ) )
3127, 30sylbird 235 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  ( Base `  R
)  /\  b  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( F `  ( a ( +g  `  R ) b ) )  =  ( ( F `  a ) ( +g  `  U
) ( F `  b ) ) ) )
3231imp 427 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  R
)  /\  b  e.  ( Base `  R )
) )  ->  ( F `  ( a
( +g  `  R ) b ) )  =  ( ( F `  a ) ( +g  `  U ) ( F `
 b ) ) )
331, 2, 3, 4, 5, 15, 24, 32isghmd 16600 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R 
GrpHom  U ) )
341, 2isgim 16634 . 2  |-  ( F  e.  ( R GrpIso  U
)  <->  ( F  e.  ( R  GrpHom  U )  /\  F : (
Base `  R ) -1-1-onto-> ( Base `  U ) ) )
3533, 22, 34sylanbrc 662 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R GrpIso  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   -->wf 5565   -onto->wfo 5567   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   0gc0g 15054    "s cimas 15118   Grpcgrp 16377    GrpHom cghm 16588   GrpIso cgim 16629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-0g 15056  df-imas 15122  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-ghm 16589  df-gim 16631
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem1  35414
  Copyright terms: Public domain W3C validator