Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1oxms Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem imasf1oxms 21504
 Description: The image of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1obl.u s
imasf1obl.v
imasf1obl.f
imasf1oxms.r
Assertion
Ref Expression
imasf1oxms

Proof of Theorem imasf1oxms
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1obl.u . . . . 5 s
2 imasf1obl.v . . . . 5
3 imasf1obl.f . . . . 5
4 imasf1oxms.r . . . . 5
5 eqid 2451 . . . . 5
6 eqid 2451 . . . . 5
7 eqid 2451 . . . . . . . 8
8 eqid 2451 . . . . . . . 8
97, 8xmsxmet 21471 . . . . . . 7
104, 9syl 17 . . . . . 6
112sqxpeqd 4860 . . . . . . 7
1211reseq2d 5105 . . . . . 6
132fveq2d 5869 . . . . . 6
1410, 12, 133eltr4d 2544 . . . . 5
151, 2, 3, 4, 5, 6, 14imasf1oxmet 21390 . . . 4
16 f1ofo 5821 . . . . . . 7
173, 16syl 17 . . . . . 6
181, 2, 17, 4imasbas 15413 . . . . 5
1918fveq2d 5869 . . . 4
2015, 19eleqtrd 2531 . . 3
21 ssid 3451 . . 3
22 xmetres2 21376 . . 3
2320, 21, 22sylancl 668 . 2
24 eqid 2451 . . . 4
25 eqid 2451 . . . 4
261, 2, 17, 4, 24, 25imastopn 20735 . . 3 qTop
2724, 7, 8xmstopn 21466 . . . . . 6
284, 27syl 17 . . . . 5
2912fveq2d 5869 . . . . 5
3028, 29eqtr4d 2488 . . . 4
3130oveq1d 6305 . . 3 qTop qTop
32 blbas 21445 . . . . . 6
3314, 32syl 17 . . . . 5
34 unirnbl 21435 . . . . . . 7
35 f1oeq2 5806 . . . . . . 7
3614, 34, 353syl 18 . . . . . 6
373, 36mpbird 236 . . . . 5
38 eqid 2451 . . . . . 6
3938tgqtop 20727 . . . . 5 qTop qTop
4033, 37, 39syl2anc 667 . . . 4 qTop qTop
41 eqid 2451 . . . . . . 7
4241mopnval 21453 . . . . . 6
4314, 42syl 17 . . . . 5
4443oveq1d 6305 . . . 4 qTop qTop
45 eqid 2451 . . . . . . 7
4645mopnval 21453 . . . . . 6
4715, 46syl 17 . . . . 5
48 xmetf 21344 . . . . . . . 8
4920, 48syl 17 . . . . . . 7
50 ffn 5728 . . . . . . 7
51 fnresdm 5685 . . . . . . 7
5249, 50, 513syl 18 . . . . . 6
5352fveq2d 5869 . . . . 5
543ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15
55 f1of1 5813 . . . . . . . . . . . . . . 15
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
57 cnvimass 5188 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 f1odm 5818 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5954, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
6057, 59syl5sseq 3480 . . . . . . . . . . . . . 14
6114ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15
62 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . . 15
63 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15
64 blssm 21433 . . . . . . . . . . . . . . 15
6561, 62, 63, 64syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . 14
66 f1imaeq 6166 . . . . . . . . . . . . . 14
6756, 60, 65, 66syl12anc 1266 . . . . . . . . . . . . 13
6854, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
69 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 foimacnv 5831 . . . . . . . . . . . . . . 15
7168, 69, 70syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14
721ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s
732ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16
744ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7572, 73, 54, 74, 5, 6, 61, 62, 63imasf1obl 21503 . . . . . . . . . . . . . . 15
7675eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . 14
7771, 76eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . . 13
7867, 77bitr3d 259 . . . . . . . . . . . 12
79782rexbidva 2907 . . . . . . . . . . 11
803adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
81 f1ofn 5815 . . . . . . . . . . . 12
82 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . 15
8382eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . 14
8483rexbidv 2901 . . . . . . . . . . . . 13
8584rexrn 6024 . . . . . . . . . . . 12
8680, 81, 853syl 18 . . . . . . . . . . 11
87 forn 5796 . . . . . . . . . . . . 13
8880, 16, 873syl 18 . . . . . . . . . . . 12
8988rexeqdv 2994 . . . . . . . . . . 11
9079, 86, 893bitr2d 285 . . . . . . . . . 10
9114adantr 467 . . . . . . . . . . 11
92 blrn 21424 . . . . . . . . . . 11
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . 10
9415adantr 467 . . . . . . . . . . 11
95 blrn 21424 . . . . . . . . . . 11
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . 10
9790, 93, 963bitr4d 289 . . . . . . . . 9
9897pm5.32da 647 . . . . . . . 8
99 f1ofo 5821 . . . . . . . . . 10
10037, 99syl 17 . . . . . . . . 9
10138elqtop2 20716 . . . . . . . . 9 qTop
10233, 100, 101syl2anc 667 . . . . . . . 8 qTop
103 blf 21422 . . . . . . . . . . . 12
104 frn 5735 . . . . . . . . . . . 12
10515, 103, 1043syl 18 . . . . . . . . . . 11
106105sseld 3431 . . . . . . . . . 10
107 elpwi 3960 . . . . . . . . . 10
108106, 107syl6 34 . . . . . . . . 9
109108pm4.71rd 641 . . . . . . . 8
11098, 102, 1093bitr4d 289 . . . . . . 7 qTop
111110eqrdv 2449 . . . . . 6 qTop
112111fveq2d 5869 . . . . 5 qTop
11347, 53, 1123eqtr4d 2495 . . . 4 qTop
11440, 44, 1133eqtr4d 2495 . . 3 qTop
11526, 31, 1143eqtrd 2489 . 2
116 eqid 2451 . . 3
117 eqid 2451 . . 3
11825, 116, 117isxms2 21463 . 2
11923, 115, 118sylanbrc 670 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  wrex 2738   wss 3404  cpw 3951  cuni 4198   cxp 4832  ccnv 4833   cdm 4834   crn 4835   cres 4836  cima 4837   wfn 5577  wf 5578  wf1 5579  wfo 5580  wf1o 5581  cfv 5582  (class class class)co 6290  cxr 9674  cbs 15121  cds 15199  ctopn 15320  ctg 15336   qTop cqtop 15401   s cimas 15402  cxmt 18955  cbl 18957  cmopn 18960  ctb 19920  cxme 21332 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-xms 21335 This theorem is referenced by:  imasf1oms  21505  xpsxms  21549
 Copyright terms: Public domain W3C validator