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Theorem imasf1oxmet 20608
Description: The image of an extended metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1oxmet.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasf1oxmet.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasf1oxmet.f  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
imasf1oxmet.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasf1oxmet.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
imasf1oxmet.d  |-  D  =  ( dist `  U
)
imasf1oxmet.m  |-  ( ph  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
Assertion
Ref Expression
imasf1oxmet  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )

Proof of Theorem imasf1oxmet
Dummy variables  a 
b  x  y  z  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1oxmet.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasf1oxmet.v . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasf1oxmet.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
4 f1ofo 5816 . . . . 5  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F : V -onto-> B )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
6 imasf1oxmet.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
7 eqid 2462 . . . 4  |-  ( dist `  R )  =  (
dist `  R )
8 imasf1oxmet.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  U
)
91, 2, 5, 6, 7, 8imasdsfn 14760 . . 3  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
101adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  U  =  ( F  "s  R ) )
112adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  V  =  ( Base `  R ) )
123adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  F : V -1-1-onto-> B )
136adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  R  e.  Z )
14 imasf1oxmet.e . . . . . . . 8  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
15 imasf1oxmet.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
1615adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
17 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
a  e.  V )
18 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
b  e.  V )
1910, 11, 12, 13, 14, 8, 16, 17, 18imasdsf1o 20607 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  ( a E b ) )
20 xmetcl 20564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  a  e.  V  /\  b  e.  V
)  ->  ( a E b )  e. 
RR* )
21203expb 1192 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( a E b )  e.  RR* )
2215, 21sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( a E b )  e.  RR* )
2319, 22eqeltrd 2550 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR* )
2423ralrimivva 2880 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. b  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR* )
25 f1ofn 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F  Fn  V )
263, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
27 oveq2 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
) D y )  =  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) ) )
2827eleq1d 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a ) D y )  e.  RR*  <->  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e. 
RR* ) )
2928ralrn 6017 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. y  e.  ran  F ( ( F `  a ) D y )  e.  RR*  <->  A. b  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e. 
RR* ) )
3026, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F ( ( F `  a ) D y )  e. 
RR* 
<-> 
A. b  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR* )
)
31 forn 5791 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
325, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
3332raleqdv 3059 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F ( ( F `  a ) D y )  e. 
RR* 
<-> 
A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR* )
)
3430, 33bitr3d 255 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. b  e.  V  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  e.  RR*  <->  A. y  e.  B  (
( F `  a
) D y )  e.  RR* ) )
3534ralbidv 2898 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. b  e.  V  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  e.  RR*  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  (
( F `  a
) D y )  e.  RR* ) )
3624, 35mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR* )
37 oveq1 6284 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
x D y )  =  ( ( F `
 a ) D y ) )
3837eleq1d 2531 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( x D y )  e.  RR*  <->  ( ( F `  a ) D y )  e. 
RR* ) )
3938ralbidv 2898 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  ( A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR*  <->  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e. 
RR* ) )
4039ralrn 6017 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. x  e.  ran  F A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR*  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e. 
RR* ) )
4126, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  F A. y  e.  B  ( x D y )  e. 
RR* 
<-> 
A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR* )
)
4232raleqdv 3059 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  F A. y  e.  B  ( x D y )  e. 
RR* 
<-> 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR* )
)
4341, 42bitr3d 255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `
 a ) D y )  e.  RR*  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x D y )  e.  RR* ) )
4436, 43mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR* )
45 ffnov 6383 . . 3  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> RR*  <->  ( D  Fn  ( B  X.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x D y )  e. 
RR* ) )
469, 44, 45sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> RR* )
47 xmeteq0 20571 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  a  e.  V  /\  b  e.  V
)  ->  ( (
a E b )  =  0  <->  a  =  b ) )
4816, 17, 18, 47syl3anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( a E b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
4919eqeq1d 2464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  =  0  <-> 
( a E b )  =  0 ) )
50 f1of1 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F : V -1-1-> B )
513, 50syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-> B
)
52 f1fveq 6151 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : V -1-1-> B  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 b )  <->  a  =  b ) )
5351, 52sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  b )  <-> 
a  =  b ) )
5448, 49, 533bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  =  0  <-> 
( F `  a
)  =  ( F `
 b ) ) )
5516adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
56 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  c  e.  V )
5717adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  a  e.  V )
5818adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  b  e.  V )
59 xmettri2 20573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( c  e.  V  /\  a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( a E b )  <_  ( (
c E a ) +e ( c E b ) ) )
6055, 56, 57, 58, 59syl13anc 1225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
a E b )  <_  ( ( c E a ) +e ( c E b ) ) )
6119adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
( F `  a
) D ( F `
 b ) )  =  ( a E b ) )
6210adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  U  =  ( F  "s  R
) )
6311adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  V  =  ( Base `  R
) )
6412adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  F : V -1-1-onto-> B )
6513adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  R  e.  Z )
6662, 63, 64, 65, 14, 8, 55, 56, 57imasdsf1o 20607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
( F `  c
) D ( F `
 a ) )  =  ( c E a ) )
6762, 63, 64, 65, 14, 8, 55, 56, 58imasdsf1o 20607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
( F `  c
) D ( F `
 b ) )  =  ( c E b ) )
6866, 67oveq12d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
( ( F `  c ) D ( F `  a ) ) +e ( ( F `  c
) D ( F `
 b ) ) )  =  ( ( c E a ) +e ( c E b ) ) )
6960, 61, 683brtr4d 4472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  c  e.  V )  ->  (
( F `  a
) D ( F `
 b ) )  <_  ( ( ( F `  c ) D ( F `  a ) ) +e ( ( F `
 c ) D ( F `  b
) ) ) )
7069ralrimiva 2873 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  A. c  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
( F `  c
) D ( F `
 a ) ) +e ( ( F `  c ) D ( F `  b ) ) ) )
71 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
z D ( F `
 a ) )  =  ( ( F `
 c ) D ( F `  a
) ) )
72 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
z D ( F `
 b ) )  =  ( ( F `
 c ) D ( F `  b
) ) )
7371, 72oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
( z D ( F `  a ) ) +e ( z D ( F `
 b ) ) )  =  ( ( ( F `  c
) D ( F `
 a ) ) +e ( ( F `  c ) D ( F `  b ) ) ) )
7473breq2d 4454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) +e ( z D ( F `  b ) ) )  <-> 
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
( F `  c
) D ( F `
 a ) ) +e ( ( F `  c ) D ( F `  b ) ) ) ) )
7574ralrn 6017 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. z  e.  ran  F ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) +e ( z D ( F `  b ) ) )  <->  A. c  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
( F `  c
) D ( F `
 a ) ) +e ( ( F `  c ) D ( F `  b ) ) ) ) )
7626, 75syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  F ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) +e
( z D ( F `  b ) ) )  <->  A. c  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( ( F `
 c ) D ( F `  a
) ) +e
( ( F `  c ) D ( F `  b ) ) ) ) )
7732raleqdv 3059 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  F ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) +e
( z D ( F `  b ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) +e
( z D ( F `  b ) ) ) ) )
7876, 77bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. c  e.  V  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  <_  (
( ( F `  c ) D ( F `  a ) ) +e ( ( F `  c
) D ( F `
 b ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) +e ( z D ( F `  b ) ) ) ) )
7978adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( A. c  e.  V  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  <_  (
( ( F `  c ) D ( F `  a ) ) +e ( ( F `  c
) D ( F `
 b ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) +e ( z D ( F `  b ) ) ) ) )
8070, 79mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) +e ( z D ( F `  b ) ) ) )
8154, 80jca 532 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) +e
( z D ( F `  b ) ) ) ) )
8281ralrimivva 2880 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. b  e.  V  ( ( ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) +e
( z D ( F `  b ) ) ) ) )
8327eqeq1d 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  (
( F `  a
) D ( F `
 b ) )  =  0 ) )
84 eqeq2 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
)  =  y  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) )
8583, 84bibi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( ( F `
 a ) D y )  =  0  <-> 
( F `  a
)  =  y )  <-> 
( ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  =  0  <-> 
( F `  a
)  =  ( F `
 b ) ) ) )
86 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
z D y )  =  ( z D ( F `  b
) ) )
8786oveq2d 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( z D ( F `  a ) ) +e ( z D y ) )  =  ( ( z D ( F `
 a ) ) +e ( z D ( F `  b ) ) ) )
8827, 87breq12d 4455 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a ) D y )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) +e ( z D y ) )  <-> 
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) +e ( z D ( F `  b ) ) ) ) )
8988ralbidv 2898 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  ( A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) +e ( z D y ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) +e ( z D ( F `  b ) ) ) ) )
9085, 89anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) +e
( z D y ) ) )  <->  ( (
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D ( F `
 b ) )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) +e ( z D ( F `  b
) ) ) ) ) )
9190ralrn 6017 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. y  e.  ran  F ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) +e
( z D y ) ) )  <->  A. b  e.  V  ( (
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D ( F `
 b ) )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) +e ( z D ( F `  b
) ) ) ) ) )
9226, 91syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) +e ( z D y ) ) )  <->  A. b  e.  V  ( ( ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) +e
( z D ( F `  b ) ) ) ) ) )
9332raleqdv 3059 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) +e ( z D y ) ) )  <->  A. y  e.  B  ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) +e
( z D y ) ) ) ) )
9492, 93bitr3d 255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. b  e.  V  ( ( ( ( F `  a
) D ( F `
 b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) +e
( z D ( F `  b ) ) ) )  <->  A. y  e.  B  ( (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) +e ( z D y ) ) ) ) )
9594ralbidv 2898 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. b  e.  V  ( ( ( ( F `  a
) D ( F `
 b ) )  =  0  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) +e
( z D ( F `  b ) ) ) )  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) +e ( z D y ) ) ) ) )
9682, 95mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) +e
( z D y ) ) ) )
9737eqeq1d 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
( F `  a
) D y )  =  0 ) )
98 eqeq1 2466 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
x  =  y  <->  ( F `  a )  =  y ) )
9997, 98bibi12d 321 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  <-> 
( ( ( F `
 a ) D y )  =  0  <-> 
( F `  a
)  =  y ) ) )
100 oveq2 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
z D x )  =  ( z D ( F `  a
) ) )
101100oveq1d 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( z D x ) +e ( z D y ) )  =  ( ( z D ( F `
 a ) ) +e ( z D y ) ) )
10237, 101breq12d 4455 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) )  <-> 
( ( F `  a ) D y )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) +e ( z D y ) ) ) )
103102ralbidv 2898 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  ( A. z  e.  B  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_  ( (
z D ( F `
 a ) ) +e ( z D y ) ) ) )
10499, 103anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) )  <->  ( (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) +e ( z D y ) ) ) ) )
105104ralbidv 2898 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) )  <->  A. y  e.  B  ( (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) +e ( z D y ) ) ) ) )
106105ralrn 6017 . . . . 5  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. x  e.  ran  F A. y  e.  B  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) )  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( (
( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  <_  ( ( z D ( F `  a ) ) +e ( z D y ) ) ) ) )
10726, 106syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  F A. y  e.  B  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( ( ( F `  a ) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) +e
( z D y ) ) ) ) )
10832raleqdv 3059 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  F A. y  e.  B  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) ) ) )
109107, 108bitr3d 255 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( ( ( F `  a
) D y )  =  0  <->  ( F `  a )  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  <_ 
( ( z D ( F `  a
) ) +e
( z D y ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
11096, 109mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) ) )
11115elfvexd 5887 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
112 fornex 6745 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  ( F : V -onto-> B  ->  B  e.  _V )
)
113111, 5, 112sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
114 isxmet 20557 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( D  e.  ( *Met `  B )  <->  ( D : ( B  X.  B ) --> RR*  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
115113, 114syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( *Met `  B
)  <->  ( D :
( B  X.  B
) --> RR*  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  B  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
11646, 110, 115mpbir2and 915 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   _Vcvv 3108   class class class wbr 4442    X. cxp 4992   ran crn 4995    |` cres 4996    Fn wfn 5576   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   -onto->wfo 5579   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   0cc0 9483   RR*cxr 9618    <_ cle 9620   +ecxad 11307   Basecbs 14481   distcds 14555    "s cimas 14750   *Metcxmt 18169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-hash 12363  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-xrs 14748  df-imas 14754  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-xmet 18178
This theorem is referenced by:  imasf1omet  20609  xpsxmet  20613  imasf1obl  20721  imasf1oxms  20722
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