MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1oms Structured version   Unicode version

Theorem imasf1oms 20080
Description: The image of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1obl.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasf1obl.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasf1obl.f  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
imasf1oms.r  |-  ( ph  ->  R  e.  MetSp )
Assertion
Ref Expression
imasf1oms  |-  ( ph  ->  U  e.  MetSp )

Proof of Theorem imasf1oms
StepHypRef Expression
1 imasf1obl.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasf1obl.v . . 3  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasf1obl.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
4 imasf1oms.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  MetSp )
5 msxms 20044 . . . 4  |-  ( R  e.  MetSp  ->  R  e.  *MetSp )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  *MetSp )
71, 2, 3, 6imasf1oxms 20079 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  *MetSp )
8 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( (
dist `  R )  |`  ( V  X.  V
) )  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
9 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( dist `  U )  =  (
dist `  U )
10 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
11 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( (
dist `  R )  |`  ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  R ) ) )  =  ( ( dist `  R )  |`  (
( Base `  R )  X.  ( Base `  R
) ) )
1210, 11msmet 20047 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  MetSp  ->  ( ( dist `  R )  |`  ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  R ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  R ) ) )
134, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  R
)  |`  ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  R ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  R
) ) )
142, 2xpeq12d 4880 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( V  X.  V
)  =  ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  R
) ) )
1514reseq2d 5125 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  R ) ) ) )
162fveq2d 5710 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Met `  V
)  =  ( Met `  ( Base `  R
) ) )
1713, 15, 163eltr4d 2524 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )  e.  ( Met `  V
) )
181, 2, 3, 4, 8, 9, 17imasf1omet 19966 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( dist `  U
)  e.  ( Met `  B ) )
19 f1ofo 5663 . . . . . . 7  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F : V -onto-> B )
203, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
211, 2, 20, 4imasbas 14465 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  U ) )
2221fveq2d 5710 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Met `  B
)  =  ( Met `  ( Base `  U
) ) )
2318, 22eleqtrd 2519 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dist `  U
)  e.  ( Met `  ( Base `  U
) ) )
24 ssid 3390 . . 3  |-  ( Base `  U )  C_  ( Base `  U )
25 metres2 19953 . . 3  |-  ( ( ( dist `  U
)  e.  ( Met `  ( Base `  U
) )  /\  ( Base `  U )  C_  ( Base `  U )
)  ->  ( ( dist `  U )  |`  ( ( Base `  U
)  X.  ( Base `  U ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  U ) ) )
2623, 24, 25sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  U
)  |`  ( ( Base `  U )  X.  ( Base `  U ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  U
) ) )
27 eqid 2443 . . 3  |-  ( TopOpen `  U )  =  (
TopOpen `  U )
28 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
29 eqid 2443 . . 3  |-  ( (
dist `  U )  |`  ( ( Base `  U
)  X.  ( Base `  U ) ) )  =  ( ( dist `  U )  |`  (
( Base `  U )  X.  ( Base `  U
) ) )
3027, 28, 29isms 20039 . 2  |-  ( U  e.  MetSp 
<->  ( U  e.  *MetSp  /\  ( ( dist `  U )  |`  (
( Base `  U )  X.  ( Base `  U
) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  U ) ) ) )
317, 26, 30sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  U  e.  MetSp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3343    X. cxp 4853    |` cres 4857   -onto->wfo 5431   -1-1-onto->wf1o 5432   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Basecbs 14189   distcds 14262   TopOpenctopn 14375    "s cimas 14457   Metcme 17817   *MetSpcxme 19907   MetSpcmt 19908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-supp 6706  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-fsupp 7636  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-xneg 11104  df-xadd 11105  df-xmul 11106  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-seq 11822  df-hash 12119  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-ip 14271  df-tset 14272  df-ple 14273  df-ds 14275  df-rest 14376  df-topn 14377  df-0g 14395  df-gsum 14396  df-topgen 14397  df-xrs 14455  df-qtop 14460  df-imas 14461  df-mre 14539  df-mrc 14540  df-acs 14542  df-mnd 15430  df-submnd 15480  df-mulg 15563  df-cntz 15850  df-cmn 16294  df-psmet 17824  df-xmet 17825  df-met 17826  df-bl 17827  df-mopn 17828  df-top 18518  df-bases 18520  df-topon 18521  df-topsp 18522  df-xms 19910  df-ms 19911
This theorem is referenced by:  xpsms  20125
  Copyright terms: Public domain W3C validator