MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1oms Structured version   Unicode version

Theorem imasf1oms 20863
Description: The image of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1obl.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasf1obl.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasf1obl.f  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
imasf1oms.r  |-  ( ph  ->  R  e.  MetSp )
Assertion
Ref Expression
imasf1oms  |-  ( ph  ->  U  e.  MetSp )

Proof of Theorem imasf1oms
StepHypRef Expression
1 imasf1obl.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasf1obl.v . . 3  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasf1obl.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
4 imasf1oms.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  MetSp )
5 msxms 20827 . . . 4  |-  ( R  e.  MetSp  ->  R  e.  *MetSp )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  *MetSp )
71, 2, 3, 6imasf1oxms 20862 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  *MetSp )
8 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( (
dist `  R )  |`  ( V  X.  V
) )  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
9 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( dist `  U )  =  (
dist `  U )
10 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
11 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( (
dist `  R )  |`  ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  R ) ) )  =  ( ( dist `  R )  |`  (
( Base `  R )  X.  ( Base `  R
) ) )
1210, 11msmet 20830 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  MetSp  ->  ( ( dist `  R )  |`  ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  R ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  R ) ) )
134, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  R
)  |`  ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  R ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  R
) ) )
142sqxpeqd 5012 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( V  X.  V
)  =  ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  R
) ) )
1514reseq2d 5260 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  R ) ) ) )
162fveq2d 5857 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Met `  V
)  =  ( Met `  ( Base `  R
) ) )
1713, 15, 163eltr4d 2544 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )  e.  ( Met `  V
) )
181, 2, 3, 4, 8, 9, 17imasf1omet 20749 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( dist `  U
)  e.  ( Met `  B ) )
19 f1ofo 5810 . . . . . . 7  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F : V -onto-> B )
203, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
211, 2, 20, 4imasbas 14783 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  U ) )
2221fveq2d 5857 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Met `  B
)  =  ( Met `  ( Base `  U
) ) )
2318, 22eleqtrd 2531 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dist `  U
)  e.  ( Met `  ( Base `  U
) ) )
24 ssid 3506 . . 3  |-  ( Base `  U )  C_  ( Base `  U )
25 metres2 20736 . . 3  |-  ( ( ( dist `  U
)  e.  ( Met `  ( Base `  U
) )  /\  ( Base `  U )  C_  ( Base `  U )
)  ->  ( ( dist `  U )  |`  ( ( Base `  U
)  X.  ( Base `  U ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  U ) ) )
2623, 24, 25sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  U
)  |`  ( ( Base `  U )  X.  ( Base `  U ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  U
) ) )
27 eqid 2441 . . 3  |-  ( TopOpen `  U )  =  (
TopOpen `  U )
28 eqid 2441 . . 3  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
29 eqid 2441 . . 3  |-  ( (
dist `  U )  |`  ( ( Base `  U
)  X.  ( Base `  U ) ) )  =  ( ( dist `  U )  |`  (
( Base `  U )  X.  ( Base `  U
) ) )
3027, 28, 29isms 20822 . 2  |-  ( U  e.  MetSp 
<->  ( U  e.  *MetSp  /\  ( ( dist `  U )  |`  (
( Base `  U )  X.  ( Base `  U
) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  U ) ) ) )
317, 26, 30sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  U  e.  MetSp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1381    e. wcel 1802    C_ wss 3459    X. cxp 4984    |` cres 4988   -onto->wfo 5573   -1-1-onto->wf1o 5574   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   Basecbs 14506   distcds 14580   TopOpenctopn 14693    "s cimas 14775   Metcme 18275   *MetSpcxme 20690   MetSpcmt 20691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-iin 4315  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-se 4826  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-isom 5584  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6522  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-supp 6901  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-oadd 7133  df-er 7310  df-map 7421  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-fsupp 7829  df-sup 7900  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-7 10602  df-8 10603  df-9 10604  df-10 10605  df-n0 10799  df-z 10868  df-dec 10982  df-uz 11088  df-q 11189  df-rp 11227  df-xneg 11324  df-xadd 11325  df-xmul 11326  df-fz 11679  df-fzo 11801  df-seq 12084  df-hash 12382  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-rest 14694  df-topn 14695  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-topgen 14715  df-xrs 14773  df-qtop 14778  df-imas 14779  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-submnd 15838  df-mulg 15931  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-psmet 18282  df-xmet 18283  df-met 18284  df-bl 18285  df-mopn 18286  df-top 19269  df-bases 19271  df-topon 19272  df-topsp 19273  df-xms 20693  df-ms 20694
This theorem is referenced by:  xpsms  20908
  Copyright terms: Public domain W3C validator