MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1omet Structured version   Unicode version

Theorem imasf1omet 19963
Description: The image of a metric is a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1oxmet.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasf1oxmet.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasf1oxmet.f  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
imasf1oxmet.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasf1oxmet.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
imasf1oxmet.d  |-  D  =  ( dist `  U
)
imasf1omet.m  |-  ( ph  ->  E  e.  ( Met `  V ) )
Assertion
Ref Expression
imasf1omet  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )

Proof of Theorem imasf1omet
Dummy variables  a 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1oxmet.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasf1oxmet.v . . 3  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasf1oxmet.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
4 imasf1oxmet.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
5 imasf1oxmet.e . . 3  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
6 imasf1oxmet.d . . 3  |-  D  =  ( dist `  U
)
7 imasf1omet.m . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( Met `  V ) )
8 metxmet 19921 . . . 4  |-  ( E  e.  ( Met `  V
)  ->  E  e.  ( *Met `  V
) )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9imasf1oxmet 19962 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
11 f1ofo 5660 . . . . 5  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F : V -onto-> B )
123, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
13 eqid 2443 . . . 4  |-  ( dist `  R )  =  (
dist `  R )
141, 2, 12, 4, 13, 6imasdsfn 14464 . . 3  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
151adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  U  =  ( F  "s  R ) )
162adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  V  =  ( Base `  R ) )
173adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  F : V -1-1-onto-> B )
184adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  R  e.  Z )
199adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
20 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
a  e.  V )
21 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
b  e.  V )
2215, 16, 17, 18, 5, 6, 19, 20, 21imasdsf1o 19961 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  ( a E b ) )
23 metcl 19919 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  ( Met `  V )  /\  a  e.  V  /\  b  e.  V )  ->  (
a E b )  e.  RR )
24233expb 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  ( Met `  V )  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  ->  ( a E b )  e.  RR )
257, 24sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( a E b )  e.  RR )
2622, 25eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR )
2726ralrimivva 2820 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. b  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR )
28 f1ofn 5654 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F  Fn  V )
293, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
30 oveq2 6111 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
) D y )  =  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) ) )
3130eleq1d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a ) D y )  e.  RR  <->  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR ) )
3231ralrn 5858 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. y  e.  ran  F ( ( F `  a ) D y )  e.  RR  <->  A. b  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR ) )
3329, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F ( ( F `  a ) D y )  e.  RR  <->  A. b  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR ) )
34 forn 5635 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
3512, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
3635raleqdv 2935 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F ( ( F `  a ) D y )  e.  RR  <->  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR ) )
3733, 36bitr3d 255 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. b  e.  V  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  e.  RR  <->  A. y  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  e.  RR ) )
3837ralbidv 2747 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. b  e.  V  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  e.  RR  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  (
( F `  a
) D y )  e.  RR ) )
3927, 38mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR )
40 oveq1 6110 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
x D y )  =  ( ( F `
 a ) D y ) )
4140eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( x D y )  e.  RR  <->  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR ) )
4241ralbidv 2747 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  ( A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR  <->  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR ) )
4342ralrn 5858 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. x  e.  ran  F A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR ) )
4429, 43syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  F A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR ) )
4535raleqdv 2935 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  F A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR ) )
4644, 45bitr3d 255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `
 a ) D y )  e.  RR  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x D y )  e.  RR ) )
4739, 46mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR )
48 ffnov 6206 . . 3  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> RR  <->  ( D  Fn  ( B  X.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR ) )
4914, 47, 48sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> RR )
50 ismet2 19920 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  B
)  <->  ( D  e.  ( *Met `  B )  /\  D : ( B  X.  B ) --> RR ) )
5110, 49, 50sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727    X. cxp 4850   ran crn 4853    |` cres 4854    Fn wfn 5425   -->wf 5426   -onto->wfo 5428   -1-1-onto->wf1o 5429   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   RRcr 9293   Basecbs 14186   distcds 14259    "s cimas 14454   *Metcxmt 17813   Metcme 17814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-hash 12116  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-xrs 14452  df-imas 14458  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-mulg 15560  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-xmet 17822  df-met 17823
This theorem is referenced by:  xpsmet  19969  imasf1oms  20077
  Copyright terms: Public domain W3C validator