MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1omet Structured version   Unicode version

Theorem imasf1omet 20745
Description: The image of a metric is a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1oxmet.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasf1oxmet.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasf1oxmet.f  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
imasf1oxmet.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasf1oxmet.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
imasf1oxmet.d  |-  D  =  ( dist `  U
)
imasf1omet.m  |-  ( ph  ->  E  e.  ( Met `  V ) )
Assertion
Ref Expression
imasf1omet  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )

Proof of Theorem imasf1omet
Dummy variables  a 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1oxmet.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasf1oxmet.v . . 3  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasf1oxmet.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
4 imasf1oxmet.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
5 imasf1oxmet.e . . 3  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
6 imasf1oxmet.d . . 3  |-  D  =  ( dist `  U
)
7 imasf1omet.m . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( Met `  V ) )
8 metxmet 20703 . . . 4  |-  ( E  e.  ( Met `  V
)  ->  E  e.  ( *Met `  V
) )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9imasf1oxmet 20744 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
11 f1ofo 5829 . . . . 5  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F : V -onto-> B )
123, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
13 eqid 2467 . . . 4  |-  ( dist `  R )  =  (
dist `  R )
141, 2, 12, 4, 13, 6imasdsfn 14785 . . 3  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
151adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  U  =  ( F  "s  R ) )
162adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  V  =  ( Base `  R ) )
173adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  F : V -1-1-onto-> B )
184adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  R  e.  Z )
199adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
20 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
a  e.  V )
21 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
b  e.  V )
2215, 16, 17, 18, 5, 6, 19, 20, 21imasdsf1o 20743 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  =  ( a E b ) )
23 metcl 20701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  ( Met `  V )  /\  a  e.  V  /\  b  e.  V )  ->  (
a E b )  e.  RR )
24233expb 1197 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  ( Met `  V )  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  ->  ( a E b )  e.  RR )
257, 24sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( a E b )  e.  RR )
2622, 25eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR )
2726ralrimivva 2888 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. b  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR )
28 f1ofn 5823 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -1-1-onto-> B  ->  F  Fn  V )
293, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
30 oveq2 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
) D y )  =  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) ) )
3130eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a ) D y )  e.  RR  <->  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR ) )
3231ralrn 6035 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. y  e.  ran  F ( ( F `  a ) D y )  e.  RR  <->  A. b  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR ) )
3329, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F ( ( F `  a ) D y )  e.  RR  <->  A. b  e.  V  ( ( F `  a ) D ( F `  b ) )  e.  RR ) )
34 forn 5804 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
3512, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
3635raleqdv 3069 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F ( ( F `  a ) D y )  e.  RR  <->  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR ) )
3733, 36bitr3d 255 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. b  e.  V  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  e.  RR  <->  A. y  e.  B  ( ( F `  a
) D y )  e.  RR ) )
3837ralbidv 2906 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. b  e.  V  ( ( F `
 a ) D ( F `  b
) )  e.  RR  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  (
( F `  a
) D y )  e.  RR ) )
3927, 38mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR )
40 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
x D y )  =  ( ( F `
 a ) D y ) )
4140eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( x D y )  e.  RR  <->  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR ) )
4241ralbidv 2906 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  ( A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR  <->  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR ) )
4342ralrn 6035 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. x  e.  ran  F A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR ) )
4429, 43syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  F A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR  <->  A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `  a ) D y )  e.  RR ) )
4535raleqdv 3069 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  F A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR ) )
4644, 45bitr3d 255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. y  e.  B  ( ( F `
 a ) D y )  e.  RR  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x D y )  e.  RR ) )
4739, 46mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR )
48 ffnov 6401 . . 3  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> RR  <->  ( D  Fn  ( B  X.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x D y )  e.  RR ) )
4914, 47, 48sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> RR )
50 ismet2 20702 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  B
)  <->  ( D  e.  ( *Met `  B )  /\  D : ( B  X.  B ) --> RR ) )
5110, 49, 50sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817    X. cxp 5003   ran crn 5006    |` cres 5007    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   Basecbs 14506   distcds 14580    "s cimas 14775   *Metcxmt 18271   Metcme 18272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-xrs 14773  df-imas 14779  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-submnd 15839  df-mulg 15931  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-xmet 18280  df-met 18281
This theorem is referenced by:  xpsmet  20751  imasf1oms  20859
  Copyright terms: Public domain W3C validator