MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasdsf1o Structured version   Unicode version

Theorem imasdsf1o 21320
Description: The distance function is transferred across an image structure under a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasdsf1o.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasdsf1o.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasdsf1o.f  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
imasdsf1o.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasdsf1o.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
imasdsf1o.d  |-  D  =  ( dist `  U
)
imasdsf1o.m  |-  ( ph  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
imasdsf1o.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
imasdsf1o.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
imasdsf1o  |-  ( ph  ->  ( ( F `  X ) D ( F `  Y ) )  =  ( X E Y ) )

Proof of Theorem imasdsf1o
Dummy variables  g  h  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasdsf1o.u . 2  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasdsf1o.v . 2  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasdsf1o.f . 2  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
4 imasdsf1o.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
5 imasdsf1o.e . 2  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
6 imasdsf1o.d . 2  |-  D  =  ( dist `  U
)
7 imasdsf1o.m . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
8 imasdsf1o.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
9 imasdsf1o.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
10 eqid 2429 . 2  |-  ( RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) )  =  (
RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) )
11 eqid 2429 . 2  |-  { h  e.  ( ( V  X.  V )  ^m  (
1 ... n ) )  |  ( ( F `
 ( 1st `  (
h `  1 )
) )  =  ( F `  X )  /\  ( F `  ( 2nd `  ( h `
 n ) ) )  =  ( F `
 Y )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( F `  ( 2nd `  ( h `  i
) ) )  =  ( F `  ( 1st `  ( h `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) }  =  {
h  e.  ( ( V  X.  V )  ^m  ( 1 ... n ) )  |  ( ( F `  ( 1st `  ( h `
 1 ) ) )  =  ( F `
 X )  /\  ( F `  ( 2nd `  ( h `  n
) ) )  =  ( F `  Y
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( F `  ( 2nd `  ( h `
 i ) ) )  =  ( F `
 ( 1st `  (
h `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) }
12 eqid 2429 . 2  |-  U_ n  e.  NN  ran  ( g  e.  { h  e.  ( ( V  X.  V )  ^m  (
1 ... n ) )  |  ( ( F `
 ( 1st `  (
h `  1 )
) )  =  ( F `  X )  /\  ( F `  ( 2nd `  ( h `
 n ) ) )  =  ( F `
 Y )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( F `  ( 2nd `  ( h `  i
) ) )  =  ( F `  ( 1st `  ( h `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) }  |->  ( RR*s  gsumg  ( E  o.  g
) ) )  = 
U_ n  e.  NN  ran  ( g  e.  {
h  e.  ( ( V  X.  V )  ^m  ( 1 ... n ) )  |  ( ( F `  ( 1st `  ( h `
 1 ) ) )  =  ( F `
 X )  /\  ( F `  ( 2nd `  ( h `  n
) ) )  =  ( F `  Y
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( F `  ( 2nd `  ( h `
 i ) ) )  =  ( F `
 ( 1st `  (
h `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) } 
|->  ( RR*s  gsumg  ( E  o.  g ) ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12imasdsf1olem 21319 1  |-  ( ph  ->  ( ( F `  X ) D ( F `  Y ) )  =  ( X E Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   {crab 2786    \ cdif 3439   {csn 4002   U_ciun 4302    |-> cmpt 4484    X. cxp 4852   ran crn 4855    |` cres 4856    o. ccom 4858   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1stc1st 6805   2ndc2nd 6806    ^m cmap 7480   1c1 9539    + caddc 9541   -oocmnf 9672   RR*cxr 9673    - cmin 9859   NNcn 10609   ...cfz 11782   Basecbs 15084   ↾s cress 15085   distcds 15161    gsumg cgsu 15298   RR*scxrs 15357    "s cimas 15361   *Metcxmt 18890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-xrs 15359  df-imas 15365  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-xmet 18898
This theorem is referenced by:  imasf1oxmet  21321  imasf1omet  21322  xpsdsval  21327  imasf1obl  21434
  Copyright terms: Public domain W3C validator