MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasdsf1o Structured version   Unicode version

Theorem imasdsf1o 19948
Description: The distance function is transferred across an image structure under a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasdsf1o.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasdsf1o.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasdsf1o.f  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
imasdsf1o.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasdsf1o.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
imasdsf1o.d  |-  D  =  ( dist `  U
)
imasdsf1o.m  |-  ( ph  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
imasdsf1o.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
imasdsf1o.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
imasdsf1o  |-  ( ph  ->  ( ( F `  X ) D ( F `  Y ) )  =  ( X E Y ) )

Proof of Theorem imasdsf1o
Dummy variables  g  h  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasdsf1o.u . 2  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasdsf1o.v . 2  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasdsf1o.f . 2  |-  ( ph  ->  F : V -1-1-onto-> B )
4 imasdsf1o.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
5 imasdsf1o.e . 2  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
6 imasdsf1o.d . 2  |-  D  =  ( dist `  U
)
7 imasdsf1o.m . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
8 imasdsf1o.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
9 imasdsf1o.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
10 eqid 2442 . 2  |-  ( RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) )  =  (
RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) )
11 eqid 2442 . 2  |-  { h  e.  ( ( V  X.  V )  ^m  (
1 ... n ) )  |  ( ( F `
 ( 1st `  (
h `  1 )
) )  =  ( F `  X )  /\  ( F `  ( 2nd `  ( h `
 n ) ) )  =  ( F `
 Y )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( F `  ( 2nd `  ( h `  i
) ) )  =  ( F `  ( 1st `  ( h `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) }  =  {
h  e.  ( ( V  X.  V )  ^m  ( 1 ... n ) )  |  ( ( F `  ( 1st `  ( h `
 1 ) ) )  =  ( F `
 X )  /\  ( F `  ( 2nd `  ( h `  n
) ) )  =  ( F `  Y
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( F `  ( 2nd `  ( h `
 i ) ) )  =  ( F `
 ( 1st `  (
h `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) }
12 eqid 2442 . 2  |-  U_ n  e.  NN  ran  ( g  e.  { h  e.  ( ( V  X.  V )  ^m  (
1 ... n ) )  |  ( ( F `
 ( 1st `  (
h `  1 )
) )  =  ( F `  X )  /\  ( F `  ( 2nd `  ( h `
 n ) ) )  =  ( F `
 Y )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( F `  ( 2nd `  ( h `  i
) ) )  =  ( F `  ( 1st `  ( h `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) }  |->  ( RR*s  gsumg  ( E  o.  g
) ) )  = 
U_ n  e.  NN  ran  ( g  e.  {
h  e.  ( ( V  X.  V )  ^m  ( 1 ... n ) )  |  ( ( F `  ( 1st `  ( h `
 1 ) ) )  =  ( F `
 X )  /\  ( F `  ( 2nd `  ( h `  n
) ) )  =  ( F `  Y
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( F `  ( 2nd `  ( h `
 i ) ) )  =  ( F `
 ( 1st `  (
h `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) } 
|->  ( RR*s  gsumg  ( E  o.  g ) ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12imasdsf1olem 19947 1  |-  ( ph  ->  ( ( F `  X ) D ( F `  Y ) )  =  ( X E Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   {crab 2718    \ cdif 3324   {csn 3876   U_ciun 4170    e. cmpt 4349    X. cxp 4837   ran crn 4840    |` cres 4841    o. ccom 4843   -1-1-onto->wf1o 5416   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   1stc1st 6574   2ndc2nd 6575    ^m cmap 7213   1c1 9282    + caddc 9284   -oocmnf 9415   RR*cxr 9416    - cmin 9594   NNcn 10321   ...cfz 11436   Basecbs 14173   ↾s cress 14174   distcds 14246    gsumg cgsu 14378   RR*scxrs 14437    "s cimas 14441   *Metcxmt 17800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-rp 10991  df-xneg 11088  df-xadd 11089  df-xmul 11090  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-seq 11806  df-hash 12103  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-xrs 14439  df-imas 14445  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-mnd 15414  df-submnd 15464  df-mulg 15547  df-cntz 15834  df-cmn 16278  df-xmet 17809
This theorem is referenced by:  imasf1oxmet  19949  imasf1omet  19950  xpsdsval  19955  imasf1obl  20062
  Copyright terms: Public domain W3C validator