Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasds Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem imasds 15414
 Description: The distance function of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Jul-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Revised by AV, 6-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
imasbas.u s
imasbas.v
imasbas.f
imasbas.r
imasds.e
imasds.d
Assertion
Ref Expression
imasds inf g
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,,   ,   ,,   ,,   ,,,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,,,)   (,,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,,,)

Proof of Theorem imasds
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasbas.u . . 3 s
2 imasbas.v . . 3
3 eqid 2451 . . 3
4 eqid 2451 . . 3
5 eqid 2451 . . 3 Scalar Scalar
6 eqid 2451 . . 3 Scalar Scalar
7 eqid 2451 . . 3
8 eqid 2451 . . 3
9 eqid 2451 . . 3
10 imasds.e . . 3
11 eqid 2451 . . 3
12 eqidd 2452 . . 3
13 eqidd 2452 . . 3
14 eqidd 2452 . . 3 Scalar Scalar
15 eqidd 2452 . . 3
16 eqidd 2452 . . 3 qTop qTop
17 eqidd 2452 . . 3 inf g inf g
18 eqidd 2452 . . 3
19 imasbas.f . . 3
20 imasbas.r . . 3
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20imasval 15411 . 2 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop inf g
22 eqid 2451 . . 3 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop inf g Scalar Scalar Scalar TopSet qTop inf g
2322imasvalstr 15350 . 2 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop inf g Struct ;
24 dsid 15301 . 2 Slot
25 snsstp3 4125 . . 3 inf g TopSet qTop inf g
26 ssun2 3598 . . 3 TopSet qTop inf g Scalar Scalar Scalar TopSet qTop inf g
2725, 26sstri 3441 . 2 inf g Scalar Scalar Scalar TopSet qTop inf g
28 fvex 5875 . . . . 5
292, 28syl6eqel 2537 . . . 4
30 fornex 6762 . . . 4
3129, 19, 30sylc 62 . . 3
32 mpt2exga 6869 . . 3 inf g
3331, 31, 32syl2anc 667 . 2 inf g
34 imasds.d . 2
3521, 23, 24, 27, 33, 34strfv3 15158 1 inf g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  crab 2741  cvv 3045   cun 3402  csn 3968  ctp 3972  cop 3974  ciun 4278   cmpt 4461   cxp 4832  ccnv 4833   crn 4835   ccom 4838  wfo 5580  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmpt2 6292  c1st 6791  c2nd 6792   cmap 7472  infcinf 7955  c1 9540   caddc 9542  cxr 9674   clt 9675   cmin 9860  cn 10609  c2 10659  ;cdc 11051  cfz 11784  cnx 15118  cbs 15121   cplusg 15190  cmulr 15191  Scalarcsca 15193  cvsca 15194  cip 15195  TopSetcts 15196  cple 15197  cds 15199  ctopn 15320   g cgsu 15339  cxrs 15398   qTop cqtop 15401   s cimas 15402 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-imas 15407 This theorem is referenced by:  imasdsfn  15415  imasdsval  15416  imasplusg  15418  imasmulr  15419  imassca  15420  imasvsca  15421  imasip  15422  imastset  15423  imasle  15424
 Copyright terms: Public domain W3C validator