Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasds Structured version   Unicode version

Theorem imasds 14761
 Description: The distance function of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Jul-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
imasbas.u s
imasbas.v
imasbas.f
imasbas.r
imasds.e
imasds.d
Assertion
Ref Expression
imasds g
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,,   ,   ,,   ,,   ,,,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,,,)   (,,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,,,)

Proof of Theorem imasds
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasbas.u . . 3 s
2 imasbas.v . . 3
3 eqid 2467 . . 3
4 eqid 2467 . . 3
5 eqid 2467 . . 3 Scalar Scalar
6 eqid 2467 . . 3 Scalar Scalar
7 eqid 2467 . . 3
8 eqid 2467 . . 3
9 eqid 2467 . . 3
10 imasds.e . . 3
11 eqid 2467 . . 3
12 eqidd 2468 . . 3
13 eqidd 2468 . . 3
14 eqidd 2468 . . 3 Scalar Scalar
15 eqidd 2468 . . 3
16 eqidd 2468 . . 3 qTop qTop
17 eqidd 2468 . . 3 g g
18 eqidd 2468 . . 3
19 imasbas.f . . 3
20 imasbas.r . . 3
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20imasval 14759 . 2 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop g
22 eqid 2467 . . 3 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop g Scalar Scalar Scalar TopSet qTop g
2322imasvalstr 14700 . 2 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop g Struct ;
24 dsid 14652 . 2 Slot
25 snsstp3 4180 . . 3 g TopSet qTop g
26 ssun2 3668 . . 3 TopSet qTop g Scalar Scalar Scalar TopSet qTop g
2725, 26sstri 3513 . 2 g Scalar Scalar Scalar TopSet qTop g
28 fvex 5874 . . . . 5
292, 28syl6eqel 2563 . . . 4
30 fornex 6750 . . . 4
3129, 19, 30sylc 60 . . 3
32 mpt2exga 6856 . . 3 g
3331, 31, 32syl2anc 661 . 2 g
34 imasds.d . 2
3521, 23, 24, 27, 33, 34strfv3 14518 1 g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  crab 2818  cvv 3113   cun 3474  csn 4027  ctp 4031  cop 4033  ciun 4325   cmpt 4505   cxp 4997  ccnv 4998   crn 5000   ccom 5003  wfo 5584  cfv 5586  (class class class)co 6282   cmpt2 6284  c1st 6779  c2nd 6780   cmap 7417  csup 7896  c1 9489   caddc 9491  cxr 9623   clt 9624   cmin 9801  cn 10532  c2 10581  ;cdc 10972  cfz 11668  cnx 14480  cbs 14483   cplusg 14548  cmulr 14549  Scalarcsca 14551  cvsca 14552  cip 14553  TopSetcts 14554  cple 14555  cds 14557  ctopn 14670   g cgsu 14689  cxrs 14748   qTop cqtop 14751   s cimas 14752 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-imas 14756 This theorem is referenced by:  imasdsfn  14762  imasdsval  14763  imasplusg  14765  imasmulr  14766  imassca  14767  imasvsca  14768  imasip  14769  imastset  14770  imasle  14771
 Copyright terms: Public domain W3C validator