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Theorem imasaddfnlem 14783
Description: The image structure operation is a function if the original operation is compatible with the function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasaddf.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasaddf.e  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .x.  b )
)  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
imasaddflem.a  |-  ( ph  -> 
.xb  =  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. } )
Assertion
Ref Expression
imasaddfnlem  |-  ( ph  -> 
.xb  Fn  ( B  X.  B ) )
Distinct variable groups:    q, p, B    a, b, p, q, V    .x. , p, q    F, a, b, p, q    ph, a,
b, p, q    .xb , a,
b, p, q
Allowed substitution hints:    B( a, b)    .x. ( a, b)

Proof of Theorem imasaddfnlem
Dummy variables  w  y  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opex 4711 . . . . . . . . 9  |-  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >.  e.  _V
2 fvex 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 ( p  .x.  q ) )  e. 
_V
31, 2relsnop 5107 . . . . . . . 8  |-  Rel  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }
43rgenw 2825 . . . . . . 7  |-  A. q  e.  V  Rel  { <. <.
( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .x.  q ) ) >. }
5 reliun 5123 . . . . . . 7  |-  ( Rel  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  <->  A. q  e.  V  Rel  { <. <.
( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .x.  q ) ) >. } )
64, 5mpbir 209 . . . . . 6  |-  Rel  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }
76rgenw 2825 . . . . 5  |-  A. p  e.  V  Rel  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }
8 reliun 5123 . . . . 5  |-  ( Rel  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  <->  A. p  e.  V  Rel  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. } )
97, 8mpbir 209 . . . 4  |-  Rel  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }
10 imasaddflem.a . . . . 5  |-  ( ph  -> 
.xb  =  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. } )
1110releqd 5087 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Rel  .xb  <->  Rel  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. } ) )
129, 11mpbiri 233 . . 3  |-  ( ph  ->  Rel  .xb  )
13 imasaddf.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
14 fof 5795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F : V --> B )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : V --> B )
16 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : V --> B  /\  p  e.  V )  ->  ( F `  p
)  e.  B )
17 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : V --> B  /\  q  e.  V )  ->  ( F `  q
)  e.  B )
1816, 17anim12dan 835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : V --> B  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V
) )  ->  (
( F `  p
)  e.  B  /\  ( F `  q )  e.  B ) )
1915, 18sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( ( F `  p )  e.  B  /\  ( F `  q
)  e.  B ) )
20 opelxpi 5031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  p
)  e.  B  /\  ( F `  q )  e.  B )  ->  <. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  ( B  X.  B
) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  ->  <. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  ( B  X.  B
) )
22 opelxpi 5031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  ( B  X.  B
)  /\  ( F `  ( p  .x.  q
) )  e.  _V )  ->  <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >.  e.  ( ( B  X.  B
)  X.  _V )
)
2321, 2, 22sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  ->  <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >.  e.  ( ( B  X.  B
)  X.  _V )
)
2423snssd 4172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  ->  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  ( ( B  X.  B )  X.  _V ) )
2524anassrs 648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  V )  /\  q  e.  V )  ->  { <. <.
( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .x.  q ) ) >. }  C_  (
( B  X.  B
)  X.  _V )
)
2625ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  V )  ->  A. q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  C_  ( ( B  X.  B )  X. 
_V ) )
27 iunss 4366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  ( ( B  X.  B )  X.  _V ) 
<-> 
A. q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  ( ( B  X.  B )  X.  _V ) )
2826, 27sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  V )  ->  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  C_  ( ( B  X.  B )  X. 
_V ) )
2928ralrimiva 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  ( ( B  X.  B )  X.  _V ) )
30 iunss 4366 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  C_  ( ( B  X.  B )  X. 
_V )  <->  A. p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  C_  ( ( B  X.  B )  X. 
_V ) )
3129, 30sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  ( ( B  X.  B )  X.  _V ) )
3210, 31eqsstrd 3538 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
.xb  C_  ( ( B  X.  B )  X. 
_V ) )
33 dmss 5202 . . . . . . 7  |-  (  .xb  C_  ( ( B  X.  B )  X.  _V )  ->  dom  .xb  C_  dom  ( ( B  X.  B )  X.  _V ) )
3432, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  .xb  C_  dom  (
( B  X.  B
)  X.  _V )
)
35 vn0 3792 . . . . . . 7  |-  _V  =/=  (/)
36 dmxp 5221 . . . . . . 7  |-  ( _V  =/=  (/)  ->  dom  ( ( B  X.  B )  X.  _V )  =  ( B  X.  B
) )
3735, 36ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  (
( B  X.  B
)  X.  _V )  =  ( B  X.  B )
3834, 37syl6sseq 3550 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  .xb  C_  ( B  X.  B ) )
39 forn 5798 . . . . . . 7  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
4013, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
4140, 40xpeq12d 5024 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ran  F  X.  ran  F )  =  ( B  X.  B ) )
4238, 41sseqtr4d 3541 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  .xb  C_  ( ran 
F  X.  ran  F
) )
4310eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>. ,  w >.  e. 
.xb 
<-> 
<. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>. ,  w >.  e. 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. } ) )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>. ,  w >.  e. 
.xb 
<-> 
<. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>. ,  w >.  e. 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. } ) )
45 df-br 4448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >.  .xb  w  <->  <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>. ,  w >.  e. 
.xb  )
46 eliun 4330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <. <. ( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >. ,  w >.  e.  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  <->  E. p  e.  V  <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>. ,  w >.  e. 
U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. } )
47 eliun 4330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. <. ( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >. ,  w >.  e.  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  <->  E. q  e.  V  <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>. ,  w >.  e. 
{ <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. } )
4847rexbii 2965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. p  e.  V  <. <.
( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >. ,  w >.  e.  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  <->  E. p  e.  V  E. q  e.  V  <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>. ,  w >.  e. 
{ <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. } )
4946, 48bitr2i 250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. p  e.  V  E. q  e.  V  <. <.
( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >. ,  w >.  e.  { <. <.
( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .x.  q ) ) >. }  <->  <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >. ,  w >.  e.  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. } )
5044, 45, 493bitr4g 288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>.  .xb  w  <->  E. p  e.  V  E. q  e.  V  <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >. ,  w >.  e.  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. } ) )
51 opex 4711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >. ,  w >.  e.  _V
5251elsnc 4051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. <. ( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >. ,  w >.  e.  { <. <.
( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .x.  q ) ) >. }  <->  <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >. ,  w >.  =  <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. )
53 opex 4711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >.  e.  _V
54 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  w  e. 
_V
5553, 54opth 4721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. <. ( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >. ,  w >.  =  <. <.
( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .x.  q ) ) >.  <->  ( <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >.  =  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >.  /\  w  =  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) )
56 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F `
 a )  e. 
_V
57 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F `
 b )  e. 
_V
5856, 57opth 4721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >.  =  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. 
<->  ( ( F `  a )  =  ( F `  p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) ) )
59 imasaddf.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .x.  b )
)  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
6058, 59syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >.  =  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >.  ->  ( F `  ( a  .x.  b ) )  =  ( F `  (
p  .x.  q )
) ) )
61 eqeq2 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  ( a 
.x.  b ) )  =  ( F `  ( p  .x.  q ) )  ->  ( w  =  ( F `  ( a  .x.  b
) )  <->  w  =  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )
6261biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  ( a 
.x.  b ) )  =  ( F `  ( p  .x.  q ) )  ->  ( w  =  ( F `  ( p  .x.  q ) )  ->  w  =  ( F `  ( a 
.x.  b ) ) ) )
6360, 62syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >.  =  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >.  ->  (
w  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) )  ->  w  =  ( F `  ( a  .x.  b
) ) ) ) )
6463impd 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( ( <. ( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >.  =  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>.  /\  w  =  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( a 
.x.  b ) ) ) )
6555, 64syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( <. <.
( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >. ,  w >.  =  <. <.
( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .x.  q ) ) >.  ->  w  =  ( F `  (
a  .x.  b )
) ) )
6652, 65syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( <. <.
( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >. ,  w >.  e.  { <. <.
( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .x.  q ) ) >. }  ->  w  =  ( F `  ( a  .x.  b
) ) ) )
67663expa 1196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>. ,  w >.  e. 
{ <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  ->  w  =  ( F `  ( a  .x.  b
) ) ) )
6867rexlimdvva 2962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( E. p  e.  V  E. q  e.  V  <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>. ,  w >.  e. 
{ <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  ->  w  =  ( F `  ( a  .x.  b
) ) ) )
6950, 68sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>.  .xb  w  ->  w  =  ( F `  ( a  .x.  b
) ) ) )
7069alrimiv 1695 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  A. w ( <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >.  .xb  w  ->  w  =  ( F `
 ( a  .x.  b ) ) ) )
71 mo2icl 3282 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w ( <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >.  .xb  w  ->  w  =  ( F `
 ( a  .x.  b ) ) )  ->  E* w <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >.  .xb  w
)
7270, 71syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  E* w <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>.  .xb  w )
7372ralrimivva 2885 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. b  e.  V  E* w <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>.  .xb  w )
74 fofn 5797 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F  Fn  V )
7513, 74syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
76 opeq2 4214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( F `  b )  ->  <. ( F `  a ) ,  z >.  =  <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >. )
7776breq1d 4457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  b )  ->  ( <. ( F `  a
) ,  z >.  .xb  w  <->  <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>.  .xb  w ) )
7877mobidv 2299 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( F `  b )  ->  ( E* w <. ( F `  a ) ,  z
>.  .xb  w  <->  E* w <. ( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >.  .xb  w ) )
7978ralrn 6024 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. z  e.  ran  F E* w <. ( F `  a ) ,  z >.  .xb  w  <->  A. b  e.  V  E* w <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>.  .xb  w ) )
8075, 79syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  F E* w <. ( F `  a
) ,  z >.  .xb  w  <->  A. b  e.  V  E* w <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>.  .xb  w ) )
8180ralbidv 2903 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e. 
ran  F E* w <. ( F `  a
) ,  z >.  .xb  w  <->  A. a  e.  V  A. b  e.  V  E* w <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>.  .xb  w ) )
8273, 81mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. z  e.  ran  F E* w <. ( F `  a ) ,  z >.  .xb  w
)
83 opeq1 4213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  <. y ,  z >.  =  <. ( F `  a ) ,  z >. )
8483breq1d 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( <. y ,  z >.  .xb  w  <->  <. ( F `  a ) ,  z
>.  .xb  w ) )
8584mobidv 2299 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( E* w <. y ,  z
>.  .xb  w  <->  E* w <. ( F `  a
) ,  z >.  .xb  w ) )
8685ralbidv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( A. z  e.  ran  F E* w <. y ,  z >.  .xb  w  <->  A. z  e.  ran  F E* w <. ( F `  a ) ,  z
>.  .xb  w ) )
8786ralrn 6024 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E* w <. y ,  z >.  .xb  w  <->  A. a  e.  V  A. z  e.  ran  F E* w <. ( F `  a ) ,  z
>.  .xb  w ) )
8875, 87syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F A. z  e.  ran  F E* w <. y ,  z >.  .xb  w  <->  A. a  e.  V  A. z  e.  ran  F E* w <. ( F `  a ) ,  z >.  .xb  w
) )
8982, 88mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E* w <. y ,  z >.  .xb  w
)
90 breq1 4450 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( x  .xb  w 
<-> 
<. y ,  z >.  .xb  w ) )
9190mobidv 2299 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( E* w  x  .xb  w  <->  E* w <. y ,  z >.  .xb  w ) )
9291ralxp 5144 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( ran  F  X.  ran  F ) E* w  x  .xb  w 
<-> 
A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E* w <. y ,  z >.  .xb  w
)
9389, 92sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ran  F  X.  ran  F ) E* w  x 
.xb  w )
94 ssralv 3564 . . . 4  |-  ( dom  .xb  C_  ( ran  F  X.  ran  F )  -> 
( A. x  e.  ( ran  F  X.  ran  F ) E* w  x  .xb  w  ->  A. x  e.  dom  .xb  E* w  x  .xb  w ) )
9542, 93, 94sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  dom  .xb 
E* w  x  .xb  w )
96 dffun7 5614 . . 3  |-  ( Fun  .xb 
<->  ( Rel  .xb  /\  A. x  e.  dom  .xb  E* w  x  .xb  w ) )
9712, 95, 96sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  .xb  )
98 eqimss2 3557 . . . . . . . . . . 11  |-  (  .xb  =  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  ->  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  .xb  )
9910, 98syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  .xb  )
100 iunss 4366 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  C_  .xb  <->  A. p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  C_  .xb  )
10199, 100sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  .xb  )
102 iunss 4366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  .xb  <->  A. q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  .xb  )
103 opex 4711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>.  e.  _V
104103snss 4151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <. <. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .x.  q ) ) >.  e.  .xb  <->  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  C_  .xb  )
1051, 2opeldm 5206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <. <. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .x.  q ) ) >.  e.  .xb  ->  <.
( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  dom  .xb  )
106104, 105sylbir 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  .xb 
->  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>.  e.  dom  .xb  )
107106ralimi 2857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  .xb 
->  A. q  e.  V  <. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  dom  .xb  )
108102, 107sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  .xb 
->  A. q  e.  V  <. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  dom  .xb  )
109108ralimi 2857 . . . . . . . . 9  |-  ( A. p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  C_  .xb  ->  A. p  e.  V  A. q  e.  V  <. ( F `
 p ) ,  ( F `  q
) >.  e.  dom  .xb  )
110101, 109syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. p  e.  V  A. q  e.  V  <. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  dom  .xb  )
111 opeq2 4214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( F `  q )  ->  <. ( F `  p ) ,  z >.  =  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. )
112111eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  q )  ->  ( <. ( F `  p
) ,  z >.  e.  dom  .xb  <->  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>.  e.  dom  .xb  )
)
113112ralrn 6024 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. z  e.  ran  F
<. ( F `  p
) ,  z >.  e.  dom  .xb  <->  A. q  e.  V  <. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  dom  .xb  ) )
11475, 113syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  F <. ( F `  p ) ,  z >.  e.  dom  .xb  <->  A. q  e.  V  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >.  e.  dom  .xb  ) )
115114ralbidv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. p  e.  V  A. z  e. 
ran  F <. ( F `  p ) ,  z >.  e.  dom  .xb  <->  A. p  e.  V  A. q  e.  V  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >.  e.  dom  .xb  ) )
116110, 115mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. p  e.  V  A. z  e.  ran  F
<. ( F `  p
) ,  z >.  e.  dom  .xb  )
117 opeq1 4213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  p )  ->  <. y ,  z >.  =  <. ( F `  p ) ,  z >. )
118117eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  p )  ->  ( <. y ,  z >.  e.  dom  .xb  <->  <. ( F `  p ) ,  z
>.  e.  dom  .xb  )
)
119118ralbidv 2903 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  p )  ->  ( A. z  e.  ran  F
<. y ,  z >.  e.  dom  .xb  <->  A. z  e.  ran  F
<. ( F `  p
) ,  z >.  e.  dom  .xb  ) )
120119ralrn 6024 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F
<. y ,  z >.  e.  dom  .xb  <->  A. p  e.  V  A. z  e.  ran  F
<. ( F `  p
) ,  z >.  e.  dom  .xb  ) )
12175, 120syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F A. z  e.  ran  F <. y ,  z >.  e.  dom  .xb  <->  A. p  e.  V  A. z  e.  ran  F <. ( F `  p ) ,  z >.  e.  dom  .xb  ) )
122116, 121mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F
<. y ,  z >.  e.  dom  .xb  )
123 eleq1 2539 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( x  e. 
dom  .xb  <->  <. y ,  z
>.  e.  dom  .xb  )
)
124123ralxp 5144 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( ran  F  X.  ran  F ) x  e.  dom  .xb  <->  A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F <. y ,  z >.  e.  dom  .xb  )
125122, 124sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ran  F  X.  ran  F ) x  e.  dom  .xb  )
126 dfss3 3494 . . . . 5  |-  ( ( ran  F  X.  ran  F )  C_  dom  .xb  <->  A. x  e.  ( ran  F  X.  ran  F ) x  e. 
dom  .xb  )
127125, 126sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  F  X.  ran  F )  C_  dom  .xb  )
12841, 127eqsstr3d 3539 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  X.  B
)  C_  dom  .xb  )
12938, 128eqssd 3521 . 2  |-  ( ph  ->  dom  .xb  =  ( B  X.  B ) )
130 df-fn 5591 . 2  |-  (  .xb  Fn  ( B  X.  B
)  <->  ( Fun  .xb  /\  dom  .xb  =  ( B  X.  B ) ) )
13197, 129, 130sylanbrc 664 1  |-  ( ph  -> 
.xb  Fn  ( B  X.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   E*wmo 2276    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   <.cop 4033   U_ciun 4325   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000   Rel wrel 5004   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   -->wf 5584   -onto->wfo 5586   ` cfv 5588  (class class class)co 6284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fo 5594  df-fv 5596
This theorem is referenced by:  imasaddvallem  14784  imasaddflem  14785  imasaddfn  14786  imasmulfn  14789
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