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Theorem imasaddfnlem 15512
Description: The image structure operation is a function if the original operation is compatible with the function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasaddf.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasaddf.e  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .x.  b )
)  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
imasaddflem.a  |-  ( ph  -> 
.xb  =  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. } )
Assertion
Ref Expression
imasaddfnlem  |-  ( ph  -> 
.xb  Fn  ( B  X.  B ) )
Distinct variable groups:    q, p, B    a, b, p, q, V    .x. , p, q    F, a, b, p, q    ph, a,
b, p, q    .xb , a,
b, p, q
Allowed substitution hints:    B( a, b)    .x. ( a, b)

Proof of Theorem imasaddfnlem
Dummy variables  w  y  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opex 4664 . . . . . . . . 9  |-  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >.  e.  _V
2 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 ( p  .x.  q ) )  e. 
_V
31, 2relsnop 4944 . . . . . . . 8  |-  Rel  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }
43rgenw 2768 . . . . . . 7  |-  A. q  e.  V  Rel  { <. <.
( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .x.  q ) ) >. }
5 reliun 4959 . . . . . . 7  |-  ( Rel  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  <->  A. q  e.  V  Rel  { <. <.
( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .x.  q ) ) >. } )
64, 5mpbir 214 . . . . . 6  |-  Rel  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }
76rgenw 2768 . . . . 5  |-  A. p  e.  V  Rel  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }
8 reliun 4959 . . . . 5  |-  ( Rel  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  <->  A. p  e.  V  Rel  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. } )
97, 8mpbir 214 . . . 4  |-  Rel  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }
10 imasaddflem.a . . . . 5  |-  ( ph  -> 
.xb  =  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. } )
1110releqd 4924 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Rel  .xb  <->  Rel  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. } ) )
129, 11mpbiri 241 . . 3  |-  ( ph  ->  Rel  .xb  )
13 imasaddf.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
14 fof 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F : V --> B )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : V --> B )
16 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : V --> B  /\  p  e.  V )  ->  ( F `  p
)  e.  B )
17 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : V --> B  /\  q  e.  V )  ->  ( F `  q
)  e.  B )
1816, 17anim12dan 855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : V --> B  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V
) )  ->  (
( F `  p
)  e.  B  /\  ( F `  q )  e.  B ) )
1915, 18sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( ( F `  p )  e.  B  /\  ( F `  q
)  e.  B ) )
20 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  p
)  e.  B  /\  ( F `  q )  e.  B )  ->  <. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  ( B  X.  B
) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  ->  <. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  ( B  X.  B
) )
22 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  ( B  X.  B
)  /\  ( F `  ( p  .x.  q
) )  e.  _V )  ->  <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >.  e.  ( ( B  X.  B
)  X.  _V )
)
2321, 2, 22sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  ->  <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >.  e.  ( ( B  X.  B
)  X.  _V )
)
2423snssd 4108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  ->  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  ( ( B  X.  B )  X.  _V ) )
2524anassrs 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  V )  /\  q  e.  V )  ->  { <. <.
( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .x.  q ) ) >. }  C_  (
( B  X.  B
)  X.  _V )
)
2625ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  V )  ->  A. q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  C_  ( ( B  X.  B )  X. 
_V ) )
27 iunss 4310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  ( ( B  X.  B )  X.  _V ) 
<-> 
A. q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  ( ( B  X.  B )  X.  _V ) )
2826, 27sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  V )  ->  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  C_  ( ( B  X.  B )  X. 
_V ) )
2928ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  ( ( B  X.  B )  X.  _V ) )
30 iunss 4310 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  C_  ( ( B  X.  B )  X. 
_V )  <->  A. p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  C_  ( ( B  X.  B )  X. 
_V ) )
3129, 30sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  ( ( B  X.  B )  X.  _V ) )
3210, 31eqsstrd 3452 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
.xb  C_  ( ( B  X.  B )  X. 
_V ) )
33 dmss 5039 . . . . . . 7  |-  (  .xb  C_  ( ( B  X.  B )  X.  _V )  ->  dom  .xb  C_  dom  ( ( B  X.  B )  X.  _V ) )
3432, 33syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  .xb  C_  dom  (
( B  X.  B
)  X.  _V )
)
35 vn0 3730 . . . . . . 7  |-  _V  =/=  (/)
36 dmxp 5059 . . . . . . 7  |-  ( _V  =/=  (/)  ->  dom  ( ( B  X.  B )  X.  _V )  =  ( B  X.  B
) )
3735, 36ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  (
( B  X.  B
)  X.  _V )  =  ( B  X.  B )
3834, 37syl6sseq 3464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  .xb  C_  ( B  X.  B ) )
39 forn 5809 . . . . . . 7  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
4013, 39syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
4140sqxpeqd 4865 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ran  F  X.  ran  F )  =  ( B  X.  B ) )
4238, 41sseqtr4d 3455 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  .xb  C_  ( ran 
F  X.  ran  F
) )
4310eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>. ,  w >.  e. 
.xb 
<-> 
<. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>. ,  w >.  e. 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. } ) )
4443adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>. ,  w >.  e. 
.xb 
<-> 
<. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>. ,  w >.  e. 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. } ) )
45 df-br 4396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >.  .xb  w  <->  <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>. ,  w >.  e. 
.xb  )
46 eliun 4274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <. <. ( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >. ,  w >.  e.  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  <->  E. p  e.  V  <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>. ,  w >.  e. 
U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. } )
47 eliun 4274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. <. ( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >. ,  w >.  e.  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  <->  E. q  e.  V  <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>. ,  w >.  e. 
{ <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. } )
4847rexbii 2881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. p  e.  V  <. <.
( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >. ,  w >.  e.  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  <->  E. p  e.  V  E. q  e.  V  <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>. ,  w >.  e. 
{ <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. } )
4946, 48bitr2i 258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. p  e.  V  E. q  e.  V  <. <.
( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >. ,  w >.  e.  { <. <.
( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .x.  q ) ) >. }  <->  <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >. ,  w >.  e.  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. } )
5044, 45, 493bitr4g 296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>.  .xb  w  <->  E. p  e.  V  E. q  e.  V  <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >. ,  w >.  e.  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. } ) )
51 opex 4664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >. ,  w >.  e.  _V
5251elsnc 3984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. <. ( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >. ,  w >.  e.  { <. <.
( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .x.  q ) ) >. }  <->  <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >. ,  w >.  =  <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. )
53 opex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >.  e.  _V
54 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  w  e. 
_V
5553, 54opth 4676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. <. ( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >. ,  w >.  =  <. <.
( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .x.  q ) ) >.  <->  ( <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >.  =  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >.  /\  w  =  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) )
56 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F `
 a )  e. 
_V
57 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F `
 b )  e. 
_V
5856, 57opth 4676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >.  =  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. 
<->  ( ( F `  a )  =  ( F `  p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) ) )
59 imasaddf.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .x.  b )
)  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
6058, 59syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >.  =  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >.  ->  ( F `  ( a  .x.  b ) )  =  ( F `  (
p  .x.  q )
) ) )
61 eqeq2 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  ( a 
.x.  b ) )  =  ( F `  ( p  .x.  q ) )  ->  ( w  =  ( F `  ( a  .x.  b
) )  <->  w  =  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )
6261biimprd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  ( a 
.x.  b ) )  =  ( F `  ( p  .x.  q ) )  ->  ( w  =  ( F `  ( p  .x.  q ) )  ->  w  =  ( F `  ( a 
.x.  b ) ) ) )
6360, 62syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >.  =  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >.  ->  (
w  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) )  ->  w  =  ( F `  ( a  .x.  b
) ) ) ) )
6463impd 438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( ( <. ( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >.  =  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>.  /\  w  =  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( a 
.x.  b ) ) ) )
6555, 64syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( <. <.
( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >. ,  w >.  =  <. <.
( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .x.  q ) ) >.  ->  w  =  ( F `  (
a  .x.  b )
) ) )
6652, 65syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( <. <.
( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >. ,  w >.  e.  { <. <.
( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .x.  q ) ) >. }  ->  w  =  ( F `  ( a  .x.  b
) ) ) )
67663expa 1231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>. ,  w >.  e. 
{ <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  ->  w  =  ( F `  ( a  .x.  b
) ) ) )
6867rexlimdvva 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( E. p  e.  V  E. q  e.  V  <. <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>. ,  w >.  e. 
{ <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  ->  w  =  ( F `  ( a  .x.  b
) ) ) )
6950, 68sylbid 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>.  .xb  w  ->  w  =  ( F `  ( a  .x.  b
) ) ) )
7069alrimiv 1781 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  A. w ( <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >.  .xb  w  ->  w  =  ( F `
 ( a  .x.  b ) ) ) )
71 mo2icl 3205 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w ( <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >.  .xb  w  ->  w  =  ( F `
 ( a  .x.  b ) ) )  ->  E* w <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >.  .xb  w
)
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  E* w <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>.  .xb  w )
7372ralrimivva 2814 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. b  e.  V  E* w <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>.  .xb  w )
74 fofn 5808 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F  Fn  V )
7513, 74syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
76 opeq2 4159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( F `  b )  ->  <. ( F `  a ) ,  z >.  =  <. ( F `  a ) ,  ( F `  b ) >. )
7776breq1d 4405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  b )  ->  ( <. ( F `  a
) ,  z >.  .xb  w  <->  <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>.  .xb  w ) )
7877mobidv 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( F `  b )  ->  ( E* w <. ( F `  a ) ,  z
>.  .xb  w  <->  E* w <. ( F `  a
) ,  ( F `
 b ) >.  .xb  w ) )
7978ralrn 6040 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. z  e.  ran  F E* w <. ( F `  a ) ,  z >.  .xb  w  <->  A. b  e.  V  E* w <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>.  .xb  w ) )
8075, 79syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  F E* w <. ( F `  a
) ,  z >.  .xb  w  <->  A. b  e.  V  E* w <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>.  .xb  w ) )
8180ralbidv 2829 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e. 
ran  F E* w <. ( F `  a
) ,  z >.  .xb  w  <->  A. a  e.  V  A. b  e.  V  E* w <. ( F `  a ) ,  ( F `  b )
>.  .xb  w ) )
8273, 81mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. a  e.  V  A. z  e.  ran  F E* w <. ( F `  a ) ,  z >.  .xb  w
)
83 opeq1 4158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  <. y ,  z >.  =  <. ( F `  a ) ,  z >. )
8483breq1d 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( <. y ,  z >.  .xb  w  <->  <. ( F `  a ) ,  z
>.  .xb  w ) )
8584mobidv 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( E* w <. y ,  z
>.  .xb  w  <->  E* w <. ( F `  a
) ,  z >.  .xb  w ) )
8685ralbidv 2829 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( A. z  e.  ran  F E* w <. y ,  z >.  .xb  w  <->  A. z  e.  ran  F E* w <. ( F `  a ) ,  z
>.  .xb  w ) )
8786ralrn 6040 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E* w <. y ,  z >.  .xb  w  <->  A. a  e.  V  A. z  e.  ran  F E* w <. ( F `  a ) ,  z
>.  .xb  w ) )
8875, 87syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F A. z  e.  ran  F E* w <. y ,  z >.  .xb  w  <->  A. a  e.  V  A. z  e.  ran  F E* w <. ( F `  a ) ,  z >.  .xb  w
) )
8982, 88mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E* w <. y ,  z >.  .xb  w
)
90 breq1 4398 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( x  .xb  w 
<-> 
<. y ,  z >.  .xb  w ) )
9190mobidv 2340 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( E* w  x  .xb  w  <->  E* w <. y ,  z >.  .xb  w ) )
9291ralxp 4981 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( ran  F  X.  ran  F ) E* w  x  .xb  w 
<-> 
A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E* w <. y ,  z >.  .xb  w
)
9389, 92sylibr 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ran  F  X.  ran  F ) E* w  x 
.xb  w )
94 ssralv 3479 . . . 4  |-  ( dom  .xb  C_  ( ran  F  X.  ran  F )  -> 
( A. x  e.  ( ran  F  X.  ran  F ) E* w  x  .xb  w  ->  A. x  e.  dom  .xb  E* w  x  .xb  w ) )
9542, 93, 94sylc 61 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  dom  .xb 
E* w  x  .xb  w )
96 dffun7 5615 . . 3  |-  ( Fun  .xb 
<->  ( Rel  .xb  /\  A. x  e.  dom  .xb  E* w  x  .xb  w ) )
9712, 95, 96sylanbrc 677 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  .xb  )
98 eqimss2 3471 . . . . . . . . . . 11  |-  (  .xb  =  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  ->  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  .xb  )
9910, 98syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  .xb  )
100 iunss 4310 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  C_  .xb  <->  A. p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  C_  .xb  )
10199, 100sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  .xb  )
102 iunss 4310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  .xb  <->  A. q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  .xb  )
103 opex 4664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>.  e.  _V
104103snss 4087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <. <. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .x.  q ) ) >.  e.  .xb  <->  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  C_  .xb  )
1051, 2opeldm 5044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <. <. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .x.  q ) ) >.  e.  .xb  ->  <.
( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  dom  .xb  )
106104, 105sylbir 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  .xb 
->  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>.  e.  dom  .xb  )
107106ralimi 2796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  .xb 
->  A. q  e.  V  <. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  dom  .xb  )
108102, 107sylbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .x.  q
) ) >. }  C_  .xb 
->  A. q  e.  V  <. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  dom  .xb  )
109108ralimi 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( A. p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.x.  q ) )
>. }  C_  .xb  ->  A. p  e.  V  A. q  e.  V  <. ( F `
 p ) ,  ( F `  q
) >.  e.  dom  .xb  )
110101, 109syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. p  e.  V  A. q  e.  V  <. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  dom  .xb  )
111 opeq2 4159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( F `  q )  ->  <. ( F `  p ) ,  z >.  =  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. )
112111eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  q )  ->  ( <. ( F `  p
) ,  z >.  e.  dom  .xb  <->  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>.  e.  dom  .xb  )
)
113112ralrn 6040 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. z  e.  ran  F
<. ( F `  p
) ,  z >.  e.  dom  .xb  <->  A. q  e.  V  <. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  dom  .xb  ) )
11475, 113syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  F <. ( F `  p ) ,  z >.  e.  dom  .xb  <->  A. q  e.  V  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >.  e.  dom  .xb  ) )
115114ralbidv 2829 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. p  e.  V  A. z  e. 
ran  F <. ( F `  p ) ,  z >.  e.  dom  .xb  <->  A. p  e.  V  A. q  e.  V  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >.  e.  dom  .xb  ) )
116110, 115mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. p  e.  V  A. z  e.  ran  F
<. ( F `  p
) ,  z >.  e.  dom  .xb  )
117 opeq1 4158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  p )  ->  <. y ,  z >.  =  <. ( F `  p ) ,  z >. )
118117eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  p )  ->  ( <. y ,  z >.  e.  dom  .xb  <->  <. ( F `  p ) ,  z
>.  e.  dom  .xb  )
)
119118ralbidv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  p )  ->  ( A. z  e.  ran  F
<. y ,  z >.  e.  dom  .xb  <->  A. z  e.  ran  F
<. ( F `  p
) ,  z >.  e.  dom  .xb  ) )
120119ralrn 6040 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F
<. y ,  z >.  e.  dom  .xb  <->  A. p  e.  V  A. z  e.  ran  F
<. ( F `  p
) ,  z >.  e.  dom  .xb  ) )
12175, 120syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F A. z  e.  ran  F <. y ,  z >.  e.  dom  .xb  <->  A. p  e.  V  A. z  e.  ran  F <. ( F `  p ) ,  z >.  e.  dom  .xb  ) )
122116, 121mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F
<. y ,  z >.  e.  dom  .xb  )
123 eleq1 2537 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( x  e. 
dom  .xb  <->  <. y ,  z
>.  e.  dom  .xb  )
)
124123ralxp 4981 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( ran  F  X.  ran  F ) x  e.  dom  .xb  <->  A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F <. y ,  z >.  e.  dom  .xb  )
125122, 124sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ran  F  X.  ran  F ) x  e.  dom  .xb  )
126 dfss3 3408 . . . . 5  |-  ( ( ran  F  X.  ran  F )  C_  dom  .xb  <->  A. x  e.  ( ran  F  X.  ran  F ) x  e. 
dom  .xb  )
127125, 126sylibr 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  F  X.  ran  F )  C_  dom  .xb  )
12841, 127eqsstr3d 3453 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  X.  B
)  C_  dom  .xb  )
12938, 128eqssd 3435 . 2  |-  ( ph  ->  dom  .xb  =  ( B  X.  B ) )
130 df-fn 5592 . 2  |-  (  .xb  Fn  ( B  X.  B
)  <->  ( Fun  .xb  /\  dom  .xb  =  ( B  X.  B ) ) )
13197, 129, 130sylanbrc 677 1  |-  ( ph  -> 
.xb  Fn  ( B  X.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007   A.wal 1450    = wceq 1452    e. wcel 1904   E*wmo 2320    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   <.cop 3965   U_ciun 4269   class class class wbr 4395    X. cxp 4837   dom cdm 4839   ran crn 4840   Rel wrel 4844   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fo 5595  df-fv 5597
This theorem is referenced by:  imasaddvallem  15513  imasaddflem  15514  imasaddfn  15515  imasmulfn  15518
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