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Theorem imasaddfnlem 15512
Description: The image structure operation is a function if the original operation is compatible with the function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasaddf.f |- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasaddf.e |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
imasaddflem.a |- ( ph -> .xb = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
Assertion
Ref Expression
imasaddfnlem |- ( ph -> .xb Fn ( B X. B ) )
Distinct variable groups:   q, p, B   a, b, p, q, V   .x. , p, q   F, a, b, p, q   ph, a, b, p, q   .xb , a, b, p, q
Allowed substitution hints:   B( a, b)   .x. ( a, b)
Proof of Theorem imasaddfnlem
Dummy variables w y z x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opex 4664 . . . . . . . . 9 |- <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. _V
2 fvex 5889 . . . . . . . . 9 |- ( F ` ( p .x. q ) ) e. _V
31, 2relsnop 4944 . . . . . . . 8 |- Rel { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. }
43rgenw 2768 . . . . . . 7 |- A. q e. V Rel { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. }
5 reliun 4959 . . . . . . 7 |- ( Rel U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } <-> A. q e. V Rel { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
64, 5mpbir 214 . . . . . 6 |- Rel U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. }
76rgenw 2768 . . . . 5 |- A. p e. V Rel U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. }
8 reliun 4959 . . . . 5 |- ( Rel U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } <-> A. p e. V Rel U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
97, 8mpbir 214 . . . 4 |- Rel U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. }
10 imasaddflem.a . . . . 5 |- ( ph -> .xb = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
1110releqd 4924 . . . 4 |- ( ph -> ( Rel .xb <-> Rel U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } ) )
129, 11mpbiri 241 . . 3 |- ( ph -> Rel .xb )
13 imasaddf.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
14 fof 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F : V -onto-> B -> F : V --> B )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : V --> B )
16 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : V --> B /\ p e. V ) -> ( F ` p ) e. B )
17 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : V --> B /\ q e. V ) -> ( F ` q ) e. B )
1816, 17anim12dan 855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : V --> B /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( F ` p ) e. B /\ ( F ` q ) e. B ) )
1915, 18sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( F ` p ) e. B /\ ( F ` q ) e. B ) )
20 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` p ) e. B /\ ( F ` q ) e. B ) -> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. ( B X. B ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. ( B X. B ) )
22 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. ( B X. B ) /\ ( F ` ( p .x. q ) ) e. _V ) -> <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. e. ( ( B X. B ) X. _V ) )
2321, 2, 22sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. e. ( ( B X. B ) X. _V ) )
2423snssd 4108 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ ( ( B X. B ) X. _V ) )
2524anassrs 660 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. V ) /\ q e. V ) -> { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ ( ( B X. B ) X. _V ) )
2625ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. V ) -> A. q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ ( ( B X. B ) X. _V ) )
27 iunss 4310 . . . . . . . . . . 11 |- ( U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ ( ( B X. B ) X. _V ) <-> A. q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ ( ( B X. B ) X. _V ) )
2826, 27sylibr 217 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. V ) -> U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ ( ( B X. B ) X. _V ) )
2928ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ ( ( B X. B ) X. _V ) )
30 iunss 4310 . . . . . . . . 9 |- ( U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ ( ( B X. B ) X. _V ) <-> A. p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ ( ( B X. B ) X. _V ) )
3129, 30sylibr 217 . . . . . . . 8 |- ( ph -> U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ ( ( B X. B ) X. _V ) )
3210, 31eqsstrd 3452 . . . . . . 7 |- ( ph -> .xb C_ ( ( B X. B ) X. _V ) )
33 dmss 5039 . . . . . . 7 |- ( .xb C_ ( ( B X. B ) X. _V ) -> dom .xb C_ dom ( ( B X. B ) X. _V ) )
3432, 33syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> dom .xb C_ dom ( ( B X. B ) X. _V ) )
35 vn0 3730 . . . . . . 7 |- _V =/= (/)
36 dmxp 5059 . . . . . . 7 |- ( _V =/= (/) -> dom ( ( B X. B ) X. _V ) = ( B X. B ) )
3735, 36ax-mp 5 . . . . . 6 |- dom ( ( B X. B ) X. _V ) = ( B X. B )
3834, 37syl6sseq 3464 . . . . 5 |- ( ph -> dom .xb C_ ( B X. B ) )
39 forn 5809 . . . . . . 7 |- ( F : V -onto-> B -> ran F = B )
4013, 39syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> ran F = B )
4140sqxpeqd 4865 . . . . 5 |- ( ph -> ( ran F X. ran F ) = ( B X. B ) )
4238, 41sseqtr4d 3455 . . . 4 |- ( ph -> dom .xb C_ ( ran F X. ran F ) )
4310eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. .xb <-> <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } ) )
4443adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. .xb <-> <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } ) )
45 df-br 4396 . . . . . . . . . . . 12 |- ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w <-> <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. .xb )
46 eliun 4274 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } <-> E. p e. V <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
47 eliun 4274 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } <-> E. q e. V <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
4847rexbii 2881 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. p e. V <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } <-> E. p e. V E. q e. V <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
4946, 48bitr2i 258 . . . . . . . . . . . 12 |- ( E. p e. V E. q e. V <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } <-> <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
5044, 45, 493bitr4g 296 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w <-> E. p e. V E. q e. V <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } ) )
51 opex 4664 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. _V
5251elsnc 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } <-> <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. = <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. )
53 opex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. e. _V
54 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- w e. _V
5553, 54opth 4676 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. = <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. <-> ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. = <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. /\ w = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
56 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F ` a ) e. _V
57 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F ` b ) e. _V
5856, 57opth 4676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. = <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. <-> ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) )
59 imasaddf.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
6058, 59syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. = <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
61 eqeq2 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) -> ( w = ( F ` ( a .x. b ) ) <-> w = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
6261biimprd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) -> ( w = ( F ` ( p .x. q ) ) -> w = ( F ` ( a .x. b ) ) ) )
6360, 62syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. = <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. -> ( w = ( F ` ( p .x. q ) ) -> w = ( F ` ( a .x. b ) ) ) ) )
6463impd 438 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. = <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. /\ w = ( F ` ( p .x. q ) ) ) -> w = ( F ` ( a .x. b ) ) ) )
6555, 64syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. = <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. -> w = ( F ` ( a .x. b ) ) ) )
6652, 65syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } -> w = ( F ` ( a .x. b ) ) ) )
67663expa 1231 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } -> w = ( F ` ( a .x. b ) ) ) )
6867rexlimdvva 2878 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( E. p e. V E. q e. V <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } -> w = ( F ` ( a .x. b ) ) ) )
6950, 68sylbid 223 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w -> w = ( F ` ( a .x. b ) ) ) )
7069alrimiv 1781 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> A. w ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w -> w = ( F ` ( a .x. b ) ) ) )
71 mo2icl 3205 . . . . . . . . 9 |- ( A. w ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w -> w = ( F ` ( a .x. b ) ) ) -> E* w <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w )
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> E* w <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w )
7372ralrimivva 2814 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. a e. V A. b e. V E* w <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w )
74 fofn 5808 . . . . . . . . . 10 |- ( F : V -onto-> B -> F Fn V )
7513, 74syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> F Fn V )
76 opeq2 4159 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( F ` b ) -> <. ( F ` a ) , z >. = <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. )
7776breq1d 4405 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( F ` b ) -> ( <. ( F ` a ) , z >. .xb w <-> <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w ) )
7877mobidv 2340 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( F ` b ) -> ( E* w <. ( F ` a ) , z >. .xb w <-> E* w <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w ) )
7978ralrn 6040 . . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( A. z e. ran F E* w <. ( F ` a ) , z >. .xb w <-> A. b e. V E* w <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w ) )
8075, 79syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. z e. ran F E* w <. ( F ` a ) , z >. .xb w <-> A. b e. V E* w <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w ) )
8180ralbidv 2829 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. a e. V A. z e. ran F E* w <. ( F ` a ) , z >. .xb w <-> A. a e. V A. b e. V E* w <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w ) )
8273, 81mpbird 240 . . . . . 6 |- ( ph -> A. a e. V A. z e. ran F E* w <. ( F ` a ) , z >. .xb w )
83 opeq1 4158 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` a ) -> <. y , z >. = <. ( F ` a ) , z >. )
8483breq1d 4405 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` a ) -> ( <. y , z >. .xb w <-> <. ( F ` a ) , z >. .xb w ) )
8584mobidv 2340 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` a ) -> ( E* w <. y , z >. .xb w <-> E* w <. ( F ` a ) , z >. .xb w ) )
8685ralbidv 2829 . . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` a ) -> ( A. z e. ran F E* w <. y , z >. .xb w <-> A. z e. ran F E* w <. ( F ` a ) , z >. .xb w ) )
8786ralrn 6040 . . . . . . 7 |- ( F Fn V -> ( A. y e. ran F A. z e. ran F E* w <. y , z >. .xb w <-> A. a e. V A. z e. ran F E* w <. ( F ` a ) , z >. .xb w ) )
8875, 87syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. ran F A. z e. ran F E* w <. y , z >. .xb w <-> A. a e. V A. z e. ran F E* w <. ( F ` a ) , z >. .xb w ) )
8982, 88mpbird 240 . . . . 5 |- ( ph -> A. y e. ran F A. z e. ran F E* w <. y , z >. .xb w )
90 breq1 4398 . . . . . . 7 |- ( x = <. y , z >. -> ( x .xb w <-> <. y , z >. .xb w ) )
9190mobidv 2340 . . . . . 6 |- ( x = <. y , z >. -> ( E* w x .xb w <-> E* w <. y , z >. .xb w ) )
9291ralxp 4981 . . . . 5 |- ( A. x e. ( ran F X. ran F ) E* w x .xb w <-> A. y e. ran F A. z e. ran F E* w <. y , z >. .xb w )
9389, 92sylibr 217 . . . 4 |- ( ph -> A. x e. ( ran F X. ran F ) E* w x .xb w )
94 ssralv 3479 . . . 4 |- ( dom .xb C_ ( ran F X. ran F ) -> ( A. x e. ( ran F X. ran F ) E* w x .xb w -> A. x e. dom .xb E* w x .xb w ) )
9542, 93, 94sylc 61 . . 3 |- ( ph -> A. x e. dom .xb E* w x .xb w )
96 dffun7 5615 . . 3 |- ( Fun .xb <-> ( Rel .xb /\ A. x e. dom .xb E* w x .xb w ) )
9712, 95, 96sylanbrc 677 . 2 |- ( ph -> Fun .xb )
98 eqimss2 3471 . . . . . . . . . . 11 |- ( .xb = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } -> U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb )
9910, 98syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb )
100 iunss 4310 . . . . . . . . . 10 |- ( U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb <-> A. p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb )
10199, 100sylib 201 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb )
102 iunss 4310 . . . . . . . . . . 11 |- ( U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb <-> A. q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb )
103 opex 4664 . . . . . . . . . . . . . 14 |- <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. e. _V
104103snss 4087 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. e. .xb <-> { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb )
1051, 2opeldm 5044 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. e. .xb -> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb )
106104, 105sylbir 218 . . . . . . . . . . . 12 |- ( { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb -> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb )
107106ralimi 2796 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb -> A. q e. V <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb )
108102, 107sylbi 200 . . . . . . . . . 10 |- ( U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb -> A. q e. V <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb )
109108ralimi 2796 . . . . . . . . 9 |- ( A. p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb -> A. p e. V A. q e. V <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb )
110101, 109syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A. p e. V A. q e. V <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb )
111 opeq2 4159 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( F ` q ) -> <. ( F ` p ) , z >. = <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. )
112111eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( F ` q ) -> ( <. ( F ` p ) , z >. e. dom .xb <-> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb ) )
113112ralrn 6040 . . . . . . . . . 10 |- ( F Fn V -> ( A. z e. ran F <. ( F ` p ) , z >. e. dom .xb <-> A. q e. V <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb ) )
11475, 113syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A. z e. ran F <. ( F ` p ) , z >. e. dom .xb <-> A. q e. V <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb ) )
115114ralbidv 2829 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. p e. V A. z e. ran F <. ( F ` p ) , z >. e. dom .xb <-> A. p e. V A. q e. V <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb ) )
116110, 115mpbird 240 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. p e. V A. z e. ran F <. ( F ` p ) , z >. e. dom .xb )
117 opeq1 4158 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` p ) -> <. y , z >. = <. ( F ` p ) , z >. )
118117eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` p ) -> ( <. y , z >. e. dom .xb <-> <. ( F ` p ) , z >. e. dom .xb ) )
119118ralbidv 2829 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` p ) -> ( A. z e. ran F <. y , z >. e. dom .xb <-> A. z e. ran F <. ( F ` p ) , z >. e. dom .xb ) )
120119ralrn 6040 . . . . . . . 8 |- ( F Fn V -> ( A. y e. ran F A. z e. ran F <. y , z >. e. dom .xb <-> A. p e. V A. z e. ran F <. ( F ` p ) , z >. e. dom .xb ) )
12175, 120syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. y e. ran F A. z e. ran F <. y , z >. e. dom .xb <-> A. p e. V A. z e. ran F <. ( F ` p ) , z >. e. dom .xb ) )
122116, 121mpbird 240 . . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. ran F A. z e. ran F <. y , z >. e. dom .xb )
123 eleq1 2537 . . . . . . 7 |- ( x = <. y , z >. -> ( x e. dom .xb <-> <. y , z >. e. dom .xb ) )
124123ralxp 4981 . . . . . 6 |- ( A. x e. ( ran F X. ran F ) x e. dom .xb <-> A. y e. ran F A. z e. ran F <. y , z >. e. dom .xb )
125122, 124sylibr 217 . . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ran F X. ran F ) x e. dom .xb )
126 dfss3 3408 . . . . 5 |- ( ( ran F X. ran F ) C_ dom .xb <-> A. x e. ( ran F X. ran F ) x e. dom .xb )
127125, 126sylibr 217 . . . 4 |- ( ph -> ( ran F X. ran F ) C_ dom .xb )
12841, 127eqsstr3d 3453 . . 3 |- ( ph -> ( B X. B ) C_ dom .xb )
12938, 128eqssd 3435 . 2 |- ( ph -> dom .xb = ( B X. B ) )
130 df-fn 5592 . 2 |- ( .xb Fn ( B X. B ) <-> ( Fun .xb /\ dom .xb = ( B X. B ) ) )
13197, 129, 130sylanbrc 677 1 |- ( ph -> .xb Fn ( B X. B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   A.wal 1450   = wceq 1452   e. wcel 1904   E*wmo 2320   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   <.cop 3965   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   X. cxp 4837   dom cdm 4839   ran crn 4840   Rel wrel 4844   Fun wfun 5583   Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fo 5595  df-fv 5597
This theorem is referenced by:  imasaddvallem  15513  imasaddflem  15514  imasaddfn  15515  imasmulfn  15518
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