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Theorem imambfm 29036
 Description: If the sigma-algebra in the range of a given function is generated by a collection of basic sets , then to check the measurability of that function, we need only consider inverse images of basic sets . (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
imambfm.1
imambfm.2 sigAlgebra
imambfm.3 sigaGen
Assertion
Ref Expression
imambfm MblFnM
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem imambfm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imambfm.2 . . . . 5 sigAlgebra
21adantr 466 . . . 4 MblFnM sigAlgebra
3 imambfm.3 . . . . . 6 sigaGen
4 imambfm.1 . . . . . . 7
54sgsiga 28916 . . . . . 6 sigaGen sigAlgebra
63, 5eqeltrd 2506 . . . . 5 sigAlgebra
76adantr 466 . . . 4 MblFnM sigAlgebra
8 simpr 462 . . . 4 MblFnM MblFnM
92, 7, 8mbfmf 29029 . . 3 MblFnM
101ad2antrr 730 . . . . 5 MblFnM sigAlgebra
116ad2antrr 730 . . . . 5 MblFnM sigAlgebra
12 simplr 760 . . . . 5 MblFnM MblFnM
13 sssigagen 28919 . . . . . . . . 9 sigaGen
144, 13syl 17 . . . . . . . 8 sigaGen
1514, 3sseqtr4d 3444 . . . . . . 7
1615ad2antrr 730 . . . . . 6 MblFnM
17 simpr 462 . . . . . 6 MblFnM
1816, 17sseldd 3408 . . . . 5 MblFnM
1910, 11, 12, 18mbfmcnvima 29031 . . . 4 MblFnM
2019ralrimiva 2779 . . 3 MblFnM
219, 20jca 534 . 2 MblFnM
22 unielsiga 28902 . . . . . 6 sigAlgebra
236, 22syl 17 . . . . 5
2423adantr 466 . . . 4
25 unielsiga 28902 . . . . . 6 sigAlgebra
261, 25syl 17 . . . . 5
2726adantr 466 . . . 4
28 simprl 762 . . . 4
29 elmapg 7440 . . . . 5
3029biimpar 487 . . . 4
3124, 27, 28, 30syl21anc 1263 . . 3
323adantr 466 . . . . . 6 sigaGen
33 simpl 458 . . . . . . . . 9
34 ssrab2 3489 . . . . . . . . . . 11
35 pwuni 4595 . . . . . . . . . . 11
3634, 35sstri 3416 . . . . . . . . . 10
3736a1i 11 . . . . . . . . 9
38 fimacnv 5971 . . . . . . . . . . . . 13
3938ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12
4039, 27eqeltrd 2506 . . . . . . . . . . 11
41 imaeq2 5126 . . . . . . . . . . . . 13
4241eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . 12
4342elrab 3171 . . . . . . . . . . 11
4424, 40, 43sylanbrc 668 . . . . . . . . . 10
456ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 sigAlgebra
4645, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
47 elrabi 3168 . . . . . . . . . . . . . 14
4847adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13
49 difelsiga 28907 . . . . . . . . . . . . 13 sigAlgebra
5045, 46, 48, 49syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12
51 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . 14
52 ffun 5691 . . . . . . . . . . . . . 14
53 difpreima 5967 . . . . . . . . . . . . . 14
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . 13
5539difeq1d 3525 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14
571ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 sigAlgebra
5857, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
59 imaeq2 5126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6059eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6160elrab 3171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6261simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6362adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15
64 difelsiga 28907 . . . . . . . . . . . . . . 15 sigAlgebra
6557, 58, 63, 64syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14
6656, 65eqeltrd 2506 . . . . . . . . . . . . 13
6754, 66eqeltrd 2506 . . . . . . . . . . . 12
68 imaeq2 5126 . . . . . . . . . . . . . 14
6968eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . 13
7069elrab 3171 . . . . . . . . . . . 12
7150, 67, 70sylanbrc 668 . . . . . . . . . . 11
7271ralrimiva 2779 . . . . . . . . . 10
736ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 sigAlgebra
74 sspwb 4613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7534, 74mpbi 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7675sseli 3403 . . . . . . . . . . . . . . 15
7776ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14
78 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14
79 sigaclcu 28891 . . . . . . . . . . . . . 14 sigAlgebra
8073, 77, 78, 79syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13
81 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 unipreima 28191 . . . . . . . . . . . . . . 15
8482, 52, 833syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14
851ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15 sigAlgebra
86 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
87 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
88 elelpwi 3935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8986, 87, 88syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
90 imaeq2 5126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9190eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9291elrab 3171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9392simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9489, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9594ralrimiva 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15
96 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9796sigaclcuni 28892 . . . . . . . . . . . . . . 15 sigAlgebra
9885, 95, 78, 97syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14
9984, 98eqeltrd 2506 . . . . . . . . . . . . 13
100 imaeq2 5126 . . . . . . . . . . . . . . 15
101100eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . 14
102101elrab 3171 . . . . . . . . . . . . 13
10380, 99, 102sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . 12
104103ex 435 . . . . . . . . . . 11
105104ralrimiva 2779 . . . . . . . . . 10
10644, 72, 1053jca 1185 . . . . . . . . 9
107 rabexg 4517 . . . . . . . . . . 11 sigAlgebra
108 issiga 28885 . . . . . . . . . . 11 sigAlgebra
1096, 107, 1083syl 18 . . . . . . . . . 10 sigAlgebra
110109biimpar 487 . . . . . . . . 9 sigAlgebra
11133, 37, 106, 110syl12anc 1262 . . . . . . . 8 sigAlgebra
1123unieqd 4172 . . . . . . . . . . . 12 sigaGen
113 unisg 28917 . . . . . . . . . . . . 13 sigaGen
1144, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 sigaGen
115112, 114eqtrd 2462 . . . . . . . . . . 11
116115fveq2d 5829 . . . . . . . . . 10 sigAlgebra sigAlgebra
117116eleq2d 2491 . . . . . . . . 9 sigAlgebra sigAlgebra
118117adantr 466 . . . . . . . 8 sigAlgebra sigAlgebra
119111, 118mpbid 213 . . . . . . 7 sigAlgebra
12015adantr 466 . . . . . . . 8
121 simprr 764 . . . . . . . 8
122 ssrab 3482 . . . . . . . 8
123120, 121, 122sylanbrc 668 . . . . . . 7
124 sigagenss 28923 . . . . . . 7 sigAlgebra sigaGen
125119, 123, 124syl2anc 665 . . . . . 6 sigaGen
12632, 125eqsstrd 3441 . . . . 5
12734a1i 11 . . . . 5
128126, 127eqssd 3424 . . . 4
129 rabid2 2945 . . . 4
130128, 129sylib 199 . . 3
1311adantr 466 . . . 4 sigAlgebra
1326adantr 466 . . . 4 sigAlgebra
133131, 132ismbfm 29026 . . 3 MblFnM
13431, 130, 133mpbir2and 930 . 2 MblFnM
13521, 134impbida 840 1 MblFnM
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872  wral 2714  crab 2718  cvv 3022   cdif 3376   wss 3379  cpw 3924  cuni 4162  ciun 4242   class class class wbr 4366  ccnv 4795   crn 4797  cima 4799   wfun 5538  wf 5540  cfv 5544  (class class class)co 6249  com 6650   cmap 7427   cdom 7522  sigAlgebracsiga 28881  sigaGencsigagen 28912  MblFnMcmbfm 29024 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-ac2 8844 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-oi 7978  df-card 8325  df-acn 8328  df-ac 8498  df-cda 8549  df-siga 28882  df-sigagen 28913  df-mbfm 29025 This theorem is referenced by:  cnmbfm  29037  mbfmco2  29039
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