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Theorem imambfm 26676
Description: If the sigma-algebra in the range of a given function is generated by a collection of basic sets  K, then to check the measurability of that function, we need only consider inverse images of basic sets  a. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
imambfm.1  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
imambfm.2  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
imambfm.3  |-  ( ph  ->  T  =  (sigaGen `  K
) )
Assertion
Ref Expression
imambfm  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    F, a    K, a    S, a    T, a    ph, a

Proof of Theorem imambfm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imambfm.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
3 imambfm.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  =  (sigaGen `  K
) )
4 imambfm.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
54sgsiga 26584 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (sigaGen `  K )  e.  U. ran sigAlgebra )
63, 5eqeltrd 2516 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
8 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  ->  F  e.  ( SMblFnM T ) )
92, 7, 8mbfmf 26669 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  ->  F : U. S
--> U. T )
101ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
116ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
12 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  F  e.  ( SMblFnM T ) )
13 sssigagen 26587 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  _V  ->  K  C_  (sigaGen `  K )
)
144, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  C_  (sigaGen `  K
) )
1514, 3sseqtr4d 3392 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  C_  T )
1615ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  K  C_  T )
17 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  a  e.  K )
1816, 17sseldd 3356 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  a  e.  T )
1910, 11, 12, 18mbfmcnvima 26671 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  /\  a  e.  K )  ->  ( `' F " a )  e.  S )
2019ralrimiva 2798 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  ->  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S )
219, 20jca 532 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( SMblFnM T ) )  ->  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )
22 unielsiga 26570 . . . . . 6  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. T  e.  T )
236, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. T  e.  T
)
2423adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  U. T  e.  T
)
25 unielsiga 26570 . . . . . 6  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. S  e.  S )
261, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. S  e.  S
)
2726adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  U. S  e.  S
)
28 simprl 755 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  F : U. S
--> U. T )
29 elmapg 7226 . . . . 5  |-  ( ( U. T  e.  T  /\  U. S  e.  S
)  ->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  <->  F : U. S --> U. T ) )
3029biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( ( U. T  e.  T  /\  U. S  e.  S )  /\  F : U. S --> U. T
)  ->  F  e.  ( U. T  ^m  U. S ) )
3124, 27, 28, 30syl21anc 1217 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  F  e.  ( U. T  ^m  U. S ) )
323adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  T  =  (sigaGen `  K ) )
33 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ph )
34 ssrab2 3436 . . . . . . . . . . 11  |-  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  T
35 pwuni 4522 . . . . . . . . . . 11  |-  T  C_  ~P U. T
3634, 35sstri 3364 . . . . . . . . . 10  |-  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  ~P U. T
3736a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  ~P U. T )
38 fimacnv 5834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : U. S --> U. T  ->  ( `' F " U. T )  =  U. S )
3938ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( `' F " U. T )  = 
U. S )
4039, 27eqeltrd 2516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( `' F " U. T )  e.  S )
41 imaeq2 5164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  U. T  -> 
( `' F "
a )  =  ( `' F " U. T
) )
4241eleq1d 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  U. T  -> 
( ( `' F " a )  e.  S  <->  ( `' F " U. T
)  e.  S ) )
4342elrab 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. T  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( U. T  e.  T  /\  ( `' F " U. T
)  e.  S ) )
4424, 40, 43sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  U. T  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )
456ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
4645, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  U. T  e.  T )
47 elrabi 3113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ->  x  e.  T )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  x  e.  T )
49 difelsiga 26575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. T  e.  T  /\  x  e.  T )  ->  ( U. T  \  x )  e.  T
)
5045, 46, 48, 49syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( U. T  \  x
)  e.  T )
51 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  F : U. S --> U. T
)
52 ffun 5560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : U. S --> U. T  ->  Fun  F )
53 difpreima 5830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( U. T  \  x ) )  =  ( ( `' F " U. T )  \ 
( `' F "
x ) ) )
5451, 52, 533syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( `' F " ( U. T  \  x ) )  =  ( ( `' F " U. T
)  \  ( `' F " x ) ) )
5539difeq1d 3472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( ( `' F " U. T
)  \  ( `' F " x ) )  =  ( U. S  \  ( `' F "
x ) ) )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  (
( `' F " U. T )  \  ( `' F " x ) )  =  ( U. S  \  ( `' F " x ) ) )
571ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
5857, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  U. S  e.  S )
59 imaeq2 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  x  ->  ( `' F " a )  =  ( `' F " x ) )
6059eleq1d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  x  ->  (
( `' F "
a )  e.  S  <->  ( `' F " x )  e.  S ) )
6160elrab 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( x  e.  T  /\  ( `' F " x )  e.  S ) )
6261simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ->  ( `' F " x )  e.  S )
6362adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( `' F " x )  e.  S )
64 difelsiga 26575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. S  e.  S  /\  ( `' F " x )  e.  S )  -> 
( U. S  \ 
( `' F "
x ) )  e.  S )
6557, 58, 63, 64syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( U. S  \  ( `' F " x ) )  e.  S )
6656, 65eqeltrd 2516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  (
( `' F " U. T )  \  ( `' F " x ) )  e.  S )
6754, 66eqeltrd 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( `' F " ( U. T  \  x ) )  e.  S )
68 imaeq2 5164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( U. T  \  x )  ->  ( `' F " a )  =  ( `' F " ( U. T  \  x ) ) )
6968eleq1d 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( U. T  \  x )  ->  (
( `' F "
a )  e.  S  <->  ( `' F " ( U. T  \  x ) )  e.  S ) )
7069elrab 3116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. T  \  x
)  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( ( U. T  \  x
)  e.  T  /\  ( `' F " ( U. T  \  x ) )  e.  S ) )
7150, 67, 70sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )  ->  ( U. T  \  x
)  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
7271ralrimiva 2798 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  A. x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  ( U. T  \  x )  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )
736ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
74 sspwb 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  C_  T  <->  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  ~P T )
7534, 74mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ~P {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  C_  ~P T
7675sseli 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ->  x  e.  ~P T )
7776ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  x  e.  ~P T
)
78 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  x  ~<_  om )
79 sigaclcu 26559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  U. ran sigAlgebra  /\  x  e.  ~P T  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  T
)
8073, 77, 78, 79syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  T
)
81 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  ( F : U. S
--> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )
8281simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  F : U. S --> U. T )
83 unipreima 25960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " U. x )  =  U_ y  e.  x  ( `' F " y ) )
8482, 52, 833syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  ( `' F " U. x )  =  U_ y  e.  x  ( `' F " y ) )
851ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
86 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S
--> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
87 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S
--> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
88 elelpwi 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  ->  y  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )
8986, 87, 88syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S
--> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
90 imaeq2 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  y  ->  ( `' F " a )  =  ( `' F " y ) )
9190eleq1d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  y  ->  (
( `' F "
a )  e.  S  <->  ( `' F " y )  e.  S ) )
9291elrab 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( y  e.  T  /\  ( `' F " y )  e.  S ) )
9392simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ->  ( `' F " y )  e.  S )
9489, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S
--> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  /\  y  e.  x )  ->  ( `' F " y )  e.  S )
9594ralrimiva 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  A. y  e.  x  ( `' F " y )  e.  S )
96 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y
x
9796sigaclcuni 26560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. y  e.  x  ( `' F " y )  e.  S  /\  x  ~<_  om )  ->  U_ y  e.  x  ( `' F " y )  e.  S )
9885, 95, 78, 97syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  U_ y  e.  x  ( `' F " y )  e.  S )
9984, 98eqeltrd 2516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  ( `' F " U. x )  e.  S
)
100 imaeq2 5164 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  U. x  -> 
( `' F "
a )  =  ( `' F " U. x
) )
101100eleq1d 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  U. x  -> 
( ( `' F " a )  e.  S  <->  ( `' F " U. x
)  e.  S ) )
102101elrab 3116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( U. x  e.  T  /\  ( `' F " U. x
)  e.  S ) )
10380, 99, 102sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )
104103ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  /\  x  e.  ~P { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  ->  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } ) )
105104ralrimiva 2798 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  A. x  e.  ~P  { a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } ) )
10644, 72, 1053jca 1168 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( U. T  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ( U. T  \  x )  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
~P  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } ) ) )
107 rabexg 4441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  _V )
108 issiga 26553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  e.  _V  ->  ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `  U. T )  <->  ( {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  C_  ~P U. T  /\  ( U. T  e. 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ( U. T  \  x )  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
~P  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } ) ) ) ) )
1096, 107, 1083syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T )  <-> 
( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  ~P U. T  /\  ( U. T  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ( U. T  \  x
)  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e.  ~P  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } ) ) ) ) )
110109biimpar 485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  C_  ~P U. T  /\  ( U. T  e. 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  ( U. T  \  x )  e.  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S }  /\  A. x  e. 
~P  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } ) ) ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T ) )
11133, 37, 106, 110syl12anc 1216 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T ) )
1123unieqd 4100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U. T  =  U. (sigaGen `  K ) )
113 unisg 26585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  _V  ->  U. (sigaGen `  K )  =  U. K )
1144, 113syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U. (sigaGen `  K
)  =  U. K
)
115112, 114eqtrd 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. T  =  U. K )
116115fveq2d 5694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (sigAlgebra `  U. T )  =  (sigAlgebra `  U. K ) )
117116eleq2d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T )  <->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `  U. K ) ) )
118117adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. T )  <->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `  U. K ) ) )
119111, 118mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `
 U. K ) )
12015adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  K  C_  T
)
121 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S )
122 ssrab 3429 . . . . . . . 8  |-  ( K 
C_  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  ( K  C_  T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )
123120, 121, 122sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  K  C_  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
124 sigagenss 26591 . . . . . . 7  |-  ( ( { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  e.  (sigAlgebra `  U. K )  /\  K  C_ 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )  ->  (sigaGen `  K )  C_  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
125119, 123, 124syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  (sigaGen `  K )  C_ 
{ a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
12632, 125eqsstrd 3389 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  T  C_  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S } )
12734a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  C_  T )
128126, 127eqssd 3372 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  T  =  {
a  e.  T  | 
( `' F "
a )  e.  S } )
129 rabid2 2897 . . . 4  |-  ( T  =  { a  e.  T  |  ( `' F " a )  e.  S }  <->  A. a  e.  T  ( `' F " a )  e.  S )
130128, 129sylib 196 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  A. a  e.  T  ( `' F " a )  e.  S )
1311adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
1326adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
133131, 132ismbfm 26666 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <-> 
( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  /\  A. a  e.  T  ( `' F " a )  e.  S ) ) )
13431, 130, 133mpbir2and 913 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) )  ->  F  e.  ( SMblFnM T ) )
13521, 134impbida 828 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   {crab 2718   _Vcvv 2971    \ cdif 3324    C_ wss 3327   ~Pcpw 3859   U.cuni 4090   U_ciun 4170   class class class wbr 4291   `'ccnv 4838   ran crn 4840   "cima 4842   Fun wfun 5411   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   omcom 6475    ^m cmap 7213    ~<_ cdom 7307  sigAlgebracsiga 26549  sigaGencsigagen 26580  MblFnMcmbfm 26664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-ac2 8631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-oi 7723  df-card 8108  df-acn 8111  df-ac 8285  df-cda 8336  df-siga 26550  df-sigagen 26581  df-mbfm 26665
This theorem is referenced by:  cnmbfm  26677  mbfmco2  26679
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