MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imafi Structured version   Unicode version

Theorem imafi 7820
Description: Images of finite sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
imafi  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  ( F " X )  e. 
Fin )

Proof of Theorem imafi
StepHypRef Expression
1 imadmres 5289 . 2  |-  ( F
" dom  ( F  |`  X ) )  =  ( F " X
)
2 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  X  e.  Fin )
3 dmres 5087 . . . . 5  |-  dom  ( F  |`  X )  =  ( X  i^i  dom  F )
4 inss1 3625 . . . . 5  |-  ( X  i^i  dom  F )  C_  X
53, 4eqsstri 3437 . . . 4  |-  dom  ( F  |`  X )  C_  X
6 ssfi 7745 . . . 4  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  dom  ( F  |`  X ) 
C_  X )  ->  dom  ( F  |`  X )  e.  Fin )
72, 5, 6sylancl 666 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  dom  ( F  |`  X )  e.  Fin )
8 resss 5090 . . . . 5  |-  ( F  |`  X )  C_  F
9 dmss 4996 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  X )  C_  F  ->  dom  ( F  |`  X )  C_  dom  F )
108, 9mp1i 13 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  dom  ( F  |`  X ) 
C_  dom  F )
11 fores 5762 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  ( F  |`  X ) 
C_  dom  F )  ->  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -onto-> ( F
" dom  ( F  |`  X ) ) )
1210, 11syldan 472 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -onto-> ( F
" dom  ( F  |`  X ) ) )
13 fofi 7813 . . 3  |-  ( ( dom  ( F  |`  X )  e.  Fin  /\  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -onto-> ( F
" dom  ( F  |`  X ) ) )  ->  ( F " dom  ( F  |`  X ) )  e.  Fin )
147, 12, 13syl2anc 665 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  ( F " dom  ( F  |`  X ) )  e. 
Fin )
151, 14syl5eqelr 2511 1  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  ( F " X )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1872    i^i cin 3378    C_ wss 3379   dom cdm 4796    |` cres 4798   "cima 4799   Fun wfun 5538   -onto->wfo 5542   Fincfn 7524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-opab 4426  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-om 6651  df-1o 7137  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-fin 7528
This theorem is referenced by:  fissuni  7832  fipreima  7833  fsuppcolem  7867  cmpfi  20365  mdegldg  22957  mdegcl  22960  locfinreflem  28619  sibfof  29125  eulerpartlemgf  29164  poimirlem30  31877  ftc1anclem7  31930  ftc1anc  31932  elrfirn  35449  sge0f1o  38075
  Copyright terms: Public domain W3C validator