MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imafi Structured version   Unicode version

Theorem imafi 7592
Description: Images of finite sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
imafi  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  ( F " X )  e. 
Fin )

Proof of Theorem imafi
StepHypRef Expression
1 imadmres 5318 . 2  |-  ( F
" dom  ( F  |`  X ) )  =  ( F " X
)
2 simpr 458 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  X  e.  Fin )
3 dmres 5119 . . . . 5  |-  dom  ( F  |`  X )  =  ( X  i^i  dom  F )
4 inss1 3558 . . . . 5  |-  ( X  i^i  dom  F )  C_  X
53, 4eqsstri 3374 . . . 4  |-  dom  ( F  |`  X )  C_  X
6 ssfi 7521 . . . 4  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  dom  ( F  |`  X ) 
C_  X )  ->  dom  ( F  |`  X )  e.  Fin )
72, 5, 6sylancl 655 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  dom  ( F  |`  X )  e.  Fin )
8 resss 5122 . . . . 5  |-  ( F  |`  X )  C_  F
9 dmss 5026 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  X )  C_  F  ->  dom  ( F  |`  X )  C_  dom  F )
108, 9mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  dom  ( F  |`  X ) 
C_  dom  F )
11 fores 5617 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  ( F  |`  X ) 
C_  dom  F )  ->  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -onto-> ( F
" dom  ( F  |`  X ) ) )
1210, 11syldan 467 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -onto-> ( F
" dom  ( F  |`  X ) ) )
13 fofi 7585 . . 3  |-  ( ( dom  ( F  |`  X )  e.  Fin  /\  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -onto-> ( F
" dom  ( F  |`  X ) ) )  ->  ( F " dom  ( F  |`  X ) )  e.  Fin )
147, 12, 13syl2anc 654 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  ( F " dom  ( F  |`  X ) )  e. 
Fin )
151, 14syl5eqelr 2518 1  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  ( F " X )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1755    i^i cin 3315    C_ wss 3316   dom cdm 4827    |` cres 4829   "cima 4830   Fun wfun 5400   -onto->wfo 5404   Fincfn 7298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-om 6466  df-1o 6908  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-fin 7302
This theorem is referenced by:  fissuni  7604  fipreima  7605  fsuppcolem  7638  mapfienOLD  7915  cmpfi  18852  mdegldg  21421  mdegcl  21424  sibfof  26573  eulerpartlemgf  26609  ftc1anclem7  28314  ftc1anc  28316  elrfirn  28873
  Copyright terms: Public domain W3C validator