MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imafi Structured version   Unicode version

Theorem imafi 7873
Description: Images of finite sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
imafi  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  ( F " X )  e. 
Fin )

Proof of Theorem imafi
StepHypRef Expression
1 imadmres 5347 . 2  |-  ( F
" dom  ( F  |`  X ) )  =  ( F " X
)
2 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  X  e.  Fin )
3 dmres 5145 . . . . 5  |-  dom  ( F  |`  X )  =  ( X  i^i  dom  F )
4 inss1 3688 . . . . 5  |-  ( X  i^i  dom  F )  C_  X
53, 4eqsstri 3500 . . . 4  |-  dom  ( F  |`  X )  C_  X
6 ssfi 7798 . . . 4  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  dom  ( F  |`  X ) 
C_  X )  ->  dom  ( F  |`  X )  e.  Fin )
72, 5, 6sylancl 666 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  dom  ( F  |`  X )  e.  Fin )
8 resss 5148 . . . . 5  |-  ( F  |`  X )  C_  F
9 dmss 5054 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  X )  C_  F  ->  dom  ( F  |`  X )  C_  dom  F )
108, 9mp1i 13 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  dom  ( F  |`  X ) 
C_  dom  F )
11 fores 5819 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  ( F  |`  X ) 
C_  dom  F )  ->  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -onto-> ( F
" dom  ( F  |`  X ) ) )
1210, 11syldan 472 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -onto-> ( F
" dom  ( F  |`  X ) ) )
13 fofi 7866 . . 3  |-  ( ( dom  ( F  |`  X )  e.  Fin  /\  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -onto-> ( F
" dom  ( F  |`  X ) ) )  ->  ( F " dom  ( F  |`  X ) )  e.  Fin )
147, 12, 13syl2anc 665 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  ( F " dom  ( F  |`  X ) )  e. 
Fin )
151, 14syl5eqelr 2522 1  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  ( F " X )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1870    i^i cin 3441    C_ wss 3442   dom cdm 4854    |` cres 4856   "cima 4857   Fun wfun 5595   -onto->wfo 5599   Fincfn 7577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6707  df-1o 7190  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-fin 7581
This theorem is referenced by:  fissuni  7885  fipreima  7886  fsuppcolem  7920  cmpfi  20354  mdegldg  22892  mdegcl  22895  locfinreflem  28506  sibfof  29001  eulerpartlemgf  29038  poimirlem30  31674  ftc1anclem7  31727  ftc1anc  31729  elrfirn  35246  sge0f1o  37758
  Copyright terms: Public domain W3C validator