MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imafi Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem imafi 7885
Description: Images of finite sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
imafi  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  ( F " X )  e. 
Fin )

Proof of Theorem imafi
StepHypRef Expression
1 imadmres 5334 . 2  |-  ( F
" dom  ( F  |`  X ) )  =  ( F " X
)
2 simpr 468 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  X  e.  Fin )
3 dmres 5131 . . . . 5  |-  dom  ( F  |`  X )  =  ( X  i^i  dom  F )
4 inss1 3643 . . . . 5  |-  ( X  i^i  dom  F )  C_  X
53, 4eqsstri 3448 . . . 4  |-  dom  ( F  |`  X )  C_  X
6 ssfi 7810 . . . 4  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  dom  ( F  |`  X ) 
C_  X )  ->  dom  ( F  |`  X )  e.  Fin )
72, 5, 6sylancl 675 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  dom  ( F  |`  X )  e.  Fin )
8 resss 5134 . . . . 5  |-  ( F  |`  X )  C_  F
9 dmss 5039 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  X )  C_  F  ->  dom  ( F  |`  X )  C_  dom  F )
108, 9mp1i 13 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  dom  ( F  |`  X ) 
C_  dom  F )
11 fores 5815 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  ( F  |`  X ) 
C_  dom  F )  ->  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -onto-> ( F
" dom  ( F  |`  X ) ) )
1210, 11syldan 478 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -onto-> ( F
" dom  ( F  |`  X ) ) )
13 fofi 7878 . . 3  |-  ( ( dom  ( F  |`  X )  e.  Fin  /\  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -onto-> ( F
" dom  ( F  |`  X ) ) )  ->  ( F " dom  ( F  |`  X ) )  e.  Fin )
147, 12, 13syl2anc 673 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  ( F " dom  ( F  |`  X ) )  e. 
Fin )
151, 14syl5eqelr 2554 1  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e.  Fin )  ->  ( F " X )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    e. wcel 1904    i^i cin 3389    C_ wss 3390   dom cdm 4839    |` cres 4841   "cima 4842   Fun wfun 5583   -onto->wfo 5587   Fincfn 7587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591
This theorem is referenced by:  fissuni  7897  fipreima  7898  fsuppcolem  7932  cmpfi  20500  mdegldg  23094  mdegcl  23097  locfinreflem  28741  sibfof  29246  eulerpartlemgf  29285  poimirlem30  32034  ftc1anclem7  32087  ftc1anc  32089  elrfirn  35608  sge0f1o  38338  trlsegvdeglem6  40137
  Copyright terms: Public domain W3C validator