Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  imaelshi Structured version   Unicode version

Theorem imaelshi 25609
 Description: The image of a subspace under a linear operator is a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rnelsh.1
imaelsh.2
Assertion
Ref Expression
imaelshi

Proof of Theorem imaelshi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5283 . . . 4
2 rnelsh.1 . . . . . 6
32lnopfi 25520 . . . . 5
4 frn 5668 . . . . 5
53, 4ax-mp 5 . . . 4
61, 5sstri 3468 . . 3
72lnop0i 25521 . . . 4
8 imaelsh.2 . . . . . 6
9 sh0 24765 . . . . . 6
108, 9ax-mp 5 . . . . 5
11 ffun 5664 . . . . . . 7
123, 11ax-mp 5 . . . . . 6
138shssii 24762 . . . . . . 7
143fdmi 5667 . . . . . . 7
1513, 14sseqtr4i 3492 . . . . . 6
16 funfvima2 6057 . . . . . 6
1712, 15, 16mp2an 672 . . . . 5
1810, 17ax-mp 5 . . . 4
197, 18eqeltrri 2537 . . 3
206, 19pm3.2i 455 . 2
21 ffn 5662 . . . . . 6
223, 21ax-mp 5 . . . . 5
23 oveq1 6202 . . . . . . . 8
2423eleq1d 2521 . . . . . . 7
2524ralbidv 2843 . . . . . 6
2625ralima 6061 . . . . 5
2722, 13, 26mp2an 672 . . . 4
288sheli 24763 . . . . . . . 8
298sheli 24763 . . . . . . . 8
302lnopaddi 25522 . . . . . . . 8
3128, 29, 30syl2an 477 . . . . . . 7
32 shaddcl 24766 . . . . . . . . 9
338, 32mp3an1 1302 . . . . . . . 8
34 funfvima2 6057 . . . . . . . . 9
3512, 15, 34mp2an 672 . . . . . . . 8
3633, 35syl 16 . . . . . . 7
3731, 36eqeltrrd 2541 . . . . . 6
3837ralrimiva 2827 . . . . 5
39 oveq2 6203 . . . . . . . 8
4039eleq1d 2521 . . . . . . 7
4140ralima 6061 . . . . . 6
4222, 13, 41mp2an 672 . . . . 5
4338, 42sylibr 212 . . . 4
4427, 43mprgbir 2898 . . 3
452lnopmuli 25523 . . . . . . . 8
4629, 45sylan2 474 . . . . . . 7
47 shmulcl 24767 . . . . . . . . 9
488, 47mp3an1 1302 . . . . . . . 8
49 funfvima2 6057 . . . . . . . . 9
5012, 15, 49mp2an 672 . . . . . . . 8
5148, 50syl 16 . . . . . . 7
5246, 51eqeltrrd 2541 . . . . . 6
5352ralrimiva 2827 . . . . 5
54 oveq2 6203 . . . . . . . 8
5554eleq1d 2521 . . . . . . 7
5655ralima 6061 . . . . . 6
5722, 13, 56mp2an 672 . . . . 5
5853, 57sylibr 212 . . . 4
5958rgen 2893 . . 3
6044, 59pm3.2i 455 . 2
61 issh2 24758 . 2
6220, 60, 61mpbir2an 911 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1370   wcel 1758  wral 2796   wss 3431   cdm 4943   crn 4944  cima 4946   wfun 5515   wfn 5516  wf 5517  cfv 5521  (class class class)co 6195  cc 9386  chil 24468   cva 24469   csm 24470  c0v 24473  csh 24477  clo 24496 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-hilex 24548  ax-hfvadd 24549  ax-hvass 24551  ax-hv0cl 24552  ax-hvaddid 24553  ax-hfvmul 24554  ax-hvmulid 24555  ax-hvdistr2 24558  ax-hvmul0 24559 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-ltxr 9529  df-sub 9703  df-neg 9704  df-hvsub 24520  df-sh 24756  df-lnop 25392 This theorem is referenced by:  rnelshi  25610
 Copyright terms: Public domain W3C validator