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Theorem imaelshi 25609
Description: The image of a subspace under a linear operator is a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rnelsh.1  |-  T  e. 
LinOp
imaelsh.2  |-  A  e.  SH
Assertion
Ref Expression
imaelshi  |-  ( T
" A )  e.  SH

Proof of Theorem imaelshi
Dummy variables  v  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5283 . . . 4  |-  ( T
" A )  C_  ran  T
2 rnelsh.1 . . . . . 6  |-  T  e. 
LinOp
32lnopfi 25520 . . . . 5  |-  T : ~H
--> ~H
4 frn 5668 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ran 
T  C_  ~H )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  ran  T  C_ 
~H
61, 5sstri 3468 . . 3  |-  ( T
" A )  C_  ~H
72lnop0i 25521 . . . 4  |-  ( T `
 0h )  =  0h
8 imaelsh.2 . . . . . 6  |-  A  e.  SH
9 sh0 24765 . . . . . 6  |-  ( A  e.  SH  ->  0h  e.  A )
108, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  0h  e.  A
11 ffun 5664 . . . . . . 7  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  Fun 
T )
123, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Fun  T
138shssii 24762 . . . . . . 7  |-  A  C_  ~H
143fdmi 5667 . . . . . . 7  |-  dom  T  =  ~H
1513, 14sseqtr4i 3492 . . . . . 6  |-  A  C_  dom  T
16 funfvima2 6057 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  T  /\  A  C_ 
dom  T )  -> 
( 0h  e.  A  ->  ( T `  0h )  e.  ( T " A ) ) )
1712, 15, 16mp2an 672 . . . . 5  |-  ( 0h  e.  A  ->  ( T `  0h )  e.  ( T " A
) )
1810, 17ax-mp 5 . . . 4  |-  ( T `
 0h )  e.  ( T " A
)
197, 18eqeltrri 2537 . . 3  |-  0h  e.  ( T " A )
206, 19pm3.2i 455 . 2  |-  ( ( T " A ) 
C_  ~H  /\  0h  e.  ( T " A ) )
21 ffn 5662 . . . . . 6  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  T  Fn  ~H )
223, 21ax-mp 5 . . . . 5  |-  T  Fn  ~H
23 oveq1 6202 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( T `  x )  ->  (
u  +h  v )  =  ( ( T `
 x )  +h  v ) )
2423eleq1d 2521 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( T `  x )  ->  (
( u  +h  v
)  e.  ( T
" A )  <->  ( ( T `  x )  +h  v )  e.  ( T " A ) ) )
2524ralbidv 2843 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( T `  x )  ->  ( A. v  e.  ( T " A ) ( u  +h  v )  e.  ( T " A )  <->  A. v  e.  ( T " A
) ( ( T `
 x )  +h  v )  e.  ( T " A ) ) )
2625ralima 6061 . . . . 5  |-  ( ( T  Fn  ~H  /\  A  C_  ~H )  -> 
( A. u  e.  ( T " A
) A. v  e.  ( T " A
) ( u  +h  v )  e.  ( T " A )  <->  A. x  e.  A  A. v  e.  ( T " A ) ( ( T `  x
)  +h  v )  e.  ( T " A ) ) )
2722, 13, 26mp2an 672 . . . 4  |-  ( A. u  e.  ( T " A ) A. v  e.  ( T " A
) ( u  +h  v )  e.  ( T " A )  <->  A. x  e.  A  A. v  e.  ( T " A ) ( ( T `  x
)  +h  v )  e.  ( T " A ) )
288sheli 24763 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ~H )
298sheli 24763 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
302lnopaddi 25522 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  +h  y ) )  =  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y ) ) )
3128, 29, 30syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( T `  (
x  +h  y ) )  =  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y ) ) )
32 shaddcl 24766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  SH  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +h  y
)  e.  A )
338, 32mp3an1 1302 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +h  y
)  e.  A )
34 funfvima2 6057 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  T  /\  A  C_ 
dom  T )  -> 
( ( x  +h  y )  e.  A  ->  ( T `  (
x  +h  y ) )  e.  ( T
" A ) ) )
3512, 15, 34mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  +h  y )  e.  A  ->  ( T `  ( x  +h  y ) )  e.  ( T " A
) )
3633, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( T `  (
x  +h  y ) )  e.  ( T
" A ) )
3731, 36eqeltrrd 2541 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) )
3837ralrimiva 2827 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y
) )  e.  ( T " A ) )
39 oveq2 6203 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( T `  y )  ->  (
( T `  x
)  +h  v )  =  ( ( T `
 x )  +h  ( T `  y
) ) )
4039eleq1d 2521 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( T `  y )  ->  (
( ( T `  x )  +h  v
)  e.  ( T
" A )  <->  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y
) )  e.  ( T " A ) ) )
4140ralima 6061 . . . . . 6  |-  ( ( T  Fn  ~H  /\  A  C_  ~H )  -> 
( A. v  e.  ( T " A
) ( ( T `
 x )  +h  v )  e.  ( T " A )  <->  A. y  e.  A  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) ) )
4222, 13, 41mp2an 672 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  ( T " A ) ( ( T `  x )  +h  v )  e.  ( T " A
)  <->  A. y  e.  A  ( ( T `  x )  +h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) )
4338, 42sylibr 212 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  A. v  e.  ( T " A
) ( ( T `
 x )  +h  v )  e.  ( T " A ) )
4427, 43mprgbir 2898 . . 3  |-  A. u  e.  ( T " A
) A. v  e.  ( T " A
) ( u  +h  v )  e.  ( T " A )
452lnopmuli 25523 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
u  .h  y ) )  =  ( u  .h  ( T `  y ) ) )
4629, 45sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( T `  (
u  .h  y ) )  =  ( u  .h  ( T `  y ) ) )
47 shmulcl 24767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  SH  /\  u  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  (
u  .h  y )  e.  A )
488, 47mp3an1 1302 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( u  .h  y
)  e.  A )
49 funfvima2 6057 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  T  /\  A  C_ 
dom  T )  -> 
( ( u  .h  y )  e.  A  ->  ( T `  (
u  .h  y ) )  e.  ( T
" A ) ) )
5012, 15, 49mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  .h  y )  e.  A  ->  ( T `  ( u  .h  y ) )  e.  ( T " A
) )
5148, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( T `  (
u  .h  y ) )  e.  ( T
" A ) )
5246, 51eqeltrrd 2541 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( u  .h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) )
5352ralrimiva 2827 . . . . 5  |-  ( u  e.  CC  ->  A. y  e.  A  ( u  .h  ( T `  y
) )  e.  ( T " A ) )
54 oveq2 6203 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( T `  y )  ->  (
u  .h  v )  =  ( u  .h  ( T `  y
) ) )
5554eleq1d 2521 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( T `  y )  ->  (
( u  .h  v
)  e.  ( T
" A )  <->  ( u  .h  ( T `  y
) )  e.  ( T " A ) ) )
5655ralima 6061 . . . . . 6  |-  ( ( T  Fn  ~H  /\  A  C_  ~H )  -> 
( A. v  e.  ( T " A
) ( u  .h  v )  e.  ( T " A )  <->  A. y  e.  A  ( u  .h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) ) )
5722, 13, 56mp2an 672 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  ( T " A ) ( u  .h  v )  e.  ( T " A
)  <->  A. y  e.  A  ( u  .h  ( T `  y )
)  e.  ( T
" A ) )
5853, 57sylibr 212 . . . 4  |-  ( u  e.  CC  ->  A. v  e.  ( T " A
) ( u  .h  v )  e.  ( T " A ) )
5958rgen 2893 . . 3  |-  A. u  e.  CC  A. v  e.  ( T " A
) ( u  .h  v )  e.  ( T " A )
6044, 59pm3.2i 455 . 2  |-  ( A. u  e.  ( T " A ) A. v  e.  ( T " A
) ( u  +h  v )  e.  ( T " A )  /\  A. u  e.  CC  A. v  e.  ( T " A
) ( u  .h  v )  e.  ( T " A ) )
61 issh2 24758 . 2  |-  ( ( T " A )  e.  SH  <->  ( (
( T " A
)  C_  ~H  /\  0h  e.  ( T " A
) )  /\  ( A. u  e.  ( T " A ) A. v  e.  ( T " A ) ( u  +h  v )  e.  ( T " A
)  /\  A. u  e.  CC  A. v  e.  ( T " A
) ( u  .h  v )  e.  ( T " A ) ) ) )
6220, 60, 61mpbir2an 911 1  |-  ( T
" A )  e.  SH
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2796    C_ wss 3431   dom cdm 4943   ran crn 4944   "cima 4946   Fun wfun 5515    Fn wfn 5516   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   ~Hchil 24468    +h cva 24469    .h csm 24470   0hc0v 24473   SHcsh 24477   LinOpclo 24496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-hilex 24548  ax-hfvadd 24549  ax-hvass 24551  ax-hv0cl 24552  ax-hvaddid 24553  ax-hfvmul 24554  ax-hvmulid 24555  ax-hvdistr2 24558  ax-hvmul0 24559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-ltxr 9529  df-sub 9703  df-neg 9704  df-hvsub 24520  df-sh 24756  df-lnop 25392
This theorem is referenced by:  rnelshi  25610
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