Theorem imadif 5505

Description: The image of a difference is the difference of images. (Contributed by NM, 24-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
imadif	|- ( Fun `' F -> ( F " ( A \ B ) ) = ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) )

Proof of Theorem imadif

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anandir 825	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
2	1	exbii 1634	. . . . . . 7 |- ( E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
3		19.40 1646	. . . . . . 7 |- ( E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. x ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
4	2, 3	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) -> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. x ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
5		nfv 1673	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x Fun `' F
6		nfe1 1778	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x E. x ( x F y /\ -. x e. B )
7	5, 6	nfan 1861	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) )
8		funmo 5446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun `' F -> E* x y `' F x )
9		vex 2987	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
10		vex 2987	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x e. _V
11	9, 10	brcnv 5034	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y `' F x <-> x F y )
12	11	mobii 2279	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E* x y `' F x <-> E* x x F y )
13	8, 12	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun `' F -> E* x x F y )
14		mopick 2339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E* x x F y /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> ( x F y -> -. x e. B ) )
15	13, 14	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> ( x F y -> -. x e. B ) )
16	15	con2d 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> ( x e. B -> -. x F y ) )
17		imnan 422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B -> -. x F y ) <-> -. ( x e. B /\ x F y ) )
18	16, 17	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> -. ( x e. B /\ x F y ) )
19	7, 18	alrimi 1811	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> A. x -. ( x e. B /\ x F y ) )
20	19	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( Fun `' F -> ( E. x ( x F y /\ -. x e. B ) -> A. x -. ( x e. B /\ x F y ) ) )
21		exancom 1638	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( x F y /\ -. x e. B ) <-> E. x ( -. x e. B /\ x F y ) )
22		alnex 1588	. . . . . . . 8 |- ( A. x -. ( x e. B /\ x F y ) <-> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) )
23	20, 21, 22	3imtr3g 269	. . . . . . 7 |- ( Fun `' F -> ( E. x ( -. x e. B /\ x F y ) -> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) )
24	23	anim2d 565	. . . . . 6 |- ( Fun `' F -> ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. x ( -. x e. B /\ x F y ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) ) )
25	4, 24	syl5 32	. . . . 5 |- ( Fun `' F -> ( E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) -> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) ) )
26		19.29r 1651	. . . . . . 7 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ A. x -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) )
27	22, 26	sylan2br 476	. . . . . 6 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) )
28		andi 862	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B \/ -. x F y ) ) <-> ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. x e. B ) \/ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. x F y ) ) )
29		ianor 488	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( x e. B /\ x F y ) <-> ( -. x e. B \/ -. x F y ) )
30	29	anbi2i 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) <-> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B \/ -. x F y ) ) )
31		an32 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. x e. B ) )
32		pm3.24 877	. . . . . . . . . . . 12 |- -. ( x F y /\ -. x F y )
33	32	intnan 905	. . . . . . . . . . 11 |- -. ( x e. A /\ ( x F y /\ -. x F y ) )
34		anass 649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. x F y ) <-> ( x e. A /\ ( x F y /\ -. x F y ) ) )
35	33, 34	mtbir 299	. . . . . . . . . 10 |- -. ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. x F y )
36	35	biorfi 407	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. x e. B ) <-> ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. x e. B ) \/ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. x F y ) ) )
37	31, 36	bitri 249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. x e. B ) \/ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. x F y ) ) )
38	28, 30, 37	3bitr4i 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
39	38	exbii 1634	. . . . . 6 |- ( E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) <-> E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
40	27, 39	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
41	25, 40	impbid1 203	. . . 4 |- ( Fun `' F -> ( E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) ) )
42		eldif 3350	. . . . . 6 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
43	42	anbi1i 695	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
44	43	exbii 1634	. . . 4 |- ( E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
45	9	elima2 5187	. . . . 5 |- ( y e. ( F " A ) <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
46	9	elima2 5187	. . . . . 6 |- ( y e. ( F " B ) <-> E. x ( x e. B /\ x F y ) )
47	46	notbii 296	. . . . 5 |- ( -. y e. ( F " B ) <-> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) )
48	45, 47	anbi12i 697	. . . 4 |- ( ( y e. ( F " A ) /\ -. y e. ( F " B ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) )
49	41, 44, 48	3bitr4g 288	. . 3 |- ( Fun `' F -> ( E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> ( y e. ( F " A ) /\ -. y e. ( F " B ) ) ) )
50	9	elima2 5187	. . 3 |- ( y e. ( F " ( A \ B ) ) <-> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
51		eldif 3350	. . 3 |- ( y e. ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) <-> ( y e. ( F " A ) /\ -. y e. ( F " B ) ) )
52	49, 50, 51	3bitr4g 288	. 2 |- ( Fun `' F -> ( y e. ( F " ( A \ B ) ) <-> y e. ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) ) )
53	52	eqrdv 2441	1 |- ( Fun `' F -> ( F " ( A \ B ) ) = ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   A.wal 1367   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   E*wmo 2254   \ cdif 3337   class class class wbr 4304   `'ccnv 4851   "cima 4855   Fun wfun 5424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pr 4543

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-br 4305  df-opab 4363  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-fun 5432

This theorem is referenced by:  imain  5506  resdif  5673  difpreima  5843  domunsncan  7423  phplem4  7505  php3  7509  infdifsn  7874  cantnfp1lem3  7900  cantnfp1lem3OLD  7926  mapfienOLD  7939  enfin1ai  8565  fin1a2lem7  8587  symgfixelsi  15952  dprdf1o  16541  frlmlbs  18237  f1lindf  18263  cnclima  18884  iscncl  18885  qtopcld  19298  qtoprest  19302  qtopcmap  19304  mbfimaicc  21123  ismbf3d  21144  i1fd  21171  ballotlemfrc  26921