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Theorem imadif 5684
Description: The image of a difference is the difference of images. (Contributed by NM, 24-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
imadif  |-  ( Fun  `' F  ->  ( F
" ( A  \  B ) )  =  ( ( F " A )  \  ( F " B ) ) )

Proof of Theorem imadif
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anandir 843 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x F
y )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) ) )
21exbii 1729 . . . . . . 7  |-  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B )  /\  x F y )  <->  E. x ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) ) )
3 19.40 1742 . . . . . . 7  |-  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  E. x ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) ) )
42, 3sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B )  /\  x F y )  ->  ( E. x
( x  e.  A  /\  x F y )  /\  E. x ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) ) )
5 nfv 1772 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x Fun  `' F
6 nfe1 1929 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B )
75, 6nfan 2022 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( Fun  `' F  /\  E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B )
)
8 funmo 5621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun  `' F  ->  E* x  y `' F x )
9 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
10 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
119, 10brcnv 5039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y `' F x  <->  x F
y )
1211mobii 2333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E* x  y `' F x 
<->  E* x  x F y )
138, 12sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  `' F  ->  E* x  x F y )
14 mopick 2375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E* x  x F y  /\  E. x
( x F y  /\  -.  x  e.  B ) )  -> 
( x F y  ->  -.  x  e.  B ) )
1513, 14sylan 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  `' F  /\  E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B ) )  -> 
( x F y  ->  -.  x  e.  B ) )
1615con2d 120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  `' F  /\  E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B ) )  -> 
( x  e.  B  ->  -.  x F y ) )
17 imnan 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  ->  -.  x F y )  <->  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )
1816, 17sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  `' F  /\  E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B ) )  ->  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )
197, 18alrimi 1966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  `' F  /\  E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B ) )  ->  A. x  -.  (
x  e.  B  /\  x F y ) )
2019ex 440 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  `' F  ->  ( E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B )  ->  A. x  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) ) )
21 exancom 1733 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x F y  /\  -.  x  e.  B )  <->  E. x
( -.  x  e.  B  /\  x F y ) )
22 alnex 1676 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  -.  ( x  e.  B  /\  x F y )  <->  -.  E. x
( x  e.  B  /\  x F y ) )
2320, 21, 223imtr3g 277 . . . . . . 7  |-  ( Fun  `' F  ->  ( E. x ( -.  x  e.  B  /\  x F y )  ->  -.  E. x ( x  e.  B  /\  x F y ) ) )
2423anim2d 573 . . . . . 6  |-  ( Fun  `' F  ->  ( ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  E. x ( -.  x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  ( E. x
( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  E. x
( x  e.  B  /\  x F y ) ) ) )
254, 24syl5 33 . . . . 5  |-  ( Fun  `' F  ->  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B )  /\  x F y )  ->  ( E. x
( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  E. x
( x  e.  B  /\  x F y ) ) ) )
26 19.29r 1747 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  A. x  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  E. x ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) ) )
2722, 26sylan2br 483 . . . . . 6  |-  ( ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  E. x ( x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  E. x ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) ) )
28 andi 883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( -.  x  e.  B  \/  -.  x F y ) )  <-> 
( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  x  e.  B
)  \/  ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  x F y ) ) )
29 ianor 495 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( x  e.  B  /\  x F y )  <-> 
( -.  x  e.  B  \/  -.  x F y ) )
3029anbi2i 705 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  ( -.  x  e.  B  \/  -.  x F y ) ) )
31 an32 812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x F
y )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  x  e.  B
) )
32 pm3.24 898 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  (
x F y  /\  -.  x F y )
3332intnan 930 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  (
x  e.  A  /\  ( x F y  /\  -.  x F y ) )
34 anass 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  x F y )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x F y  /\  -.  x F y ) ) )
3533, 34mtbir 305 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (
( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  x F y )
3635biorfi 413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  x  e.  B )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  x  e.  B )  \/  (
( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  x F y ) ) )
3731, 36bitri 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x F
y )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  x  e.  B )  \/  (
( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  x F y ) ) )
3828, 30, 373bitr4i 285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B )  /\  x F y ) )
3938exbii 1729 . . . . . 6  |-  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x F y ) )  <->  E. x ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x F
y ) )
4027, 39sylib 201 . . . . 5  |-  ( ( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  E. x ( x  e.  B  /\  x F y ) )  ->  E. x ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x F
y ) )
4125, 40impbid1 208 . . . 4  |-  ( Fun  `' F  ->  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B )  /\  x F y )  <-> 
( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  E. x ( x  e.  B  /\  x F y ) ) ) )
42 eldif 3426 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  <->  ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B ) )
4342anbi1i 706 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A 
\  B )  /\  x F y )  <->  ( (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x F
y ) )
4443exbii 1729 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  ( A  \  B
)  /\  x F
y )  <->  E. x
( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B )  /\  x F y ) )
459elima2 5196 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( F " A )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  x F y ) )
469elima2 5196 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( F " B )  <->  E. x
( x  e.  B  /\  x F y ) )
4746notbii 302 . . . . 5  |-  ( -.  y  e.  ( F
" B )  <->  -.  E. x
( x  e.  B  /\  x F y ) )
4845, 47anbi12i 708 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( F
" A )  /\  -.  y  e.  ( F " B ) )  <-> 
( E. x ( x  e.  A  /\  x F y )  /\  -.  E. x ( x  e.  B  /\  x F y ) ) )
4941, 44, 483bitr4g 296 . . 3  |-  ( Fun  `' F  ->  ( E. x ( x  e.  ( A  \  B
)  /\  x F
y )  <->  ( y  e.  ( F " A
)  /\  -.  y  e.  ( F " B
) ) ) )
509elima2 5196 . . 3  |-  ( y  e.  ( F "
( A  \  B
) )  <->  E. x
( x  e.  ( A  \  B )  /\  x F y ) )
51 eldif 3426 . . 3  |-  ( y  e.  ( ( F
" A )  \ 
( F " B
) )  <->  ( y  e.  ( F " A
)  /\  -.  y  e.  ( F " B
) ) )
5249, 50, 513bitr4g 296 . 2  |-  ( Fun  `' F  ->  ( y  e.  ( F "
( A  \  B
) )  <->  y  e.  ( ( F " A )  \  ( F " B ) ) ) )
5352eqrdv 2460 1  |-  ( Fun  `' F  ->  ( F
" ( A  \  B ) )  =  ( ( F " A )  \  ( F " B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 374    /\ wa 375   A.wal 1453    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898   E*wmo 2311    \ cdif 3413   class class class wbr 4418   `'ccnv 4855   "cima 4859   Fun wfun 5599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pr 4656
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-br 4419  df-opab 4478  df-id 4771  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-fun 5607
This theorem is referenced by:  imain  5685  resdif  5861  difpreima  6036  domunsncan  7703  phplem4  7785  php3  7789  infdifsn  8193  cantnfp1lem3  8216  enfin1ai  8845  fin1a2lem7  8867  symgfixelsi  17131  dprdf1o  17720  frlmlbs  19410  f1lindf  19435  cnclima  20339  iscncl  20340  qtopcld  20783  qtoprest  20787  qtopcmap  20789  mbfimaicc  22645  ismbf3d  22666  i1fd  22695  ballotlemfrc  29409  ballotlemfrcOLD  29447  poimirlem2  31988  poimirlem4  31990  poimirlem6  31992  poimirlem7  31993  poimirlem9  31995  poimirlem11  31997  poimirlem12  31998  poimirlem13  31999  poimirlem14  32000  poimirlem16  32002  poimirlem19  32005  poimirlem23  32009
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