Theorem imadif 4493

Description: The image of a difference is the difference of images.

Assertion

Ref	Expression
imadif	|- (Fun `'F -> (F"(A \ B)) = ((F"A) \ (F"B)))

Proof of Theorem imadif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 1317	. . . . . . . . . . 11 |- (Fun `'F -> A.xFun `'F)
2		hbe1 1363	. . . . . . . . . . 11 |- (E.x(xFy /\ -. x e. B) -> A.xE.x(xFy /\ -. x e. B))
3	1, 2	hban 1356	. . . . . . . . . 10 |- ((Fun `'F /\ E.x(xFy /\ -. x e. B)) -> A.x(Fun `'F /\ E.x(xFy /\ -. x e. B)))
4		mopick 1833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((E*x xFy /\ E.x(xFy /\ -. x e. B)) -> (xFy -> -. x e. B))
5		funmo 4437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Fun `'F -> E*x y`'Fx)
6		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
7		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x e. _V
8	6, 7	brcnv 4144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y`'Fx <-> xFy)
9	8	mobii 1801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (E*x y`'Fx <-> E*x xFy)
10	5, 9	sylib 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Fun `'F -> E*x xFy)
11	4, 10	sylan 497	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Fun `'F /\ E.x(xFy /\ -. x e. B)) -> (xFy -> -. x e. B))
12	11	con2d 107	. . . . . . . . . . 11 |- ((Fun `'F /\ E.x(xFy /\ -. x e. B)) -> (x e. B -> -. xFy))
13		imnan 261	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. B -> -. xFy) <-> -. (x e. B /\ xFy))
14	12, 13	sylib 215	. . . . . . . . . 10 |- ((Fun `'F /\ E.x(xFy /\ -. x e. B)) -> -. (x e. B /\ xFy))
15	3, 14	19.21ai 1345	. . . . . . . . 9 |- ((Fun `'F /\ E.x(xFy /\ -. x e. B)) -> A.x -. (x e. B /\ xFy))
16	15	ex 402	. . . . . . . 8 |- (Fun `'F -> (E.x(xFy /\ -. x e. B) -> A.x -. (x e. B /\ xFy)))
17		exancom 1401	. . . . . . . 8 |- (E.x(xFy /\ -. x e. B) <-> E.x(-. x e. B /\ xFy))
18		alnex 1380	. . . . . . . 8 |- (A.x -. (x e. B /\ xFy) <-> -. E.x(x e. B /\ xFy))
19	16, 17, 18	3imtr3g 611	. . . . . . 7 |- (Fun `'F -> (E.x(-. x e. B /\ xFy) -> -. E.x(x e. B /\ xFy)))
20	19	anim2d 620	. . . . . 6 |- (Fun `'F -> ((E.x(x e. A /\ xFy) /\ E.x(-. x e. B /\ xFy)) -> (E.x(x e. A /\ xFy) /\ -. E.x(x e. B /\ xFy))))
21		anandir 569	. . . . . . . 8 |- (((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy) <-> ((x e. A /\ xFy) /\ (-. x e. B /\ xFy)))
22	21	exbii 1398	. . . . . . 7 |- (E.x((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy) <-> E.x((x e. A /\ xFy) /\ (-. x e. B /\ xFy)))
23		19.40 1447	. . . . . . 7 |- (E.x((x e. A /\ xFy) /\ (-. x e. B /\ xFy)) -> (E.x(x e. A /\ xFy) /\ E.x(-. x e. B /\ xFy)))
24	22, 23	sylbi 216	. . . . . 6 |- (E.x((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy) -> (E.x(x e. A /\ xFy) /\ E.x(-. x e. B /\ xFy)))
25	20, 24	syl5 20	. . . . 5 |- (Fun `'F -> (E.x((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy) -> (E.x(x e. A /\ xFy) /\ -. E.x(x e. B /\ xFy))))
26		19.29r 1423	. . . . . . 7 |- ((E.x(x e. A /\ xFy) /\ A.x -. (x e. B /\ xFy)) -> E.x((x e. A /\ xFy) /\ -. (x e. B /\ xFy)))
27	26, 18	sylan2br 502	. . . . . 6 |- ((E.x(x e. A /\ xFy) /\ -. E.x(x e. B /\ xFy)) -> E.x((x e. A /\ xFy) /\ -. (x e. B /\ xFy)))
28		andi 665	. . . . . . . 8 |- (((x e. A /\ xFy) /\ (-. x e. B \/ -. xFy)) <-> (((x e. A /\ xFy) /\ -. x e. B) \/ ((x e. A /\ xFy) /\ -. xFy)))
29		ianor 329	. . . . . . . . 9 |- (-. (x e. B /\ xFy) <-> (-. x e. B \/ -. xFy))
30	29	anbi2i 538	. . . . . . . 8 |- (((x e. A /\ xFy) /\ -. (x e. B /\ xFy)) <-> ((x e. A /\ xFy) /\ (-. x e. B \/ -. xFy)))
31		an23 543	. . . . . . . . 9 |- (((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy) <-> ((x e. A /\ xFy) /\ -. x e. B))
32		pm3.24 720	. . . . . . . . . . . 12 |- -. (xFy /\ -. xFy)
33	32	intnan 755	. . . . . . . . . . 11 |- -. (x e. A /\ (xFy /\ -. xFy))
34		anass 487	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. A /\ xFy) /\ -. xFy) <-> (x e. A /\ (xFy /\ -. xFy)))
35	33, 34	mtbir 209	. . . . . . . . . 10 |- -. ((x e. A /\ xFy) /\ -. xFy)
36	35	biorfi 808	. . . . . . . . 9 |- (((x e. A /\ xFy) /\ -. x e. B) <-> (((x e. A /\ xFy) /\ -. x e. B) \/ ((x e. A /\ xFy) /\ -. xFy)))
37	31, 36	bitri 190	. . . . . . . 8 |- (((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy) <-> (((x e. A /\ xFy) /\ -. x e. B) \/ ((x e. A /\ xFy) /\ -. xFy)))
38	28, 30, 37	3bitr4i 200	. . . . . . 7 |- (((x e. A /\ xFy) /\ -. (x e. B /\ xFy)) <-> ((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy))
39	38	exbii 1398	. . . . . 6 |- (E.x((x e. A /\ xFy) /\ -. (x e. B /\ xFy)) <-> E.x((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy))
40	27, 39	sylib 215	. . . . 5 |- ((E.x(x e. A /\ xFy) /\ -. E.x(x e. B /\ xFy)) -> E.x((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy))
41	25, 40	impbid1 575	. . . 4 |- (Fun `'F -> (E.x((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy) <-> (E.x(x e. A /\ xFy) /\ -. E.x(x e. B /\ xFy))))
42		eldif 2609	. . . . . 6 |- (x e. (A \ B) <-> (x e. A /\ -. x e. B))
43	42	anbi1i 539	. . . . 5 |- ((x e. (A \ B) /\ xFy) <-> ((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy))
44	43	exbii 1398	. . . 4 |- (E.x(x e. (A \ B) /\ xFy) <-> E.x((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy))
45	6	elima2 4271	. . . . 5 |- (y e. (F"A) <-> E.x(x e. A /\ xFy))
46	6	elima2 4271	. . . . . 6 |- (y e. (F"B) <-> E.x(x e. B /\ xFy))
47	46	notbii 204	. . . . 5 |- (-. y e. (F"B) <-> -. E.x(x e. B /\ xFy))
48	45, 47	anbi12i 540	. . . 4 |- ((y e. (F"A) /\ -. y e. (F"B)) <-> (E.x(x e. A /\ xFy) /\ -. E.x(x e. B /\ xFy)))
49	41, 44, 48	3bitr4g 614	. . 3 |- (Fun `'F -> (E.x(x e. (A \ B) /\ xFy) <-> (y e. (F"A) /\ -. y e. (F"B))))
50	6	elima2 4271	. . 3 |- (y e. (F"(A \ B)) <-> E.x(x e. (A \ B) /\ xFy))
51		eldif 2609	. . 3 |- (y e. ((F"A) \ (F"B)) <-> (y e. (F"A) /\ -. y e. (F"B)))
52	49, 50, 51	3bitr4g 614	. 2 |- (Fun `'F -> (y e. (F"(A \ B)) <-> y e. ((F"A) \ (F"B))))
53	52	eqrdv 1882	1 |- (Fun `'F -> (F"(A \ B)) = ((F"A) \ (F"B)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E*wmo 1772   \ cdif 2590   class class class wbr 3338  `'ccnv 3985  "cima 3989  Fun wfun 3992

This theorem is referenced by:  imain 4494  resdif 4659  phplem4 5605  php3 5609  iscncl 9047  hmeocld 15900

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008

Copyright terms: Public domain