Theorem imadif 5676

Description: The image of a difference is the difference of images. (Contributed by NM, 24-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
imadif	|- ( Fun `' F -> ( F " ( A \ B ) ) = ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) )

Proof of Theorem imadif

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anandir 836	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
2	1	exbii 1714	. . . . . . 7 |- ( E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
3		19.40 1726	. . . . . . 7 |- ( E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B /\ x F y ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. x ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
4	2, 3	sylbi 198	. . . . . 6 |- ( E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) -> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. x ( -. x e. B /\ x F y ) ) )
5		nfv 1754	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x Fun `' F
6		nfe1 1892	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x E. x ( x F y /\ -. x e. B )
7	5, 6	nfan 1986	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) )
8		funmo 5617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun `' F -> E* x y `' F x )
9		vex 3090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
10		vex 3090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x e. _V
11	9, 10	brcnv 5037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y `' F x <-> x F y )
12	11	mobii 2291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E* x y `' F x <-> E* x x F y )
13	8, 12	sylib 199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun `' F -> E* x x F y )
14		mopick 2334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E* x x F y /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> ( x F y -> -. x e. B ) )
15	13, 14	sylan 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> ( x F y -> -. x e. B ) )
16	15	con2d 118	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> ( x e. B -> -. x F y ) )
17		imnan 423	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B -> -. x F y ) <-> -. ( x e. B /\ x F y ) )
18	16, 17	sylib 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> -. ( x e. B /\ x F y ) )
19	7, 18	alrimi 1930	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun `' F /\ E. x ( x F y /\ -. x e. B ) ) -> A. x -. ( x e. B /\ x F y ) )
20	19	ex 435	. . . . . . . 8 |- ( Fun `' F -> ( E. x ( x F y /\ -. x e. B ) -> A. x -. ( x e. B /\ x F y ) ) )
21		exancom 1718	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( x F y /\ -. x e. B ) <-> E. x ( -. x e. B /\ x F y ) )
22		alnex 1661	. . . . . . . 8 |- ( A. x -. ( x e. B /\ x F y ) <-> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) )
23	20, 21, 22	3imtr3g 272	. . . . . . 7 |- ( Fun `' F -> ( E. x ( -. x e. B /\ x F y ) -> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) )
24	23	anim2d 567	. . . . . 6 |- ( Fun `' F -> ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ E. x ( -. x e. B /\ x F y ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) ) )
25	4, 24	syl5 33	. . . . 5 |- ( Fun `' F -> ( E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) -> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) ) )
26		19.29r 1731	. . . . . . 7 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ A. x -. ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) )
27	22, 26	sylan2br 478	. . . . . 6 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) )
28		andi 875	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B \/ -. x F y ) ) <-> ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. x e. B ) \/ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. x F y ) ) )
29		ianor 490	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( x e. B /\ x F y ) <-> ( -. x e. B \/ -. x F y ) )
30	29	anbi2i 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) <-> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ ( -. x e. B \/ -. x F y ) ) )
31		an32 805	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. x e. B ) )
32		pm3.24 890	. . . . . . . . . . . 12 |- -. ( x F y /\ -. x F y )
33	32	intnan 922	. . . . . . . . . . 11 |- -. ( x e. A /\ ( x F y /\ -. x F y ) )
34		anass 653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. x F y ) <-> ( x e. A /\ ( x F y /\ -. x F y ) ) )
35	33, 34	mtbir 300	. . . . . . . . . 10 |- -. ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. x F y )
36	35	biorfi 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. x e. B ) <-> ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. x e. B ) \/ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. x F y ) ) )
37	31, 36	bitri 252	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. x e. B ) \/ ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. x F y ) ) )
38	28, 30, 37	3bitr4i 280	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
39	38	exbii 1714	. . . . . 6 |- ( E. x ( ( x e. A /\ x F y ) /\ -. ( x e. B /\ x F y ) ) <-> E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
40	27, 39	sylib 199	. . . . 5 |- ( ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) -> E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
41	25, 40	impbid1 206	. . . 4 |- ( Fun `' F -> ( E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) ) )
42		eldif 3452	. . . . . 6 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
43	42	anbi1i 699	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
44	43	exbii 1714	. . . 4 |- ( E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> E. x ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x F y ) )
45	9	elima2 5194	. . . . 5 |- ( y e. ( F " A ) <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
46	9	elima2 5194	. . . . . 6 |- ( y e. ( F " B ) <-> E. x ( x e. B /\ x F y ) )
47	46	notbii 297	. . . . 5 |- ( -. y e. ( F " B ) <-> -. E. x ( x e. B /\ x F y ) )
48	45, 47	anbi12i 701	. . . 4 |- ( ( y e. ( F " A ) /\ -. y e. ( F " B ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x F y ) /\ -. E. x ( x e. B /\ x F y ) ) )
49	41, 44, 48	3bitr4g 291	. . 3 |- ( Fun `' F -> ( E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) <-> ( y e. ( F " A ) /\ -. y e. ( F " B ) ) ) )
50	9	elima2 5194	. . 3 |- ( y e. ( F " ( A \ B ) ) <-> E. x ( x e. ( A \ B ) /\ x F y ) )
51		eldif 3452	. . 3 |- ( y e. ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) <-> ( y e. ( F " A ) /\ -. y e. ( F " B ) ) )
52	49, 50, 51	3bitr4g 291	. 2 |- ( Fun `' F -> ( y e. ( F " ( A \ B ) ) <-> y e. ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) ) )
53	52	eqrdv 2426	1 |- ( Fun `' F -> ( F " ( A \ B ) ) = ( ( F " A ) \ ( F " B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 369   /\ wa 370   A.wal 1435   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1870   E*wmo 2267   \ cdif 3439   class class class wbr 4426   `'ccnv 4853   "cima 4857   Fun wfun 5595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pr 4661

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-br 4427  df-opab 4485  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-fun 5603

This theorem is referenced by:  imain  5677  resdif  5851  difpreima  6023  domunsncan  7678  phplem4  7760  php3  7764  infdifsn  8161  cantnfp1lem3  8184  enfin1ai  8812  fin1a2lem7  8834  symgfixelsi  17027  dprdf1o  17600  frlmlbs  19286  f1lindf  19311  cnclima  20215  iscncl  20216  qtopcld  20659  qtoprest  20663  qtopcmap  20665  mbfimaicc  22466  ismbf3d  22487  i1fd  22516  ballotlemfrc  29185  poimirlem2  31646  poimirlem4  31648  poimirlem6  31650  poimirlem7  31651  poimirlem9  31653  poimirlem11  31655  poimirlem12  31656  poimirlem13  31657  poimirlem14  31658  poimirlem16  31660  poimirlem19  31663  poimirlem23  31667