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Theorem imadd 13049
Description: Imaginary part distributes over addition. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
imadd  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) )

Proof of Theorem imadd
StepHypRef Expression
1 recl 13025 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
21adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
32recnd 9611 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  CC )
4 ax-icn 9540 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
5 imcl 13026 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
65adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
76recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
8 mulcl 9565 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
94, 7, 8sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
10 recl 13025 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1110adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
1211recnd 9611 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  CC )
13 imcl 13026 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
1413adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
1514recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  CC )
16 mulcl 9565 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
174, 15, 16sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
183, 9, 12, 17add4d 9794 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  +  ( ( Re `  B
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
19 replim 13031 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
20 replim 13031 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  B  =  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
2119, 20oveqan12d 6289 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
224a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
2322, 7, 15adddid 9609 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  B ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im
`  A ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
2423oveq2d 6286 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( Re `  B
) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
2518, 21, 243eqtr4d 2505 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( Re
`  B ) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) ) ) )
2625fveq2d 5852 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  +  B )
)  =  ( Im
`  ( ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  +  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  B ) ) ) ) ) )
27 readdcl 9564 . . . 4  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( Re `  B )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  e.  RR )
281, 10, 27syl2an 475 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  e.  RR )
29 readdcl 9564 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  ( Im `  B )  e.  RR )  -> 
( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) )  e.  RR )
305, 13, 29syl2an 475 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) )  e.  RR )
31 crim 13030 . . 3  |-  ( ( ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  e.  RR  /\  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) )  e.  RR )  ->  ( Im `  ( ( ( Re
`  A )  +  ( Re `  B
) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) ) ) )  =  ( ( Im `  A
)  +  ( Im
`  B ) ) )
3228, 30, 31syl2anc 659 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  (
( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  +  ( _i  x.  ( ( Im
`  A )  +  ( Im `  B
) ) ) ) )  =  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) )
3326, 32eqtrd 2495 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   _ici 9483    + caddc 9484    x. cmul 9486   Recre 13012   Imcim 13013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-2 10590  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016
This theorem is referenced by:  imsub  13050  cjadd  13056  imaddi  13100  imaddd  13130  fsumim  13705  gzaddcl  14539  logrnaddcl  23128  logimul  23167  atancj  23438  atanlogaddlem  23441  atanlogsublem  23443
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