MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iitopon Structured version   Unicode version

Theorem iitopon 21807
Description: The unit interval is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iitopon  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )

Proof of Theorem iitopon
StepHypRef Expression
1 cnxmet 21704 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
2 unitssre 11777 . . . 4  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
3 ax-resscn 9595 . . . 4  |-  RR  C_  CC
42, 3sstri 3479 . . 3  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  CC
5 xmetres2 21307 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( 0 [,] 1
)  C_  CC )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  e.  ( *Met `  ( 0 [,] 1
) ) )
61, 4, 5mp2an 676 . 2  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  e.  ( *Met `  (
0 [,] 1 ) )
7 df-ii 21805 . . 3  |-  II  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) ) )
87mopntopon 21385 . 2  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  e.  ( *Met `  ( 0 [,] 1
) )  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) ) )
96, 8ax-mp 5 1  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1870    C_ wss 3442    X. cxp 4852    |` cres 4856    o. ccom 4858   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    - cmin 9859   [,]cicc 11638   abscabs 13276   *Metcxmt 18890  TopOnctopon 19849   IIcii 21803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-ii 21805
This theorem is referenced by:  iitop  21808  iiuni  21809  icchmeo  21865  htpycom  21900  htpyid  21901  htpyco1  21902  htpyco2  21903  htpycc  21904  phtpycn  21907  phtpy01  21909  isphtpy2d  21911  phtpycom  21912  phtpyid  21913  phtpyco2  21914  phtpycc  21915  reparphti  21921  pcocn  21941  pcohtpylem  21943  pcoptcl  21945  pcopt  21946  pcopt2  21947  pcoass  21948  pcorevcl  21949  pcorevlem  21950  pi1xfrf  21977  pi1xfr  21979  pi1xfrcnvlem  21980  pi1xfrcnv  21981  pi1cof  21983  pi1coghm  21985  xrge0pluscn  28585  ptpcon  29744  indispcon  29745  conpcon  29746  txsconlem  29751  txscon  29752  cvxscon  29754  cvmliftlem8  29803  cvmlift2lem2  29815  cvmlift2lem3  29816  cvmlift2lem6  29819  cvmlift2lem9  29822  cvmlift2lem11  29824  cvmlift2lem12  29825  cvmliftphtlem  29828  cvmlift3lem6  29835  cvmlift3lem9  29838
  Copyright terms: Public domain W3C validator