MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iitopon Structured version   Unicode version

Theorem iitopon 20580
Description: The unit interval is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iitopon  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )

Proof of Theorem iitopon
StepHypRef Expression
1 cnxmet 20477 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
2 unitssre 11542 . . . 4  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
3 ax-resscn 9443 . . . 4  |-  RR  C_  CC
42, 3sstri 3466 . . 3  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  CC
5 xmetres2 20061 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( 0 [,] 1
)  C_  CC )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  e.  ( *Met `  ( 0 [,] 1
) ) )
61, 4, 5mp2an 672 . 2  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  e.  ( *Met `  (
0 [,] 1 ) )
7 df-ii 20578 . . 3  |-  II  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) ) )
87mopntopon 20139 . 2  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  e.  ( *Met `  ( 0 [,] 1
) )  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) ) )
96, 8ax-mp 5 1  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758    C_ wss 3429    X. cxp 4939    |` cres 4943    o. ccom 4945   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387    - cmin 9699   [,]cicc 11407   abscabs 12834   *Metcxmt 17919  TopOnctopon 18624   IIcii 20576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-icc 11411  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-topgen 14493  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-ii 20578
This theorem is referenced by:  iitop  20581  iiuni  20582  icchmeo  20638  htpycom  20673  htpyid  20674  htpyco1  20675  htpyco2  20676  htpycc  20677  phtpycn  20680  phtpy01  20682  isphtpy2d  20684  phtpycom  20685  phtpyid  20686  phtpyco2  20687  phtpycc  20688  reparphti  20694  pcocn  20714  pcohtpylem  20716  pcoptcl  20718  pcopt  20719  pcopt2  20720  pcoass  20721  pcorevcl  20722  pcorevlem  20723  pi1xfrf  20750  pi1xfr  20752  pi1xfrcnvlem  20753  pi1xfrcnv  20754  pi1cof  20756  pi1coghm  20758  xrge0pluscn  26508  ptpcon  27259  indispcon  27260  conpcon  27261  txsconlem  27266  txscon  27267  cvxscon  27269  cvmliftlem8  27318  cvmlift2lem2  27330  cvmlift2lem3  27331  cvmlift2lem6  27334  cvmlift2lem9  27337  cvmlift2lem11  27339  cvmlift2lem12  27340  cvmliftphtlem  27343  cvmlift3lem6  27350  cvmlift3lem9  27353
  Copyright terms: Public domain W3C validator