MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iirev Structured version   Unicode version

Theorem iirev 21723
Description: Reverse the unit interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iirev  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  X )  e.  ( 0 [,] 1 ) )

Proof of Theorem iirev
StepHypRef Expression
1 1re 9627 . . . . 5  |-  1  e.  RR
2 resubcl 9921 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( 1  -  X
)  e.  RR )
31, 2mpan 670 . . . 4  |-  ( X  e.  RR  ->  (
1  -  X )  e.  RR )
433ad2ant1 1020 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1 )  ->  (
1  -  X )  e.  RR )
5 simp3 1001 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1 )  ->  X  <_  1 )
6 simp1 999 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1 )  ->  X  e.  RR )
7 subge0 10108 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
1  -  X )  <-> 
X  <_  1 ) )
81, 6, 7sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1 )  ->  (
0  <_  ( 1  -  X )  <->  X  <_  1 ) )
95, 8mpbird 234 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1 )  ->  0  <_  ( 1  -  X
) )
10 simp2 1000 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1 )  ->  0  <_  X )
11 subge02 10111 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( 0  <_  X  <->  ( 1  -  X )  <_  1 ) )
121, 6, 11sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1 )  ->  (
0  <_  X  <->  ( 1  -  X )  <_ 
1 ) )
1310, 12mpbid 212 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1 )  ->  (
1  -  X )  <_  1 )
144, 9, 133jca 1179 . 2  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1 )  ->  (
( 1  -  X
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  X )  /\  (
1  -  X )  <_  1 ) )
15 0re 9628 . . 3  |-  0  e.  RR
1615, 1elicc2i 11646 . 2  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1
) )
1715, 1elicc2i 11646 . 2  |-  ( ( 1  -  X )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
1  -  X )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  X
)  /\  ( 1  -  X )  <_ 
1 ) )
1814, 16, 173imtr4i 268 1  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  X )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ w3a 976    e. wcel 1844   class class class wbr 4397  (class class class)co 6280   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525    <_ cle 9661    - cmin 9843   [,]cicc 11587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-icc 11591
This theorem is referenced by:  iirevcn  21724  icccvx  21744  phtpycom  21782  pcorev2  21822  pi1xfrcnv  21851  dvlipcn  22689  efcvx  23138  logccv  23340  leibpi  23600  cvxcl  23642  rescon  29556
  Copyright terms: Public domain W3C validator