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Theorem iinun2 4397
Description: Indexed intersection of union. Generalization of half of theorem "Distributive laws" in [Enderton] p. 30. Use intiin 4385 to recover Enderton's theorem. (Contributed by NM, 19-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
iinun2  |-  |^|_ x  e.  A  ( B  u.  C )  =  ( B  u.  |^|_ x  e.  A  C )
Distinct variable group:    x, B
Allowed substitution hints:    A( x)    C( x)

Proof of Theorem iinun2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.32v 3012 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  B  \/  y  e.  C )  <->  ( y  e.  B  \/  A. x  e.  A  y  e.  C ) )
2 elun 3650 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( B  u.  C )  <->  ( y  e.  B  \/  y  e.  C ) )
32ralbii 2898 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C
)  <->  A. x  e.  A  ( y  e.  B  \/  y  e.  C
) )
4 vex 3121 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
5 eliin 4337 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  C  <->  A. x  e.  A  y  e.  C ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  C 
<-> 
A. x  e.  A  y  e.  C )
76orbi2i 519 . . . 4  |-  ( ( y  e.  B  \/  y  e.  |^|_ x  e.  A  C )  <->  ( y  e.  B  \/  A. x  e.  A  y  e.  C ) )
81, 3, 73bitr4i 277 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C
)  <->  ( y  e.  B  \/  y  e. 
|^|_ x  e.  A  C ) )
9 eliin 4337 . . . 4  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  ( B  u.  C )  <->  A. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C
) ) )
104, 9ax-mp 5 . . 3  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  ( B  u.  C
)  <->  A. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C ) )
11 elun 3650 . . 3  |-  ( y  e.  ( B  u.  |^|_
x  e.  A  C
)  <->  ( y  e.  B  \/  y  e. 
|^|_ x  e.  A  C ) )
128, 10, 113bitr4i 277 . 2  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  ( B  u.  C
)  <->  y  e.  ( B  u.  |^|_ x  e.  A  C )
)
1312eqriv 2463 1  |-  |^|_ x  e.  A  ( B  u.  C )  =  ( B  u.  |^|_ x  e.  A  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    u. cun 3479   |^|_ciin 4332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ral 2822  df-v 3120  df-un 3486  df-iin 4334
This theorem is referenced by: (None)
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