Theorem iinssOLD 3305

Description: Subset implication for an indexed intersection.

Assertion

Ref	Expression
iinssOLD	|- (E.x e. A B C_ C -> |^|_x e. A B C_ C)

Distinct variable group:   x,C

Proof of Theorem iinssOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.12 1394	. . . 4 |- (E.xA.y(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)) -> A.yE.x(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)))
2		df-rex 2110	. . . . 5 |- (E.x e. A A.y(y e. B -> y e. C) <-> E.x(x e. A /\ A.y(y e. B -> y e. C)))
3		19.28v 1678	. . . . . 6 |- (A.y(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)) <-> (x e. A /\ A.y(y e. B -> y e. C)))
4	3	exbii 1398	. . . . 5 |- (E.xA.y(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)) <-> E.x(x e. A /\ A.y(y e. B -> y e. C)))
5	2, 4	bitr4i 193	. . . 4 |- (E.x e. A A.y(y e. B -> y e. C) <-> E.xA.y(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)))
6		df-rex 2110	. . . . 5 |- (E.x e. A (y e. B -> y e. C) <-> E.x(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)))
7	6	albii 1346	. . . 4 |- (A.yE.x e. A (y e. B -> y e. C) <-> A.yE.x(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)))
8	1, 5, 7	3imtr4i 236	. . 3 |- (E.x e. A A.y(y e. B -> y e. C) -> A.yE.x e. A (y e. B -> y e. C))
9		r19.36av 2232	. . . . 5 |- (E.x e. A (y e. B -> y e. C) -> (A.x e. A y e. B -> y e. C))
10		visset 2295	. . . . . 6 |- y e. _V
11		eliin 3260	. . . . . 6 |- (y e. _V -> (y e. |^|_x e. A B <-> A.x e. A y e. B))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . 5 |- (y e. |^|_x e. A B <-> A.x e. A y e. B)
13	9, 12	syl5ib 223	. . . 4 |- (E.x e. A (y e. B -> y e. C) -> (y e. |^|_x e. A B -> y e. C))
14	13	alimi 1338	. . 3 |- (A.yE.x e. A (y e. B -> y e. C) -> A.y(y e. |^|_x e. A B -> y e. C))
15	8, 14	syl 12	. 2 |- (E.x e. A A.y(y e. B -> y e. C) -> A.y(y e. |^|_x e. A B -> y e. C))
16		dfss2 2610	. . 3 |- (B C_ C <-> A.y(y e. B -> y e. C))
17	16	rexbii 2128	. 2 |- (E.x e. A B C_ C <-> E.x e. A A.y(y e. B -> y e. C))
18		dfss2 2610	. 2 |- (|^|_x e. A B C_ C <-> A.y(y e. |^|_x e. A B -> y e. C))
19	15, 17, 18	3imtr4i 236	1 |- (E.x e. A B C_ C -> |^|_x e. A B C_ C)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  |^|_ciin 3256

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-in 2603  df-ss 2605  df-iin 3258

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