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Theorem iinpreima 5830
Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
iinpreima  |-  ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )  =  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iinpreima
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 748 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  Fun  F )
2 cnvimass 5186 . . . . . . 7  |-  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )  C_ 
dom  F
32sseli 3349 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( `' F "
|^|_ x  e.  A  B )  ->  y  e.  dom  F )
43adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  y  e.  dom  F )
5 fvex 5698 . . . . . 6  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
6 fvimacnvi 5814 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B )
76adantlr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B )
8 eliin 4173 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  y )  e.  _V  ->  (
( F `  y
)  e.  |^|_ x  e.  A  B  <->  A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B
) )
98biimpa 481 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  _V  /\  ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B )  ->  A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B
)
105, 7, 9sylancr 658 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B
)
11 fvimacnv 5815 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  y )  e.  B  <->  y  e.  ( `' F " B ) ) )
1211ralbidv 2733 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B  <->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) ) )
1312biimpa 481 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B
)  ->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) )
141, 4, 10, 13syl21anc 1212 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) )
15 vex 2973 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
16 eliin 4173 . . . . 5  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B )  <->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . 4  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B )  <->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) )
1814, 17sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )
19 simpll 748 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  Fun  F )
2016biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B )  ->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) ) )
2115, 20ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B )  ->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) )
2221adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) )
23 fvimacnvi 5814 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  ( `' F " B ) )  -> 
( F `  y
)  e.  B )
2423ex 434 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
F  ->  ( y  e.  ( `' F " B )  ->  ( F `  y )  e.  B ) )
2524ralimdv 2793 . . . . . 6  |-  ( Fun 
F  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B )  ->  A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B
) )
2619, 22, 25sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B
)
275, 8ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B 
<-> 
A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B )
2826, 27sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B )
29 r19.2zb 3767 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  (/)  <->  ( A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B )  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) ) )
3029biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B )  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) ) )
31 cnvimass 5186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F " B ) 
C_  dom  F
3231sseli 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( `' F " B )  ->  y  e.  dom  F )
3332rexlimivw 2835 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B )  ->  y  e.  dom  F )
3430, 33syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B )  ->  y  e.  dom  F ) )
3517, 34syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B )  ->  y  e.  dom  F ) )
3635adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B )  -> 
y  e.  dom  F
) )
3736imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  y  e.  dom  F )
38 fvimacnv 5815 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B  <->  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )
) )
3919, 37, 38syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  ( ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B 
<->  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )
) )
4028, 39mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )
)
4118, 40impbida 823 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )  <->  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) ) )
4241eqrdv 2439 1  |-  ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )  =  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   (/)c0 3634   |^|_ciin 4169   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   "cima 4839   Fun wfun 5409   ` cfv 5415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-fv 5423
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