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Theorem iinpreima 6002
Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
iinpreima  |-  ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )  =  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iinpreima
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  Fun  F )
2 cnvimass 5348 . . . . . . 7  |-  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )  C_ 
dom  F
32sseli 3493 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( `' F "
|^|_ x  e.  A  B )  ->  y  e.  dom  F )
43adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  y  e.  dom  F )
5 fvex 5867 . . . . . 6  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
6 fvimacnvi 5986 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B )
76adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B )
8 eliin 4324 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  y )  e.  _V  ->  (
( F `  y
)  e.  |^|_ x  e.  A  B  <->  A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B
) )
98biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  _V  /\  ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B )  ->  A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B
)
105, 7, 9sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B
)
11 fvimacnv 5987 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  y )  e.  B  <->  y  e.  ( `' F " B ) ) )
1211ralbidv 2896 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B  <->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) ) )
1312biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B
)  ->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) )
141, 4, 10, 13syl21anc 1222 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) )
15 vex 3109 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
16 eliin 4324 . . . . 5  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B )  <->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . 4  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B )  <->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) )
1814, 17sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B
) )  ->  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )
19 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  Fun  F )
2016biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B )  ->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) ) )
2115, 20ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B )  ->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) )
2221adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) )
23 fvimacnvi 5986 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  ( `' F " B ) )  -> 
( F `  y
)  e.  B )
2423ex 434 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
F  ->  ( y  e.  ( `' F " B )  ->  ( F `  y )  e.  B ) )
2524ralimdv 2867 . . . . . 6  |-  ( Fun 
F  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B )  ->  A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B
) )
2619, 22, 25sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B
)
275, 8ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B 
<-> 
A. x  e.  A  ( F `  y )  e.  B )
2826, 27sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B )
29 r19.2zb 3911 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  (/)  <->  ( A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B )  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) ) )
3029biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B )  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B ) ) )
31 cnvimass 5348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F " B ) 
C_  dom  F
3231sseli 3493 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( `' F " B )  ->  y  e.  dom  F )
3332rexlimivw 2945 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B )  ->  y  e.  dom  F )
3430, 33syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  ( `' F " B )  ->  y  e.  dom  F ) )
3517, 34syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B )  ->  y  e.  dom  F ) )
3635adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B )  -> 
y  e.  dom  F
) )
3736imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  y  e.  dom  F )
38 fvimacnv 5987 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B  <->  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )
) )
3919, 37, 38syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  ( ( F `  y )  e.  |^|_ x  e.  A  B 
<->  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )
) )
4028, 39mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )  ->  y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )
)
4118, 40impbida 829 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
y  e.  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )  <->  y  e.  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) ) )
4241eqrdv 2457 1  |-  ( ( Fun  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( `' F " |^|_ x  e.  A  B )  =  |^|_ x  e.  A  ( `' F " B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106   (/)c0 3778   |^|_ciin 4319   `'ccnv 4991   dom cdm 4992   "cima 4995   Fun wfun 5573   ` cfv 5579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-fv 5587
This theorem is referenced by:  intpreima  6003
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