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Theorem iincld 18602
Description: The indexed intersection of a collection  B ( x ) of closed sets is closed. Theorem 6.1(2) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iincld  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, J
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iincld
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
21cldss 18592 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  B  C_  U. J
)
3 dfss4 3581 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  U. J  <->  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  B )
42, 3sylib 196 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  B )
54ralimi 2789 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A. x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  B )
6 iineq2 4185 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  B  ->  |^|_ x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  |^|_ x  e.  A  B )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  |^|_ x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  = 
|^|_ x  e.  A  B )
87adantl 463 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  = 
|^|_ x  e.  A  B )
9 iindif2 4236 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  ->  |^|_ x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  ( U. J  \  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B
) ) )
109adantr 462 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  ( U. J  \  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B
) ) )
118, 10eqtr3d 2475 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ x  e.  A  B  =  ( U. J  \  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B ) ) )
12 r19.2z 3766 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  E. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
13 cldrcl 18589 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
1413rexlimivw 2835 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
1512, 14syl 16 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  Top )
161cldopn 18594 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  B )  e.  J )
1716ralimi 2789 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A. x  e.  A  ( U. J  \  B )  e.  J )
1817adantl 463 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A. x  e.  A  ( U. J  \  B )  e.  J )
19 iunopn 18470 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  A  ( U. J  \  B
)  e.  J )  ->  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B
)  e.  J )
2015, 18, 19syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B )  e.  J )
211opncld 18596 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B
)  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
U_ x  e.  A  ( U. J  \  B
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
2215, 20, 21syl2anc 656 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
2311, 22eqeltrd 2515 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714    \ cdif 3322    C_ wss 3325   (/)c0 3634   U.cuni 4088   U_ciun 4168   |^|_ciin 4169   ` cfv 5415   Topctop 18457   Clsdccld 18579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-fv 5423  df-top 18462  df-cld 18582
This theorem is referenced by:  intcld  18603  riincld  18607  hauscmplem  18968  ubthlem1  24206
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