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Theorem iincld 19707
Description: The indexed intersection of a collection  B ( x ) of closed sets is closed. Theorem 6.1(2) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iincld  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, J
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iincld
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
21cldss 19697 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  B  C_  U. J
)
3 dfss4 3729 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  U. J  <->  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  B )
42, 3sylib 196 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  B )
54ralimi 2847 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A. x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  B )
6 iineq2 4333 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  B  ->  |^|_ x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  |^|_ x  e.  A  B )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  |^|_ x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  = 
|^|_ x  e.  A  B )
87adantl 464 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  = 
|^|_ x  e.  A  B )
9 iindif2 4384 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  ->  |^|_ x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  ( U. J  \  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B
) ) )
109adantr 463 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ x  e.  A  ( U. J  \  ( U. J  \  B ) )  =  ( U. J  \  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B
) ) )
118, 10eqtr3d 2497 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ x  e.  A  B  =  ( U. J  \  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B ) ) )
12 r19.2z 3906 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  E. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
13 cldrcl 19694 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
1413rexlimivw 2943 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
1512, 14syl 16 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  Top )
161cldopn 19699 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  B )  e.  J )
1716ralimi 2847 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A. x  e.  A  ( U. J  \  B )  e.  J )
1817adantl 464 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A. x  e.  A  ( U. J  \  B )  e.  J )
19 iunopn 19574 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  A  ( U. J  \  B
)  e.  J )  ->  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B
)  e.  J )
2015, 18, 19syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B )  e.  J )
211opncld 19701 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B
)  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
U_ x  e.  A  ( U. J  \  B
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
2215, 20, 21syl2anc 659 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  U_ x  e.  A  ( U. J  \  B ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
2311, 22eqeltrd 2542 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805    \ cdif 3458    C_ wss 3461   (/)c0 3783   U.cuni 4235   U_ciun 4315   |^|_ciin 4316   ` cfv 5570   Topctop 19561   Clsdccld 19684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-fv 5578  df-top 19566  df-cld 19687
This theorem is referenced by:  intcld  19708  riincld  19712  hauscmplem  20073  ubthlem1  25984
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