MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iimulcn Structured version   Unicode version

Theorem iimulcn 20485
Description: Multiplication is a continuous function on the unit interval. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
iimulcn  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  II )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem iimulcn
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
21dfii3 20434 . . . . 5  |-  II  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,] 1 ) )
31cnfldtopon 20337 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
5 unitssre 11424 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
6 ax-resscn 9331 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
75, 6sstri 3360 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  CC
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( 0 [,] 1
)  C_  CC )
9 ax-mulf 9354 . . . . . . . . 9  |-  x.  :
( CC  X.  CC )
--> CC
10 ffn 5554 . . . . . . . . 9  |-  (  x.  : ( CC  X.  CC ) --> CC  ->  x.  Fn  ( CC  X.  CC ) )
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  x.  Fn  ( CC  X.  CC )
12 fnov 6193 . . . . . . . 8  |-  (  x.  Fn  ( CC  X.  CC )  <->  x.  =  (
x  e.  CC , 
y  e.  CC  |->  ( x  x.  y ) ) )
1311, 12mpbi 208 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  y
) )
141mulcn 20418 . . . . . . 7  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
1513, 14eqeltrri 2509 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
)
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  y
) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
172, 4, 8, 2, 4, 8, 16cnmpt2res 19225 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x  x.  y
) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
1817trud 1378 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
19 iimulcl 20484 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
2019rgen2a 2777 . . . . 5  |-  A. x  e.  ( 0 [,] 1
) A. y  e.  ( 0 [,] 1
) ( x  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 )
21 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x  x.  y ) )
2221fmpt2 6636 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,] 1 ) A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) ( x  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x  x.  y ) ) : ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) --> ( 0 [,] 1 ) )
23 frn 5560 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) ) : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> ( 0 [,] 1 )  ->  ran  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x  x.  y ) )  C_  ( 0 [,] 1
) )
2422, 23sylbi 195 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,] 1 ) A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) ( x  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ran  ( x  e.  (
0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x  x.  y
) )  C_  (
0 [,] 1 ) )
2520, 24ax-mp 5 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  C_  ( 0 [,] 1 )
26 cnrest2 18865 . . . 4  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ran  ( x  e.  (
0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x  x.  y
) )  C_  (
0 [,] 1 )  /\  ( 0 [,] 1 )  C_  CC )  ->  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,] 1 ) ) ) ) )
273, 25, 7, 26mp3an 1314 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
2818, 27mpbi 208 . 2  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,] 1 ) ) )
292oveq2i 6097 . 2  |-  ( ( II  tX  II )  Cn  II )  =  ( ( II  tX  II )  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 [,] 1 ) ) )
3028, 29eleqtrri 2511 1  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  II )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756   A.wral 2710    C_ wss 3323    X. cxp 4833   ran crn 4836    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    x. cmul 9279   [,]cicc 11295   ↾t crest 14351   TopOpenctopn 14352  ℂfldccnfld 17793  TopOnctopon 18474    Cn ccn 18803    tX ctx 19108   IIcii 20426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-ii 20428
This theorem is referenced by:  pcorevlem  20573
  Copyright terms: Public domain W3C validator