MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iimulcn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem iimulcn 21966
Description: Multiplication is a continuous function on the unit interval. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
iimulcn  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  II )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem iimulcn
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
21dfii3 21915 . . . . 5  |-  II  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,] 1 ) )
31cnfldtopon 21803 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
5 unitssre 11779 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
6 ax-resscn 9596 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
75, 6sstri 3441 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  CC
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( 0 [,] 1
)  C_  CC )
9 ax-mulf 9619 . . . . . . . . 9  |-  x.  :
( CC  X.  CC )
--> CC
10 ffn 5728 . . . . . . . . 9  |-  (  x.  : ( CC  X.  CC ) --> CC  ->  x.  Fn  ( CC  X.  CC ) )
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  x.  Fn  ( CC  X.  CC )
12 fnov 6404 . . . . . . . 8  |-  (  x.  Fn  ( CC  X.  CC )  <->  x.  =  (
x  e.  CC , 
y  e.  CC  |->  ( x  x.  y ) ) )
1311, 12mpbi 212 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  y
) )
141mulcn 21899 . . . . . . 7  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
1513, 14eqeltrri 2526 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
)
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  y
) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
172, 4, 8, 2, 4, 8, 16cnmpt2res 20692 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x  x.  y
) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
1817trud 1453 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
19 iimulcl 21965 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
2019rgen2a 2815 . . . . 5  |-  A. x  e.  ( 0 [,] 1
) A. y  e.  ( 0 [,] 1
) ( x  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 )
21 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x  x.  y ) )
2221fmpt2 6860 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,] 1 ) A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) ( x  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x  x.  y ) ) : ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) --> ( 0 [,] 1 ) )
23 frn 5735 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) ) : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> ( 0 [,] 1 )  ->  ran  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x  x.  y ) )  C_  ( 0 [,] 1
) )
2422, 23sylbi 199 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,] 1 ) A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) ( x  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ran  ( x  e.  (
0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x  x.  y
) )  C_  (
0 [,] 1 ) )
2520, 24ax-mp 5 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  C_  ( 0 [,] 1 )
26 cnrest2 20302 . . . 4  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ran  ( x  e.  (
0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x  x.  y
) )  C_  (
0 [,] 1 )  /\  ( 0 [,] 1 )  C_  CC )  ->  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,] 1 ) ) ) ) )
273, 25, 7, 26mp3an 1364 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
2818, 27mpbi 212 . 2  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,] 1 ) ) )
292oveq2i 6301 . 2  |-  ( ( II  tX  II )  Cn  II )  =  ( ( II  tX  II )  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 [,] 1 ) ) )
3028, 29eleqtrri 2528 1  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  II )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    = wceq 1444   T. wtru 1445    e. wcel 1887   A.wral 2737    C_ wss 3404    X. cxp 4832   ran crn 4835    Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    |-> cmpt2 6292   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    x. cmul 9544   [,]cicc 11638   ↾t crest 15319   TopOpenctopn 15320  ℂfldccnfld 18970  TopOnctopon 19918    Cn ccn 20240    tX ctx 20575   IIcii 21907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-ii 21909
This theorem is referenced by:  pcorevlem  22057
  Copyright terms: Public domain W3C validator