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Theorem iimulcl 21603
Description: The unit interval is closed under multiplication. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iimulcl  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  B  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  ( 0 [,] 1 ) )

Proof of Theorem iimulcl
StepHypRef Expression
1 remulcl 9566 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
213ad2antr1 1159 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
323ad2antl1 1156 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
4 mulge0 10066 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
543adantr3 1155 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  0  <_  ( A  x.  B )
)
653adantl3 1152 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  0  <_  ( A  x.  B )
)
7 an6 1306 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  <-> 
( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  B )  /\  ( A  <_  1  /\  B  <_  1 ) ) )
8 1re 9584 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
9 lemul12a 10396 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  1  e.  RR )  /\  (
( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  1  e.  RR ) )  ->  (
( A  <_  1  /\  B  <_  1 )  ->  ( A  x.  B )  <_  (
1  x.  1 ) ) )
108, 9mpanr2 682 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  1  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  -> 
( ( A  <_ 
1  /\  B  <_  1 )  ->  ( A  x.  B )  <_  (
1  x.  1 ) ) )
118, 10mpanl2 679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  <_  1  /\  B  <_  1 )  ->  ( A  x.  B )  <_  ( 1  x.  1 ) ) )
1211an4s 824 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) )  ->  (
( A  <_  1  /\  B  <_  1 )  ->  ( A  x.  B )  <_  (
1  x.  1 ) ) )
13123impia 1191 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
)  /\  ( A  <_  1  /\  B  <_ 
1 ) )  -> 
( A  x.  B
)  <_  ( 1  x.  1 ) )
147, 13sylbi 195 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  ( A  x.  B )  <_  (
1  x.  1 ) )
15 1t1e1 10679 . . . 4  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
1614, 15syl6breq 4478 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  ( A  x.  B )  <_  1
)
173, 6, 163jca 1174 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1 ) )  ->  ( ( A  x.  B )  e.  RR  /\  0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  ( A  x.  B )  <_  1
) )
18 0re 9585 . . . 4  |-  0  e.  RR
1918, 8elicc2i 11593 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1
) )
2018, 8elicc2i 11593 . . 3  |-  ( B  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1
) )
2119, 20anbi12i 695 . 2  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  B  e.  ( 0 [,] 1 ) )  <-> 
( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1
)  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  1
) ) )
2218, 8elicc2i 11593 . 2  |-  ( ( A  x.  B )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( ( A  x.  B )  e.  RR  /\  0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  ( A  x.  B )  <_  1
) )
2317, 21, 223imtr4i 266 1  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  B  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486    <_ cle 9618   [,]cicc 11535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-icc 11539
This theorem is referenced by:  iimulcn  21604  iistmd  28119  xrge0iifhom  28154  xrge0pluscn  28157
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