MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iihalf2 Structured version   Unicode version

Theorem iihalf2 20638
Description: Map the second half of  II into  II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iihalf2  |-  ( X  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )

Proof of Theorem iihalf2
StepHypRef Expression
1 2re 10503 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
2 remulcl 9479 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( 2  x.  X
)  e.  RR )
31, 2mpan 670 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  (
2  x.  X )  e.  RR )
4 1re 9497 . . . . 5  |-  1  e.  RR
5 resubcl 9785 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  X )  -  1 )  e.  RR )
63, 4, 5sylancl 662 . . . 4  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  RR )
763ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X  /\  X  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  X )  -  1 )  e.  RR )
8 subge0 9964 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
( 2  x.  X
)  -  1 )  <->  1  <_  ( 2  x.  X ) ) )
93, 4, 8sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 )  <->  1  <_  ( 2  x.  X ) ) )
10 2pos 10525 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
111, 10pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
12 ledivmul 10317 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  X  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  <_  X 
<->  1  <_  ( 2  x.  X ) ) )
134, 11, 12mp3an13 1306 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( 1  /  2
)  <_  X  <->  1  <_  ( 2  x.  X ) ) )
149, 13bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 )  <->  ( 1  /  2 )  <_  X ) )
1514biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X )  ->  0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 ) )
16153adant3 1008 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X  /\  X  <_  1 )  -> 
0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 ) )
17 ax-1cn 9452 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
18172timesi 10554 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  RR  ->  (
2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
2019breq2d 4413 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( 2  x.  X
)  <_  ( 2  x.  1 )  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
21 lemul2 10294 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( X  <_ 
1  <->  ( 2  x.  X )  <_  (
2  x.  1 ) ) )
224, 11, 21mp3an23 1307 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X  <_  1  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 2  x.  1 ) ) )
23 lesubadd 9923 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
244, 4, 23mp3an23 1307 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  X )  e.  RR  ->  (
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
253, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
2620, 22, 253bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X  <_  1  <->  ( (
2  x.  X )  -  1 )  <_ 
1 ) )
2726biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  X  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1 )
28273adant2 1007 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X  /\  X  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1 )
297, 16, 283jca 1168 . 2  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X  /\  X  <_  1 )  -> 
( ( ( 2  x.  X )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 )  /\  ( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1 ) )
30 halfre 10652 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
3130, 4elicc2i 11473 . 2  |-  ( X  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  <->  ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2 )  <_  X  /\  X  <_  1
) )
32 0re 9498 . . 3  |-  0  e.  RR
3332, 4elicc2i 11473 . 2  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 2  x.  X )  -  1 )  /\  ( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_ 
1 ) )
3429, 31, 333imtr4i 266 1  |-  ( X  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4401  (class class class)co 6201   RRcr 9393   0cc0 9394   1c1 9395    + caddc 9397    x. cmul 9399    < clt 9530    <_ cle 9531    - cmin 9707    / cdiv 10105   2c2 10483   [,]cicc 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-2 10492  df-icc 11419
This theorem is referenced by:  iihalf2cn  20639  phtpycc  20696  copco  20723  pcohtpylem  20724  pcopt  20727  pcopt2  20728  pcorevlem  20731
  Copyright terms: Public domain W3C validator