MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iihalf2 Structured version   Unicode version

Theorem iihalf2 21617
Description: Map the second half of  II into  II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iihalf2  |-  ( X  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )

Proof of Theorem iihalf2
StepHypRef Expression
1 2re 10566 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
2 remulcl 9527 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( 2  x.  X
)  e.  RR )
31, 2mpan 668 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  (
2  x.  X )  e.  RR )
4 1re 9545 . . . . 5  |-  1  e.  RR
5 resubcl 9839 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  X )  -  1 )  e.  RR )
63, 4, 5sylancl 660 . . . 4  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  RR )
763ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X  /\  X  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  X )  -  1 )  e.  RR )
8 subge0 10026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
( 2  x.  X
)  -  1 )  <->  1  <_  ( 2  x.  X ) ) )
93, 4, 8sylancl 660 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 )  <->  1  <_  ( 2  x.  X ) ) )
10 2pos 10588 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
111, 10pm3.2i 453 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
12 ledivmul 10379 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  X  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  <_  X 
<->  1  <_  ( 2  x.  X ) ) )
134, 11, 12mp3an13 1317 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( 1  /  2
)  <_  X  <->  1  <_  ( 2  x.  X ) ) )
149, 13bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 )  <->  ( 1  /  2 )  <_  X ) )
1514biimpar 483 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X )  ->  0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 ) )
16153adant3 1017 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X  /\  X  <_  1 )  -> 
0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 ) )
17 ax-1cn 9500 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
18172timesi 10617 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  RR  ->  (
2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
2019breq2d 4406 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( 2  x.  X
)  <_  ( 2  x.  1 )  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
21 lemul2 10356 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( X  <_ 
1  <->  ( 2  x.  X )  <_  (
2  x.  1 ) ) )
224, 11, 21mp3an23 1318 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X  <_  1  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 2  x.  1 ) ) )
23 lesubadd 9985 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
244, 4, 23mp3an23 1318 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  X )  e.  RR  ->  (
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
253, 24syl 17 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
2620, 22, 253bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X  <_  1  <->  ( (
2  x.  X )  -  1 )  <_ 
1 ) )
2726biimpa 482 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  X  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1 )
28273adant2 1016 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X  /\  X  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1 )
297, 16, 283jca 1177 . 2  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X  /\  X  <_  1 )  -> 
( ( ( 2  x.  X )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 )  /\  ( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1 ) )
30 halfre 10715 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
3130, 4elicc2i 11561 . 2  |-  ( X  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  <->  ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2 )  <_  X  /\  X  <_  1
) )
32 0re 9546 . . 3  |-  0  e.  RR
3332, 4elicc2i 11561 . 2  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 2  x.  X )  -  1 )  /\  ( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_ 
1 ) )
3429, 31, 333imtr4i 266 1  |-  ( X  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394  (class class class)co 6234   RRcr 9441   0cc0 9442   1c1 9443    + caddc 9445    x. cmul 9447    < clt 9578    <_ cle 9579    - cmin 9761    / cdiv 10167   2c2 10546   [,]cicc 11503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-2 10555  df-icc 11507
This theorem is referenced by:  iihalf2cn  21618  phtpycc  21675  copco  21702  pcohtpylem  21703  pcopt  21706  pcopt2  21707  pcorevlem  21710
  Copyright terms: Public domain W3C validator