MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iihalf2 Structured version   Unicode version

Theorem iihalf2 21161
Description: Map the second half of  II into  II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iihalf2  |-  ( X  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )

Proof of Theorem iihalf2
StepHypRef Expression
1 2re 10594 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
2 remulcl 9566 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( 2  x.  X
)  e.  RR )
31, 2mpan 670 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  (
2  x.  X )  e.  RR )
4 1re 9584 . . . . 5  |-  1  e.  RR
5 resubcl 9872 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  X )  -  1 )  e.  RR )
63, 4, 5sylancl 662 . . . 4  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  RR )
763ad2ant1 1012 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X  /\  X  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  X )  -  1 )  e.  RR )
8 subge0 10054 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
( 2  x.  X
)  -  1 )  <->  1  <_  ( 2  x.  X ) ) )
93, 4, 8sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 )  <->  1  <_  ( 2  x.  X ) ) )
10 2pos 10616 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
111, 10pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
12 ledivmul 10407 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  X  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  <_  X 
<->  1  <_  ( 2  x.  X ) ) )
134, 11, 12mp3an13 1310 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( 1  /  2
)  <_  X  <->  1  <_  ( 2  x.  X ) ) )
149, 13bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 )  <->  ( 1  /  2 )  <_  X ) )
1514biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X )  ->  0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 ) )
16153adant3 1011 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X  /\  X  <_  1 )  -> 
0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 ) )
17 ax-1cn 9539 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
18172timesi 10645 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  RR  ->  (
2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
2019breq2d 4452 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( 2  x.  X
)  <_  ( 2  x.  1 )  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
21 lemul2 10384 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( X  <_ 
1  <->  ( 2  x.  X )  <_  (
2  x.  1 ) ) )
224, 11, 21mp3an23 1311 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X  <_  1  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 2  x.  1 ) ) )
23 lesubadd 10013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
244, 4, 23mp3an23 1311 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  X )  e.  RR  ->  (
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
253, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1  <->  ( 2  x.  X )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
2620, 22, 253bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X  <_  1  <->  ( (
2  x.  X )  -  1 )  <_ 
1 ) )
2726biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  X  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1 )
28273adant2 1010 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X  /\  X  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1 )
297, 16, 283jca 1171 . 2  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  <_  X  /\  X  <_  1 )  -> 
( ( ( 2  x.  X )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
2  x.  X )  -  1 )  /\  ( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_  1 ) )
30 halfre 10743 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
3130, 4elicc2i 11579 . 2  |-  ( X  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  <->  ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2 )  <_  X  /\  X  <_  1
) )
32 0re 9585 . . 3  |-  0  e.  RR
3332, 4elicc2i 11579 . 2  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 2  x.  X )  -  1 )  /\  ( ( 2  x.  X )  -  1 )  <_ 
1 ) )
3429, 31, 333imtr4i 266 1  |-  ( X  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  X
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794    / cdiv 10195   2c2 10574   [,]cicc 11521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-2 10583  df-icc 11525
This theorem is referenced by:  iihalf2cn  21162  phtpycc  21219  copco  21246  pcohtpylem  21247  pcopt  21250  pcopt2  21251  pcorevlem  21254
  Copyright terms: Public domain W3C validator