MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iihalf1cn Structured version   Unicode version

Theorem iihalf1cn 21598
Description: The first half function is a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
iihalf1cn.1  |-  J  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )
Assertion
Ref Expression
iihalf1cn  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  |->  ( 2  x.  x ) )  e.  ( J  Cn  II )

Proof of Theorem iihalf1cn
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2 iihalf1cn.1 . . 3  |-  J  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )
3 dfii2 21552 . . 3  |-  II  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] 1
) )
4 0re 9585 . . . . 5  |-  0  e.  RR
5 halfre 10750 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
6 iccssre 11609 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  C_  RR )
74, 5, 6mp2an 670 . . . 4  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  C_  RR
87a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )  C_  RR )
9 unitssre 11670 . . . 4  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
109a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ( 0 [,] 1
)  C_  RR )
11 iihalf1 21597 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
1211adantl 464 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
131cnfldtopon 21456 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
15 2cnd 10604 . . . . 5  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
1614, 14, 15cnmptc 20329 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  2 )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
1714cnmptid 20328 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  x )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
181mulcn 21537 . . . . 5  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
2014, 16, 17, 19cnmpt12f 20333 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
211, 2, 3, 8, 10, 12, 20cnmptre 21593 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) 
|->  ( 2  x.  x
) )  e.  ( J  Cn  II ) )
2221trud 1407 1  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  |->  ( 2  x.  x ) )  e.  ( J  Cn  II )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1398   T. wtru 1399    e. wcel 1823    C_ wss 3461    |-> cmpt 4497   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486    / cdiv 10202   2c2 10581   (,)cioo 11532   [,]cicc 11535   ↾t crest 14910   TopOpenctopn 14911   topGenctg 14927  ℂfldccnfld 18615  TopOnctopon 19562    Cn ccn 19892    tX ctx 20227   IIcii 21545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-ii 21547
This theorem is referenced by:  htpycc  21646  pcocn  21683  pcohtpylem  21685  pcopt2  21689  pcoass  21690  pcorevlem  21692
  Copyright terms: Public domain W3C validator