MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iihalf1 Structured version   Unicode version

Theorem iihalf1 21539
Description: Map the first half of  II into  II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iihalf1  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  X )  e.  ( 0 [,] 1 ) )

Proof of Theorem iihalf1
StepHypRef Expression
1 2re 10544 . . . . 5  |-  2  e.  RR
2 remulcl 9510 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( 2  x.  X
)  e.  RR )
31, 2mpan 668 . . . 4  |-  ( X  e.  RR  ->  (
2  x.  X )  e.  RR )
433ad2ant1 1015 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  X )  e.  RR )
5 0le2 10565 . . . . 5  |-  0  <_  2
6 mulge0 10010 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  X ) )
71, 5, 6mpanl12 680 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  -> 
0  <_  ( 2  x.  X ) )
873adant3 1014 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  ( 1  /  2
) )  ->  0  <_  ( 2  x.  X
) )
9 1re 9528 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
10 2pos 10566 . . . . . . 7  |-  0  <  2
111, 10pm3.2i 453 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
12 lemuldiv2 10363 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  X )  <_ 
1  <->  X  <_  ( 1  /  2 ) ) )
139, 11, 12mp3an23 1314 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( 2  x.  X
)  <_  1  <->  X  <_  ( 1  /  2 ) ) )
1413biimpar 483 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  X  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( 2  x.  X
)  <_  1 )
15143adant2 1013 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  X )  <_  1 )
164, 8, 153jca 1174 . 2  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  X
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  X )  /\  (
2  x.  X )  <_  1 ) )
17 0re 9529 . . 3  |-  0  e.  RR
18 halfre 10693 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
1917, 18elicc2i 11533 . 2  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  (
1  /  2 ) ) )
2017, 9elicc2i 11533 . 2  |-  ( ( 2  x.  X )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
2  x.  X )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  X
)  /\  ( 2  x.  X )  <_ 
1 ) )
2116, 19, 203imtr4i 266 1  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  X )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1836   class class class wbr 4384  (class class class)co 6218   RRcr 9424   0cc0 9425   1c1 9426    x. cmul 9430    < clt 9561    <_ cle 9562    / cdiv 10145   2c2 10524   [,]cicc 11475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4181  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-2 10533  df-icc 11479
This theorem is referenced by:  iihalf1cn  21540  phtpycc  21599  copco  21626  pcohtpylem  21627  pcopt  21630  pcopt2  21631  pcorevlem  21634
  Copyright terms: Public domain W3C validator