MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iihalf1 Structured version   Unicode version

Theorem iihalf1 21957
Description: Map the first half of  II into  II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iihalf1  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  X )  e.  ( 0 [,] 1 ) )

Proof of Theorem iihalf1
StepHypRef Expression
1 2re 10686 . . . . 5  |-  2  e.  RR
2 remulcl 9631 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( 2  x.  X
)  e.  RR )
31, 2mpan 674 . . . 4  |-  ( X  e.  RR  ->  (
2  x.  X )  e.  RR )
433ad2ant1 1026 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  X )  e.  RR )
5 0le2 10707 . . . . 5  |-  0  <_  2
6 mulge0 10139 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  X ) )
71, 5, 6mpanl12 686 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  -> 
0  <_  ( 2  x.  X ) )
873adant3 1025 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  ( 1  /  2
) )  ->  0  <_  ( 2  x.  X
) )
9 1re 9649 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
10 2pos 10708 . . . . . . 7  |-  0  <  2
111, 10pm3.2i 456 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
12 lemuldiv2 10494 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  X )  <_ 
1  <->  X  <_  ( 1  /  2 ) ) )
139, 11, 12mp3an23 1352 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  (
( 2  x.  X
)  <_  1  <->  X  <_  ( 1  /  2 ) ) )
1413biimpar 487 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  X  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( 2  x.  X
)  <_  1 )
15143adant2 1024 . . 3  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  X )  <_  1 )
164, 8, 153jca 1185 . 2  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  X
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  X )  /\  (
2  x.  X )  <_  1 ) )
17 0re 9650 . . 3  |-  0  e.  RR
18 halfre 10835 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
1917, 18elicc2i 11707 . 2  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  (
1  /  2 ) ) )
2017, 9elicc2i 11707 . 2  |-  ( ( 2  x.  X )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
2  x.  X )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  X
)  /\  ( 2  x.  X )  <_ 
1 ) )
2116, 19, 203imtr4i 269 1  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  X )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1872   class class class wbr 4423  (class class class)co 6305   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    x. cmul 9551    < clt 9682    <_ cle 9683    / cdiv 10276   2c2 10666   [,]cicc 11645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-2 10675  df-icc 11649
This theorem is referenced by:  iihalf1cn  21958  phtpycc  22020  copco  22047  pcohtpylem  22048  pcopt  22051  pcopt2  22052  pcorevlem  22055
  Copyright terms: Public domain W3C validator