Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  igenval Structured version   Unicode version

Theorem igenval 30663
 Description: The ideal generated by a subset of a ring. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
igenval.1
igenval.2
Assertion
Ref Expression
igenval
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem igenval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 igenval.1 . . . . . 6
2 igenval.2 . . . . . 6
31, 2rngoidl 30626 . . . . 5
4 sseq2 3521 . . . . . 6
54rspcev 3210 . . . . 5
63, 5sylan 471 . . . 4
7 rabn0 3814 . . . 4
86, 7sylibr 212 . . 3
9 intex 4612 . . 3
108, 9sylib 196 . 2
11 fvex 5882 . . . . . . 7
121, 11eqeltri 2541 . . . . . 6
1312rnex 6733 . . . . 5
142, 13eqeltri 2541 . . . 4
1514elpw2 4620 . . 3
16 simpl 457 . . . . . . 7
1716fveq2d 5876 . . . . . 6
18 sseq1 3520 . . . . . . 7
1918adantl 466 . . . . . 6
2017, 19rabeqbidv 3104 . . . . 5
2120inteqd 4293 . . . 4
22 fveq2 5872 . . . . . . . 8
2322, 1syl6eqr 2516 . . . . . . 7
2423rneqd 5240 . . . . . 6
2524, 2syl6eqr 2516 . . . . 5
2625pweqd 4020 . . . 4
27 df-igen 30662 . . . 4
2821, 26, 27ovmpt2x 6430 . . 3
2915, 28syl3an2br 1268 . 2
3010, 29mpd3an3 1325 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wrex 2808  crab 2811  cvv 3109   wss 3471  c0 3793  cpw 4015  cint 4288   crn 5009  cfv 5594  (class class class)co 6296  c1st 6797  crngo 25504  cidl 30609   cigen 30661 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fo 5600  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-grpo 25320  df-gid 25321  df-ablo 25411  df-rngo 25505  df-idl 30612  df-igen 30662 This theorem is referenced by:  igenss  30664  igenidl  30665  igenmin  30666  igenidl2  30667  igenval2  30668
 Copyright terms: Public domain W3C validator