MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1pval2 Structured version   Unicode version

Theorem ig1pval2 21758
Description: Generator of the zero ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ig1pval.g  |-  G  =  (idlGen1p `
 R )
ig1pval2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
Assertion
Ref Expression
ig1pval2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( G `
 {  .0.  }
)  =  .0.  )

Proof of Theorem ig1pval2
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ig1pval.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
21ply1rng 17807 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
3 eqid 2451 . . . . 5  |-  (LIdeal `  P )  =  (LIdeal `  P )
4 ig1pval2.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
53, 4lidl0 17404 . . . 4  |-  ( P  e.  Ring  ->  {  .0.  }  e.  (LIdeal `  P
) )
62, 5syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  {  .0.  }  e.  (LIdeal `  P
) )
7 ig1pval.g . . . 4  |-  G  =  (idlGen1p `
 R )
8 eqid 2451 . . . 4  |-  ( deg1  `  R
)  =  ( deg1  `  R
)
9 eqid 2451 . . . 4  |-  (Monic1p `  R
)  =  (Monic1p `  R
)
101, 7, 4, 3, 8, 9ig1pval 21757 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  {  .0.  }  e.  (LIdeal `  P ) )  -> 
( G `  {  .0.  } )  =  if ( {  .0.  }  =  {  .0.  } ,  .0.  ,  ( iota_ g  e.  ( {  .0.  }  i^i  (Monic1p `  R ) ) ( ( deg1  `  R ) `  g )  =  sup ( ( ( deg1  `  R
) " ( {  .0.  }  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )
116, 10mpdan 668 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( G `
 {  .0.  }
)  =  if ( {  .0.  }  =  {  .0.  } ,  .0.  ,  ( iota_ g  e.  ( {  .0.  }  i^i  (Monic1p `  R ) ) ( ( deg1  `  R ) `  g )  =  sup ( ( ( deg1  `  R
) " ( {  .0.  }  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )
12 eqid 2451 . . 3  |-  {  .0.  }  =  {  .0.  }
1312iftruei 3893 . 2  |-  if ( {  .0.  }  =  {  .0.  } ,  .0.  ,  ( iota_ g  e.  ( {  .0.  }  i^i  (Monic1p `  R ) ) ( ( deg1  `  R ) `  g )  =  sup ( ( ( deg1  `  R
) " ( {  .0.  }  \  {  .0.  } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )  =  .0.
1411, 13syl6eq 2507 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( G `
 {  .0.  }
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3420    i^i cin 3422   ifcif 3886   {csn 3972   `'ccnv 4934   "cima 4938   ` cfv 5513   iota_crio 6147   supcsup 7788   RRcr 9379    < clt 9516   0gc0g 14477   Ringcrg 16748  LIdealclidl 17354  Poly1cpl1 17737   deg1 cdg1 21636  Monic1pcmn1 21710  idlGen1pcig1p 21714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-inf2 7945  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-iin 4269  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-of 6417  df-ofr 6418  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-supp 6788  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-2o 7018  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-pm 7314  df-ixp 7361  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-fsupp 7719  df-sup 7789  df-oi 7822  df-card 8207  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-7 10483  df-8 10484  df-9 10485  df-10 10486  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-seq 11905  df-hash 12202  df-struct 14275  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-ress 14280  df-plusg 14350  df-mulr 14351  df-sca 14353  df-vsca 14354  df-ip 14355  df-tset 14356  df-ple 14357  df-0g 14479  df-gsum 14480  df-mre 14623  df-mrc 14624  df-acs 14626  df-mnd 15514  df-mhm 15563  df-submnd 15564  df-grp 15644  df-minusg 15645  df-mulg 15647  df-subg 15777  df-ghm 15844  df-cntz 15934  df-cmn 16380  df-abl 16381  df-mgp 16694  df-ur 16706  df-rng 16750  df-subrg 16966  df-lmod 17053  df-lss 17117  df-sra 17356  df-rgmod 17357  df-lidl 17358  df-psr 17526  df-mpl 17528  df-opsr 17530  df-psr1 17740  df-ply1 17742  df-ig1p 21719
This theorem is referenced by:  ig1pcl  21760
  Copyright terms: Public domain W3C validator