Theorem ifscgr 29925

Description: Inner five segment congruence. Take two triangles, A D C and E H G, with B between A and C and F between E and G. If the other components of the triangles are congruent, then so are B D and F H. Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Scott Fenton, 27-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ifscgr	|- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. <. A , B >. , <. C , D >. >. InnerFiveSeg <. <. E , F >. , <. G , H >. >. -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )

Proof of Theorem ifscgr

Dummy variables e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brifs 29924	. 2 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. <. A , B >. , <. C , D >. >. InnerFiveSeg <. <. E , F >. , <. G , H >. >. <-> ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) )
2		simp1l 1018	. . . . . 6 |- ( ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> B Btwn <. C , C >. )
3		simp11 1024	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> N e. NN )
4		simp13 1026	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
5		simp21 1027	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
6		axbtwnid 24447	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) -> ( B Btwn <. C , C >. -> B = C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1226	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( B Btwn <. C , C >. -> B = C ) )
8	2, 7	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> B = C ) )
9		simp2r 1021	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> <. B , C >.Cgr <. F , G >. )
10		simp3r 1023	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> <. C , D >.Cgr <. G , H >. )
11	9, 10	jca 530	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> ( <. B , C >.Cgr <. F , G >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) )
12		opeq2 4204	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = C -> <. B , B >. = <. B , C >. )
13	12	breq1d 4449	. . . . . . . . . 10 |- ( B = C -> ( <. B , B >.Cgr <. F , G >. <-> <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) )
14		opeq1 4203	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = C -> <. B , D >. = <. C , D >. )
15	14	breq1d 4449	. . . . . . . . . 10 |- ( B = C -> ( <. B , D >.Cgr <. G , H >. <-> <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) )
16	13, 15	anbi12d 708	. . . . . . . . 9 |- ( B = C -> ( ( <. B , B >.Cgr <. F , G >. /\ <. B , D >.Cgr <. G , H >. ) <-> ( <. B , C >.Cgr <. F , G >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) )
17	16	biimprd 223	. . . . . . . 8 |- ( B = C -> ( ( <. B , C >.Cgr <. F , G >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) -> ( <. B , B >.Cgr <. F , G >. /\ <. B , D >.Cgr <. G , H >. ) ) )
18	11, 17	mpan9 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ B = C ) -> ( <. B , B >.Cgr <. F , G >. /\ <. B , D >.Cgr <. G , H >. ) )
19		simp31 1030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> F e. ( EE ` N ) )
20		simp32 1031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> G e. ( EE ` N ) )
21		cgrid2 29884	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( B e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. B , B >.Cgr <. F , G >. -> F = G ) )
22	3, 4, 19, 20, 21	syl13anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. B , B >.Cgr <. F , G >. -> F = G ) )
23		opeq1 4203	. . . . . . . . . . 11 |- ( F = G -> <. F , H >. = <. G , H >. )
24	23	breq2d 4451	. . . . . . . . . 10 |- ( F = G -> ( <. B , D >.Cgr <. F , H >. <-> <. B , D >.Cgr <. G , H >. ) )
25	24	biimprd 223	. . . . . . . . 9 |- ( F = G -> ( <. B , D >.Cgr <. G , H >. -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )
26	22, 25	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. B , B >.Cgr <. F , G >. -> ( <. B , D >.Cgr <. G , H >. -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) )
27	26	impd 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. B , B >.Cgr <. F , G >. /\ <. B , D >.Cgr <. G , H >. ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )
28	18, 27	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ B = C ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )
29	28	expd 434	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> ( B = C -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) )
30	8, 29	mpdd 40	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )
31		opeq1 4203	. . . . . . . 8 |- ( A = C -> <. A , C >. = <. C , C >. )
32	31	breq2d 4451	. . . . . . 7 |- ( A = C -> ( B Btwn <. A , C >. <-> B Btwn <. C , C >. ) )
33	32	anbi1d 702	. . . . . 6 |- ( A = C -> ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) <-> ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) ) )
34	31	breq1d 4449	. . . . . . 7 |- ( A = C -> ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. <-> <. C , C >.Cgr <. E , G >. ) )
35	34	anbi1d 702	. . . . . 6 |- ( A = C -> ( ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) <-> ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) ) )
36	33, 35	3anbi12d 1298	. . . . 5 |- ( A = C -> ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) <-> ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) )
37	36	imbi1d 315	. . . 4 |- ( A = C -> ( ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) <-> ( ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) )
38	30, 37	syl5ibr 221	. . 3 |- ( A = C -> ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) )
39		simp12 1025	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
40		btwndiff 29908	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) -> E. e e. ( EE ` N ) ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) )
41	3, 39, 5, 40	syl3anc 1226	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> E. e e. ( EE ` N ) ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) )
42		simpl11 1069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ e e. ( EE ` N ) ) -> N e. NN )
43		simpl23 1074	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ e e. ( EE ` N ) ) -> E e. ( EE ` N ) )
44		simpl32 1076	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ e e. ( EE ` N ) ) -> G e. ( EE ` N ) )
45		simpl21 1072	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ e e. ( EE ` N ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
46		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ e e. ( EE ` N ) ) -> e e. ( EE ` N ) )
47		axsegcon 24435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( E e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ e e. ( EE ` N ) ) ) -> E. f e. ( EE ` N ) ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) )
48	42, 43, 44, 45, 46, 47	syl122anc 1235	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ e e. ( EE ` N ) ) -> E. f e. ( EE ` N ) ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) )
49		anass 647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ A =/= C ) ) <-> ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) /\ ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ A =/= C ) ) ) )
50		anass 647	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ A =/= C ) <-> ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ A =/= C ) ) )
51		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> C Btwn <. A , e >. )
52	51	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> C Btwn <. A , e >. )
53		simplll 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> G Btwn <. E , f >. )
54	53	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> G Btwn <. E , f >. )
55	52, 54	jca 530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> ( C Btwn <. A , e >. /\ G Btwn <. E , f >. ) )
56		simpr2l 1053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> <. A , C >.Cgr <. E , G >. )
57	56	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> <. A , C >.Cgr <. E , G >. )
58		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> <. G , f >.Cgr <. C , e >. )
59	58	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> <. G , f >.Cgr <. C , e >. )
60	3	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> N e. NN )
61	20	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> G e. ( EE ` N ) )
62		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> f e. ( EE ` N ) )
63	5	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
64		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> e e. ( EE ` N ) )
65		cgrcom 29871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ e e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. G , f >.Cgr <. C , e >. <-> <. C , e >.Cgr <. G , f >. ) )
66	60, 61, 62, 63, 64, 65	syl122anc 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> ( <. G , f >.Cgr <. C , e >. <-> <. C , e >.Cgr <. G , f >. ) )
67	59, 66	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> <. C , e >.Cgr <. G , f >. )
68	57, 67	jca 530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. C , e >.Cgr <. G , f >. ) )
69		simprr3 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) )
70	55, 68, 69	3jca 1174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> ( ( C Btwn <. A , e >. /\ G Btwn <. E , f >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. C , e >.Cgr <. G , f >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) )
71	70	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> ( ( C Btwn <. A , e >. /\ G Btwn <. E , f >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. C , e >.Cgr <. G , f >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) )
72		simpl11 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> N e. NN )
73		simpl12 1070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
74		simpl21 1072	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
75		simprl 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> e e. ( EE ` N ) )
76		simpl22 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
77		simpl23 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> E e. ( EE ` N ) )
78		simpl32 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> G e. ( EE ` N ) )
79		simprr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> f e. ( EE ` N ) )
80		simpl33 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> H e. ( EE ` N ) )
81		brofs 29886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. <. A , C >. , <. e , D >. >. OuterFiveSeg <. <. E , G >. , <. f , H >. >. <-> ( ( C Btwn <. A , e >. /\ G Btwn <. E , f >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. C , e >.Cgr <. G , f >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) )
82	72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81	syl333anc 1258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. <. A , C >. , <. e , D >. >. OuterFiveSeg <. <. E , G >. , <. f , H >. >. <-> ( ( C Btwn <. A , e >. /\ G Btwn <. E , f >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. C , e >.Cgr <. G , f >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) )
83	71, 82	sylibrd 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> <. <. A , C >. , <. e , D >. >. OuterFiveSeg <. <. E , G >. , <. f , H >. >. ) )
84		5segofs 29887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. <. A , C >. , <. e , D >. >. OuterFiveSeg <. <. E , G >. , <. f , H >. >. /\ A =/= C ) -> <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) )
85	72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 84	syl333anc 1258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. <. A , C >. , <. e , D >. >. OuterFiveSeg <. <. E , G >. , <. f , H >. >. /\ A =/= C ) -> <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) )
86	83, 85	syland 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ A =/= C ) -> <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) )
87		simpr1l 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> B Btwn <. A , C >. )
88	87	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> B Btwn <. A , C >. )
89	51	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> C Btwn <. A , e >. )
90	88, 89	jca 530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> ( B Btwn <. A , C >. /\ C Btwn <. A , e >. ) )
91		simpr1r 1052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> F Btwn <. E , G >. )
92	91	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> F Btwn <. E , G >. )
93	53	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> G Btwn <. E , f >. )
94	90, 92, 93	jca32 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> ( ( B Btwn <. A , C >. /\ C Btwn <. A , e >. ) /\ ( F Btwn <. E , G >. /\ G Btwn <. E , f >. ) ) )
95		simpl13 1071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
96		btwnexch3 29901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ e e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( B Btwn <. A , C >. /\ C Btwn <. A , e >. ) -> C Btwn <. B , e >. ) )
97	72, 73, 95, 74, 75, 96	syl122anc 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( B Btwn <. A , C >. /\ C Btwn <. A , e >. ) -> C Btwn <. B , e >. ) )
98		simpl31 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> F e. ( EE ` N ) )
99		btwnexch3 29901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. NN /\ ( E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( F Btwn <. E , G >. /\ G Btwn <. E , f >. ) -> G Btwn <. F , f >. ) )
100	72, 77, 98, 78, 79, 99	syl122anc 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( F Btwn <. E , G >. /\ G Btwn <. E , f >. ) -> G Btwn <. F , f >. ) )
101	97, 100	anim12d 561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ C Btwn <. A , e >. ) /\ ( F Btwn <. E , G >. /\ G Btwn <. E , f >. ) ) -> ( C Btwn <. B , e >. /\ G Btwn <. F , f >. ) ) )
102	94, 101	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> ( C Btwn <. B , e >. /\ G Btwn <. F , f >. ) ) )
103	102	imp 427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> ( C Btwn <. B , e >. /\ G Btwn <. F , f >. ) )
104		btwncom 29895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ e e. ( EE ` N ) ) ) -> ( C Btwn <. B , e >. <-> C Btwn <. e , B >. ) )
105	72, 74, 95, 75, 104	syl13anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( C Btwn <. B , e >. <-> C Btwn <. e , B >. ) )
106		btwncom 29895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( N e. NN /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( G Btwn <. F , f >. <-> G Btwn <. f , F >. ) )
107	72, 78, 98, 79, 106	syl13anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( G Btwn <. F , f >. <-> G Btwn <. f , F >. ) )
108	105, 107	anbi12d 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( C Btwn <. B , e >. /\ G Btwn <. F , f >. ) <-> ( C Btwn <. e , B >. /\ G Btwn <. f , F >. ) ) )
109	108	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> ( ( C Btwn <. B , e >. /\ G Btwn <. F , f >. ) <-> ( C Btwn <. e , B >. /\ G Btwn <. f , F >. ) ) )
110	103, 109	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> ( C Btwn <. e , B >. /\ G Btwn <. f , F >. ) )
111	58	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> <. G , f >.Cgr <. C , e >. )
112	72, 78, 79, 74, 75, 65	syl122anc 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. G , f >.Cgr <. C , e >. <-> <. C , e >.Cgr <. G , f >. ) )
113		cgrcomlr 29879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ e e. ( EE ` N ) ) /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. C , e >.Cgr <. G , f >. <-> <. e , C >.Cgr <. f , G >. ) )
114	72, 74, 75, 78, 79, 113	syl122anc 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. C , e >.Cgr <. G , f >. <-> <. e , C >.Cgr <. f , G >. ) )
115	112, 114	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. G , f >.Cgr <. C , e >. <-> <. e , C >.Cgr <. f , G >. ) )
116	115	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> ( <. G , f >.Cgr <. C , e >. <-> <. e , C >.Cgr <. f , G >. ) )
117	111, 116	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> <. e , C >.Cgr <. f , G >. )
118		simpr2r 1054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> <. B , C >.Cgr <. F , G >. )
119	118	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> <. B , C >.Cgr <. F , G >. )
120	72, 95, 74, 98, 78, 119	cgrcomlrand 29882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> <. C , B >.Cgr <. G , F >. )
121	117, 120	jca 530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> ( <. e , C >.Cgr <. f , G >. /\ <. C , B >.Cgr <. G , F >. ) )
122		simprr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> <. e , D >.Cgr <. f , H >. )
123		simpr3r 1056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> <. C , D >.Cgr <. G , H >. )
124	123	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> <. C , D >.Cgr <. G , H >. )
125	122, 124	jca 530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr