Theorem ifr0 16427

Description: A class that is founded by the identity relation is null.

Assertion

Ref	Expression
ifr0	|- ( _I Fr A <-> A = (/))

Proof of Theorem ifr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 2884	. . . 4 |- (A =/= (/) <-> E.x x e. A)
2		equid 1484	. . . . . . . 8 |- x = x
3		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
4	3	ideq 4116	. . . . . . . 8 |- (x _I x <-> x = x)
5	2, 4	mpbir 207	. . . . . . 7 |- x _I x
6		frirr 3634	. . . . . . . 8 |- (( _I Fr A /\ x e. A) -> -. x _I x)
7	6	ex 402	. . . . . . 7 |- ( _I Fr A -> (x e. A -> -. x _I x))
8	5, 7	mt2i 125	. . . . . 6 |- ( _I Fr A -> -. x e. A)
9	8	con2i 113	. . . . 5 |- (x e. A -> -. _I Fr A)
10	9	19.23aiv 1674	. . . 4 |- (E.x x e. A -> -. _I Fr A)
11	1, 10	sylbi 216	. . 3 |- (A =/= (/) -> -. _I Fr A)
12	11	necon4ai 2067	. 2 |- ( _I Fr A -> A = (/))
13		fr0 3636	. . 3 |- _I Fr (/)
14		freq2 3633	. . 3 |- (A = (/) -> ( _I Fr A <-> _I Fr (/)))
15	13, 14	mpbiri 211	. 2 |- (A = (/) -> _I Fr A)
16	12, 15	impbii 174	1 |- ( _I Fr A <-> A = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  (/)c0 2875   class class class wbr 3338   _I cid 3582   Fr wfr 3623

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-fr 3625  df-xp 4000  df-rel 4001

Copyright terms: Public domain