Theorem idsubidsup 15205

Description: The identity of an an objet of the subcategory equals the identity of the object in the supercategory.

Hypotheses

Ref	Expression
idsubidsup.1	|- I1 = (id` T)
idsubidsup.2	|- I2 = (id` U)
idsubidsup.3	|- O2 = dom (id` U)

Assertion

Ref	Expression
idsubidsup	|- (U e. ( SubCat ` T) -> A.x e. O2 (I2` x) = (I1` x))

Distinct variable groups:   x,T   x,U

Proof of Theorem idsubidsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		besubbeca 15196	. . . . 5 |- (U e. ( SubCat ` T) -> T e. Cat )
2		catded 15111	. . . . . 6 |- (T e. Cat -> T e. Ded )
3		dedalg 15090	. . . . . 6 |- (T e. Ded -> T e. Alg )
4	2, 3	syl 12	. . . . 5 |- (T e. Cat -> T e. Alg )
5		eqid 1884	. . . . . . 7 |- dom (dom` T) = dom (dom` T)
6		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (dom` T) = (dom` T)
7		eqid 1884	. . . . . . 7 |- dom I1 = dom I1
8		idsubidsup.1	. . . . . . 7 |- I1 = (id` T)
9	5, 6, 7, 8	ida 15077	. . . . . 6 |- (T e. Alg -> I1:dom I1-->dom (dom` T))
10		ffun 4565	. . . . . 6 |- (I1:dom I1-->dom (dom` T) -> Fun I1)
11	9, 10	syl 12	. . . . 5 |- (T e. Alg -> Fun I1)
12	1, 4, 11	3syl 24	. . . 4 |- (U e. ( SubCat ` T) -> Fun I1)
13	12	adantr 425	. . 3 |- ((U e. ( SubCat ` T) /\ x e. O2) -> Fun I1)
14		idsubidsup.2	. . . . 5 |- I2 = (id` U)
15	8, 14	idsubc 15199	. . . 4 |- (U e. ( SubCat ` T) -> I2 C_ I1)
16	15	adantr 425	. . 3 |- ((U e. ( SubCat ` T) /\ x e. O2) -> I2 C_ I1)
17		idsubidsup.3	. . . . . . 7 |- O2 = dom (id` U)
18	14	eqcomi 1888	. . . . . . . 8 |- (id` U) = I2
19	18	dmeqi 4158	. . . . . . 7 |- dom (id` U) = dom I2
20	17, 19	eqtri 1908	. . . . . 6 |- O2 = dom I2
21	20	eleq2i 1961	. . . . 5 |- (x e. O2 <-> x e. dom I2)
22	21	biimpi 168	. . . 4 |- (x e. O2 -> x e. dom I2)
23	22	adantl 424	. . 3 |- ((U e. ( SubCat ` T) /\ x e. O2) -> x e. dom I2)
24		funssfv 4692	. . . 4 |- ((Fun I1 /\ I2 C_ I1 /\ x e. dom I2) -> (I1` x) = (I2` x))
25	24	eqcomd 1889	. . 3 |- ((Fun I1 /\ I2 C_ I1 /\ x e. dom I2) -> (I2` x) = (I1` x))
26	13, 16, 23, 25	syl111anc 1100	. 2 |- ((U e. ( SubCat ` T) /\ x e. O2) -> (I2` x) = (I1` x))
27	26	r19.21aiva 2176	1 |- (U e. ( SubCat ` T) -> A.x e. O2 (I2` x) = (I1` x))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593  dom cdm 3986  Fun wfun 3992  -->wf 3994  ` cfv 3998   Alg calg 15058  domcdom_ 15059  idcid_ 15061   Ded cded 15081   Cat ccat 15099   SubCat csubc 15191

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fo 4012  df-fv 4014  df-opr 4886  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-alg 15063  df-doma 15064  df-coda 15065  df-ida 15066  df-cmpa 15067  df-ded 15082  df-cat 15100  df-subc 15192

Copyright terms: Public domain