Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idsrngd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem idsrngd 18168
 Description: A commutative ring is a star ring when the conjugate operation is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
idsrngd.k
idsrngd.c
idsrngd.r
idsrngd.i
Assertion
Ref Expression
idsrngd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem idsrngd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idsrngd.k . . 3
21a1i 11 . 2
3 eqidd 2472 . 2
4 eqidd 2472 . 2
5 idsrngd.c . . 3
65a1i 11 . 2
7 idsrngd.r . . 3
8 crngring 17869 . . 3
97, 8syl 17 . 2
10 idsrngd.i . . . . . 6
1110ralrimiva 2809 . . . . 5
1211adantr 472 . . . 4
13 simpr 468 . . . . 5
14 simpr 468 . . . . . . 7
1514fveq2d 5883 . . . . . 6
1615, 14eqeq12d 2486 . . . . 5
1713, 16rspcdv 3139 . . . 4
1812, 17mpd 15 . . 3
1918, 13eqeltrd 2549 . 2
2011adantr 472 . . . . 5
21203adant2 1049 . . . 4
22 ringgrp 17863 . . . . . . 7
239, 22syl 17 . . . . . 6
24 eqid 2471 . . . . . . 7
251, 24grpcl 16757 . . . . . 6
2623, 25syl3an1 1325 . . . . 5
27 simpr 468 . . . . . . 7
2827fveq2d 5883 . . . . . 6
2928, 27eqeq12d 2486 . . . . 5
3026, 29rspcdv 3139 . . . 4
3121, 30mpd 15 . . 3
32183adant3 1050 . . . 4
33 simpr 468 . . . . . . 7
34 simpr 468 . . . . . . . . 9
3534fveq2d 5883 . . . . . . . 8
3635, 34eqeq12d 2486 . . . . . . 7
3733, 36rspcdv 3139 . . . . . 6
3820, 37mpd 15 . . . . 5
39383adant2 1049 . . . 4
4032, 39oveq12d 6326 . . 3
4131, 40eqtr4d 2508 . 2
42 eqid 2471 . . . . 5
431, 42crngcom 17873 . . . 4
447, 43syl3an1 1325 . . 3
451, 42ringcl 17872 . . . . . 6
469, 45syl3an1 1325 . . . . 5
47 simpr 468 . . . . . . 7
4847fveq2d 5883 . . . . . 6
4948, 47eqeq12d 2486 . . . . 5
5046, 49rspcdv 3139 . . . 4
5121, 50mpd 15 . . 3
5239, 32oveq12d 6326 . . 3
5344, 51, 523eqtr4d 2515 . 2
5418fveq2d 5883 . . 3
5554, 18eqtrd 2505 . 2
562, 3, 4, 6, 9, 19, 41, 53, 55issrngd 18167 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cfv 5589  (class class class)co 6308  cbs 15199   cplusg 15268  cmulr 15269  cstv 15270  cgrp 16747  crg 17858  ccrg 17859  csr 18150 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-ghm 16959  df-cmn 17510  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-rnghom 18021  df-staf 18151  df-srng 18152 This theorem is referenced by:  recrng  19266  frlmphl  19416
 Copyright terms: Public domain W3C validator