Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idsrngd Structured version   Unicode version

Theorem idsrngd 17055
 Description: A commutative ring is a star ring when the conjugate operation is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
idsrngd.k
idsrngd.c
idsrngd.r
idsrngd.i
Assertion
Ref Expression
idsrngd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem idsrngd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idsrngd.k . . 3
21a1i 11 . 2
3 eqidd 2452 . 2
4 eqidd 2452 . 2
5 idsrngd.c . . 3
65a1i 11 . 2
7 idsrngd.r . . 3
8 crngrng 16763 . . 3
97, 8syl 16 . 2
10 idsrngd.i . . . . . 6
1110ralrimiva 2822 . . . . 5
1211adantr 465 . . . 4
13 simpr 461 . . . . 5
14 simpr 461 . . . . . . 7
1514fveq2d 5795 . . . . . 6
1615, 14eqeq12d 2473 . . . . 5
1713, 16rspcdv 3174 . . . 4
1812, 17mpd 15 . . 3
1918, 13eqeltrd 2539 . 2
2011adantr 465 . . . . 5
21203adant2 1007 . . . 4
22 rnggrp 16758 . . . . . . 7
239, 22syl 16 . . . . . 6
24 eqid 2451 . . . . . . 7
251, 24grpcl 15655 . . . . . 6
2623, 25syl3an1 1252 . . . . 5
27 simpr 461 . . . . . . 7
2827fveq2d 5795 . . . . . 6
2928, 27eqeq12d 2473 . . . . 5
3026, 29rspcdv 3174 . . . 4
3121, 30mpd 15 . . 3
32183adant3 1008 . . . 4
33 simpr 461 . . . . . . 7
34 simpr 461 . . . . . . . . 9
3534fveq2d 5795 . . . . . . . 8
3635, 34eqeq12d 2473 . . . . . . 7
3733, 36rspcdv 3174 . . . . . 6
3820, 37mpd 15 . . . . 5
39383adant2 1007 . . . 4
4032, 39oveq12d 6210 . . 3
4131, 40eqtr4d 2495 . 2
42 eqid 2451 . . . . 5
431, 42crngcom 16767 . . . 4
447, 43syl3an1 1252 . . 3
451, 42rngcl 16766 . . . . . 6
469, 45syl3an1 1252 . . . . 5
47 simpr 461 . . . . . . 7
4847fveq2d 5795 . . . . . 6
4948, 47eqeq12d 2473 . . . . 5
5046, 49rspcdv 3174 . . . 4
5121, 50mpd 15 . . 3
5239, 32oveq12d 6210 . . 3
5344, 51, 523eqtr4d 2502 . 2
54 simpr 461 . . . . . . 7
5554fveq2d 5795 . . . . . 6
5655, 54eqeq12d 2473 . . . . 5
5719, 56rspcdv 3174 . . . 4
5812, 57mpd 15 . . 3
5958, 18eqtrd 2492 . 2
602, 3, 4, 6, 9, 19, 41, 53, 59issrngd 17054 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758  wral 2795  cfv 5518  (class class class)co 6192  cbs 14278   cplusg 14342  cmulr 14343  cstv 14344  cgrp 15514  crg 16753  ccrg 16754  csr 17037 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-tpos 6847  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-0g 14484  df-mnd 15519  df-mhm 15568  df-grp 15649  df-ghm 15849  df-cmn 16385  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-cring 16756  df-oppr 16823  df-rnghom 16914  df-staf 17038  df-srng 17039 This theorem is referenced by:  recrng  18162  frlmphl  18317
 Copyright terms: Public domain W3C validator