MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idrespermg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem idrespermg 17064
Description: The structure with the singleton containing only the identity function restricted to a set as base set and the function composition as group operation (constructed by (structure) restricting the symmetric group to that singleton) is a permutation group (group consisting of permutations). (Contributed by AV, 17-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
idresperm.g  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
idrespermg.e  |-  E  =  ( Gs  { (  _I  |`  A ) } )
Assertion
Ref Expression
idrespermg  |-  ( A  e.  V  ->  ( E  e.  Grp  /\  ( Base `  E )  C_  ( Base `  G )
) )

Proof of Theorem idrespermg
StepHypRef Expression
1 idresperm.g . . 3  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
21idressubgsymg 17063 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  { (  _I  |`  A ) }  e.  (SubGrp `  G
) )
3 eqid 2453 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
41, 3pgrpsubgsymgbi 17060 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( { (  _I  |`  A ) }  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( {
(  _I  |`  A ) }  C_  ( Base `  G )  /\  ( Gs  { (  _I  |`  A ) } )  e.  Grp ) ) )
5 snex 4644 . . . . . . 7  |-  { (  _I  |`  A ) }  e.  _V
6 idrespermg.e . . . . . . . 8  |-  E  =  ( Gs  { (  _I  |`  A ) } )
76, 3ressbas 15191 . . . . . . 7  |-  ( { (  _I  |`  A ) }  e.  _V  ->  ( { (  _I  |`  A ) }  i^i  ( Base `  G ) )  =  ( Base `  E
) )
85, 7mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( { (  _I  |`  A ) }  i^i  ( Base `  G ) )  =  ( Base `  E
) )
9 inss2 3655 . . . . . 6  |-  ( { (  _I  |`  A ) }  i^i  ( Base `  G ) )  C_  ( Base `  G )
108, 9syl6eqssr 3485 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  E )  C_  ( Base `  G )
)
116eqcomi 2462 . . . . . . . 8  |-  ( Gs  { (  _I  |`  A ) } )  =  E
1211eleq1i 2522 . . . . . . 7  |-  ( ( Gs  { (  _I  |`  A ) } )  e.  Grp  <->  E  e.  Grp )
1312biimpi 198 . . . . . 6  |-  ( ( Gs  { (  _I  |`  A ) } )  e.  Grp  ->  E  e.  Grp )
1413adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( { (  _I  |`  A ) }  C_  ( Base `  G )  /\  ( Gs  { (  _I  |`  A ) } )  e.  Grp )  ->  E  e.  Grp )
1510, 14anim12ci 571 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( { (  _I  |`  A ) }  C_  ( Base `  G )  /\  ( Gs  { (  _I  |`  A ) } )  e.  Grp ) )  ->  ( E  e.  Grp  /\  ( Base `  E )  C_  ( Base `  G )
) )
1615ex 436 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( { (  _I  |`  A ) }  C_  ( Base `  G )  /\  ( Gs  { (  _I  |`  A ) } )  e.  Grp )  ->  ( E  e. 
Grp  /\  ( Base `  E )  C_  ( Base `  G ) ) ) )
174, 16sylbid 219 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( { (  _I  |`  A ) }  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( E  e.  Grp  /\  ( Base `  E )  C_  ( Base `  G )
) ) )
182, 17mpd 15 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( E  e.  Grp  /\  ( Base `  E )  C_  ( Base `  G )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   _Vcvv 3047    i^i cin 3405    C_ wss 3406   {csn 3970    _I cid 4747    |` cres 4839   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Basecbs 15133   ↾s cress 15134   Grpcgrp 16681  SubGrpcsubg 16823   SymGrpcsymg 17030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-tset 15221  df-0g 15352  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-subg 16826  df-symg 17031
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator