Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idrespermg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem idrespermg 17064
 Description: The structure with the singleton containing only the identity function restricted to a set as base set and the function composition as group operation (constructed by (structure) restricting the symmetric group to that singleton) is a permutation group (group consisting of permutations). (Contributed by AV, 17-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
idresperm.g
idrespermg.e s
Assertion
Ref Expression
idrespermg

Proof of Theorem idrespermg
StepHypRef Expression
1 idresperm.g . . 3
21idressubgsymg 17063 . 2 SubGrp
3 eqid 2453 . . . 4
41, 3pgrpsubgsymgbi 17060 . . 3 SubGrp s
5 snex 4644 . . . . . . 7
6 idrespermg.e . . . . . . . 8 s
76, 3ressbas 15191 . . . . . . 7
85, 7mp1i 13 . . . . . 6
9 inss2 3655 . . . . . 6
108, 9syl6eqssr 3485 . . . . 5
116eqcomi 2462 . . . . . . . 8 s
1211eleq1i 2522 . . . . . . 7 s
1312biimpi 198 . . . . . 6 s
1413adantl 468 . . . . 5 s
1510, 14anim12ci 571 . . . 4 s
1615ex 436 . . 3 s
174, 16sylbid 219 . 2 SubGrp
182, 17mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1446   wcel 1889  cvv 3047   cin 3405   wss 3406  csn 3970   cid 4747   cres 4839  cfv 5585  (class class class)co 6295  cbs 15133   ↾s cress 15134  cgrp 16681  SubGrpcsubg 16823  csymg 17030 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-tset 15221  df-0g 15352  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-subg 16826  df-symg 17031 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator