MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idpm2idmp Structured version   Unicode version

Theorem idpm2idmp 19175
Description: The transformation of the identity polynomial matrix into polynomials over matrices results in the identity of the polynomials over matrices. (Contributed by AV, 18-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpval.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
pm2mpval.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
pm2mpval.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
pm2mpval.m  |-  .*  =  ( .s `  Q )
pm2mpval.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Q )
)
pm2mpval.x  |-  X  =  (var1 `  A )
pm2mpval.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
pm2mpval.q  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
pm2mpval.t  |-  T  =  ( N pMatToMatPoly  R )
Assertion
Ref Expression
idpm2idmp  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( T `  ( 1r `  C ) )  =  ( 1r `  Q ) )

Proof of Theorem idpm2idmp
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2mpval.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 pm2mpval.c . . . . 5  |-  C  =  ( N Mat  P )
31, 2pmatring 19067 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Ring )
4 pm2mpval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  C
)
5 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 1r
`  C )  =  ( 1r `  C
)
64, 5ringidcl 17093 . . . 4  |-  ( C  e.  Ring  ->  ( 1r
`  C )  e.  B )
73, 6syl 16 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  C
)  e.  B )
8 pm2mpval.m . . . 4  |-  .*  =  ( .s `  Q )
9 pm2mpval.e . . . 4  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Q )
)
10 pm2mpval.x . . . 4  |-  X  =  (var1 `  A )
11 pm2mpval.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
12 pm2mpval.q . . . 4  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
13 pm2mpval.t . . . 4  |-  T  =  ( N pMatToMatPoly  R )
141, 2, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13pm2mpfval 19170 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  ( 1r `  C )  e.  B )  ->  ( T `  ( 1r `  C ) )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( 1r
`  C ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) ) )
157, 14mpd3an3 1326 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( T `  ( 1r `  C ) )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( 1r `  C
) decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) ) )
16 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  A )  =  ( 0g `  A
)
17 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
181, 2, 5, 11, 16, 17decpmatid 19144 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( 1r `  C
) decompPMat  k )  =  if ( k  =  0 ,  ( 1r `  A ) ,  ( 0g `  A ) ) )
19183expa 1197 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( 1r
`  C ) decompPMat  k
)  =  if ( k  =  0 ,  ( 1r `  A
) ,  ( 0g
`  A ) ) )
2019oveq1d 6296 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( ( 1r `  C ) decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
)  =  ( if ( k  =  0 ,  ( 1r `  A ) ,  ( 0g `  A ) )  .*  ( k 
.^  X ) ) )
2120mpteq2dva 4523 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( k  e.  NN0  |->  ( ( ( 1r
`  C ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( 1r `  A ) ,  ( 0g `  A ) )  .*  ( k 
.^  X ) ) ) )
2221oveq2d 6297 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( 1r
`  C ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( 1r
`  A ) ,  ( 0g `  A
) )  .*  (
k  .^  X )
) ) ) )
23 ovif 6364 . . . . . 6  |-  ( if ( k  =  0 ,  ( 1r `  A ) ,  ( 0g `  A ) )  .*  ( k 
.^  X ) )  =  if ( k  =  0 ,  ( ( 1r `  A
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ,  ( ( 0g
`  A )  .*  ( k  .^  X
) ) )
2411matring 18818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
2512ply1sca 18168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  Ring  ->  A  =  (Scalar `  Q )
)
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  =  (Scalar `  Q
) )
2726adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  =  (Scalar `  Q ) )
2827fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1r `  A )  =  ( 1r `  (Scalar `  Q ) ) )
2928oveq1d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( 1r
`  A )  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( ( 1r `  (Scalar `  Q ) )  .*  ( k  .^  X
) ) )
3012ply1lmod 18167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Ring  ->  Q  e. 
LMod )
3124, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Q  e.  LMod )
3231adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  k  e.  NN0 )  ->  Q  e.  LMod )
33 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  (mulGrp `  Q )  =  (mulGrp `  Q )
34 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  Q )  =  (
Base `  Q )
3512, 10, 33, 9, 34ply1moncl 18186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
k  .^  X )  e.  ( Base `  Q
) )
3624, 35sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  .^  X )  e.  (
Base `  Q )
)
37 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  Q )  =  (Scalar `  Q )
38 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  (Scalar `  Q )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  Q )
)
3934, 37, 8, 38lmodvs1 17414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q  e.  LMod  /\  (
k  .^  X )  e.  ( Base `  Q
) )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  Q ) )  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( k  .^  X )
)
4032, 36, 39syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( 1r
`  (Scalar `  Q )
)  .*  ( k 
.^  X ) )  =  ( k  .^  X ) )
4129, 40eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( 1r
`  A )  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( k  .^  X )
)
4227fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 0g `  A )  =  ( 0g `  (Scalar `  Q ) ) )
4342oveq1d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( 0g
`  A )  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  Q ) )  .*  ( k  .^  X
) ) )
44 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  (Scalar `  Q )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  Q )
)
45 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  Q )  =  ( 0g `  Q
)
4634, 37, 8, 44, 45lmod0vs 17419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q  e.  LMod  /\  (
k  .^  X )  e.  ( Base `  Q
) )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  Q ) )  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( 0g `  Q ) )
4732, 36, 46syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( 0g
`  (Scalar `  Q )
)  .*  ( k 
.^  X ) )  =  ( 0g `  Q ) )
4843, 47eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( 0g
`  A )  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( 0g `  Q ) )
4941, 48ifeq12d 3946 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  k  e.  NN0 )  ->  if ( k  =  0 ,  ( ( 1r `  A
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ,  ( ( 0g
`  A )  .*  ( k  .^  X
) ) )  =  if ( k  =  0 ,  ( k 
.^  X ) ,  ( 0g `  Q
) ) )
5023, 49syl5eq 2496 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( if ( k  =  0 ,  ( 1r `  A
) ,  ( 0g
`  A ) )  .*  ( k  .^  X ) )  =  if ( k  =  0 ,  ( k 
.^  X ) ,  ( 0g `  Q
) ) )
5150mpteq2dva 4523 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( 1r
`  A ) ,  ( 0g `  A
) )  .*  (
k  .^  X )
) )  =  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( k  .^  X
) ,  ( 0g
`  Q ) ) ) )
5251oveq2d 6297 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( 1r
`  A ) ,  ( 0g `  A
) )  .*  (
k  .^  X )
) ) )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( k  .^  X ) ,  ( 0g `  Q ) ) ) ) )
5312ply1ring 18163 . . . . 5  |-  ( A  e.  Ring  ->  Q  e. 
Ring )
54 ringmnd 17081 . . . . 5  |-  ( Q  e.  Ring  ->  Q  e. 
Mnd )
5524, 53, 543syl 20 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Q  e.  Mnd )
56 nn0ex 10807 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
5756a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  NN0  e.  _V )
58 0nn0 10816 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
5958a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
0  e.  NN0 )
60 eqid 2443 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( k  .^  X
) ,  ( 0g
`  Q ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( k  .^  X
) ,  ( 0g
`  Q ) ) )
6136ralrimiva 2857 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A. k  e.  NN0  ( k  .^  X
)  e.  ( Base `  Q ) )
6245, 55, 57, 59, 60, 61gsummpt1n0 16866 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( k  .^  X ) ,  ( 0g `  Q ) ) ) )  = 
[_ 0  /  k ]_ ( k  .^  X
) )
63 c0ex 9593 . . . . 5  |-  0  e.  _V
64 csbov1g 6319 . . . . 5  |-  ( 0  e.  _V  ->  [_ 0  /  k ]_ (
k  .^  X )  =  ( [_ 0  /  k ]_ k  .^  X ) )
6563, 64mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  [_ 0  /  k ]_ ( k  .^  X
)  =  ( [_
0  /  k ]_ k  .^  X ) )
66 csbvarg 3834 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  _V  ->  [_ 0  /  k ]_ k  =  0 )
6763, 66mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  [_ 0  /  k ]_ k  =  0
)
6867oveq1d 6296 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( [_ 0  /  k ]_ k  .^  X )  =  ( 0  .^  X ) )
6912, 10, 33, 9ply1idvr1 18208 . . . . 5  |-  ( A  e.  Ring  ->  ( 0 
.^  X )  =  ( 1r `  Q
) )
7024, 69syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 0  .^  X
)  =  ( 1r
`  Q ) )
7165, 68, 703eqtrd 2488 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  [_ 0  /  k ]_ ( k  .^  X
)  =  ( 1r
`  Q ) )
7252, 62, 713eqtrd 2488 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( 1r
`  A ) ,  ( 0g `  A
) )  .*  (
k  .^  X )
) ) )  =  ( 1r `  Q
) )
7315, 22, 723eqtrd 2488 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( T `  ( 1r `  C ) )  =  ( 1r `  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095   [_csb 3420   ifcif 3926    |-> cmpt 4495   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   0cc0 9495   NN0cn0 10801   Basecbs 14509  Scalarcsca 14577   .scvsca 14578   0gc0g 14714    gsumg cgsu 14715   Mndcmnd 15793  .gcmg 15930  mulGrpcmgp 17015   1rcur 17027   Ringcrg 17072   LModclmod 17386  var1cv1 18089  Poly1cpl1 18090   Mat cmat 18782   decompPMat cdecpmat 19136   pMatToMatPoly cpm2mp 19166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-hom 14598  df-cco 14599  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-prds 14722  df-pws 14724  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15840  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-mulg 15934  df-subg 16072  df-ghm 16139  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-subrg 17301  df-lmod 17388  df-lss 17453  df-sra 17692  df-rgmod 17693  df-ascl 17837  df-psr 17879  df-mvr 17880  df-mpl 17881  df-opsr 17883  df-psr1 18093  df-vr1 18094  df-ply1 18095  df-coe1 18096  df-dsmm 18636  df-frlm 18651  df-mamu 18759  df-mat 18783  df-decpmat 19137  df-pm2mp 19167
This theorem is referenced by:  pm2mpmhm  19194
  Copyright terms: Public domain W3C validator