Theorem idosd 15091

Description: The identity is a morphism which has the same object as its domain and its codomain.

Hypotheses

Ref	Expression
idosd.1	|- O = dom J
idosd.2	|- D = (dom` T)
idosd.3	|- J = (id` T)
idosd.4	|- C = (cod` T)

Assertion

Ref	Expression
idosd	|- ((T e. Ded /\ A e. O) -> ((D` (J` A)) = A /\ (C` (J` A)) = A))

Proof of Theorem idosd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idosd.2	. . . 4 |- D = (dom` T)
2		idosd.4	. . . 4 |- C = (cod` T)
3		idosd.3	. . . 4 |- J = (id` T)
4		eqid 1884	. . . 4 |- (o` T) = (o` T)
5		eqid 1884	. . . 4 |- dom D = dom D
6		idosd.1	. . . 4 |- O = dom J
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dedi 15084	. . 3 |- (T e. Ded -> ((<.<.D, C>., <.J, (o` T)>.>. e. Alg /\ A.x e. O ((D` (J` x)) = x /\ (C` (J` x)) = x) /\ A.y e. dom DA.z e. dom D(<.z, y>. e. dom (o` T) <-> (D` z) = (C` y))) /\ (A.y e. dom DA.z e. dom D((D` z) = (C` y) -> (D` (z(o` T)y)) = (D` y)) /\ A.y e. dom DA.z e. dom D((D` z) = (C` y) -> (C` (z(o` T)y)) = (C` z)))))
8		fveq2 4681	. . . . . . . . 9 |- (x = A -> (J` x) = (J` A))
9	8	fveq2d 4685	. . . . . . . 8 |- (x = A -> (D` (J` x)) = (D` (J` A)))
10		id 73	. . . . . . . 8 |- (x = A -> x = A)
11	9, 10	eqeq12d 1899	. . . . . . 7 |- (x = A -> ((D` (J` x)) = x <-> (D` (J` A)) = A))
12	8	fveq2d 4685	. . . . . . . 8 |- (x = A -> (C` (J` x)) = (C` (J` A)))
13	12, 10	eqeq12d 1899	. . . . . . 7 |- (x = A -> ((C` (J` x)) = x <-> (C` (J` A)) = A))
14	11, 13	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (x = A -> (((D` (J` x)) = x /\ (C` (J` x)) = x) <-> ((D` (J` A)) = A /\ (C` (J` A)) = A)))
15	14	rcla4cv 2377	. . . . 5 |- (A.x e. O ((D` (J` x)) = x /\ (C` (J` x)) = x) -> (A e. O -> ((D` (J` A)) = A /\ (C` (J` A)) = A)))
16	15	3ad2ant2 898	. . . 4 |- ((<.<.D, C>., <.J, (o` T)>.>. e. Alg /\ A.x e. O ((D` (J` x)) = x /\ (C` (J` x)) = x) /\ A.y e. dom DA.z e. dom D(<.z, y>. e. dom (o` T) <-> (D` z) = (C` y))) -> (A e. O -> ((D` (J` A)) = A /\ (C` (J` A)) = A)))
17	16	adantr 425	. . 3 |- (((<.<.D, C>., <.J, (o` T)>.>. e. Alg /\ A.x e. O ((D` (J` x)) = x /\ (C` (J` x)) = x) /\ A.y e. dom DA.z e. dom D(<.z, y>. e. dom (o` T) <-> (D` z) = (C` y))) /\ (A.y e. dom DA.z e. dom D((D` z) = (C` y) -> (D` (z(o` T)y)) = (D` y)) /\ A.y e. dom DA.z e. dom D((D` z) = (C` y) -> (C` (z(o` T)y)) = (C` z)))) -> (A e. O -> ((D` (J` A)) = A /\ (C` (J` A)) = A)))
18	7, 17	syl 12	. 2 |- (T e. Ded -> (A e. O -> ((D` (J` A)) = A /\ (C` (J` A)) = A)))
19	18	imp 377	1 |- ((T e. Ded /\ A e. O) -> ((D` (J` A)) = A /\ (C` (J` A)) = A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  <.cop 3046  dom cdm 3986  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   Alg calg 15058  domcdom_ 15059  codccod_ 15060  idcid_ 15061  oco_ 15062   Ded cded 15081

This theorem is referenced by:  rdmob 15095  rcmob 15096  dmrngcmp 15098  idosc 15116  dualded 15132  eqidob 15144  homib 15145

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fo 4012  df-fv 4014  df-opr 4886  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-doma 15064  df-coda 15065  df-ida 15066  df-cmpa 15067  df-ded 15082

Copyright terms: Public domain