Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idomodle Structured version   Unicode version

Theorem idomodle 31129
Description: Limit on the number of  N-th roots of unity in an integral domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
idomodle.g  |-  G  =  ( (mulGrp `  R
)s  (Unit `  R )
)
idomodle.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
idomodle.o  |-  O  =  ( od `  G
)
Assertion
Ref Expression
idomodle  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N } )  <_  N
)
Distinct variable groups:    x, B    x, N    x, R
Allowed substitution hints:    G( x)    O( x)

Proof of Theorem idomodle
StepHypRef Expression
1 idomodle.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 fvex 5866 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  e.  _V
31, 2eqeltri 2527 . . . 4  |-  B  e. 
_V
43rabex 4588 . . 3  |-  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  _V
5 hashxrcl 12408 . . 3  |-  ( { x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }
)  e.  RR* )
64, 5mp1i 12 . 2  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N } )  e.  RR* )
7 fvex 5866 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
87rabex 4588 . . 3  |-  { x  e.  ( Base `  R
)  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  e.  _V
9 hashxrcl 12408 . . 3  |-  ( { x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )  e.  RR* )
108, 9mp1i 12 . 2  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  ( Base `  R
)  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )  e.  RR* )
11 nnre 10549 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1211rexrd 9646 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR* )
1312adantl 466 . 2  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR* )
14 isidom 17827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e. IDomn 
<->  ( R  e.  CRing  /\  R  e. Domn ) )
1514simplbi 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e. IDomn  ->  R  e.  CRing )
1615adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  R  e.  CRing )
17 crngring 17083 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  R  e.  Ring )
1918adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
20 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
21 idomodle.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( (mulGrp `  R
)s  (Unit `  R )
)
2220, 21unitgrp 17190 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  G  e. 
Grp )
2319, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
24 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
25 nnz 10892 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
2625ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  N  e.  ZZ )
27 idomodle.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( od `  G
)
28 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
29 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
301, 27, 28, 29oddvds 16445 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  x )  ||  N  <->  ( N (.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) ) )
3123, 24, 26, 30syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  (
( O `  x
)  ||  N  <->  ( N
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) ) )
32 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
3320, 32unitsubm 17193 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  (Unit `  R )  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  R )
) )
3419, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  (Unit `  R )  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  R )
) )
35 nnnn0 10808 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3635ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  N  e.  NN0 )
3720, 21unitgrpbas 17189 . . . . . . . . . 10  |-  (Unit `  R )  =  (
Base `  G )
381, 37eqtr4i 2475 . . . . . . . . 9  |-  B  =  (Unit `  R )
3924, 38syl6eleq 2541 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  (Unit `  R )
)
40 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  (.g `  (mulGrp `  R ) )  =  (.g `  (mulGrp `  R
) )
4140, 21, 28submmulg 16051 . . . . . . . 8  |-  ( ( (Unit `  R )  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  R
) )  /\  N  e.  NN0  /\  x  e.  (Unit `  R )
)  ->  ( N
(.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( N (.g `  G ) x ) )
4234, 36, 39, 41syl3anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( N (.g `  G ) x ) )
43 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
4420, 21, 43unitgrpid 17192 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  G
) )
4519, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  G
) )
4642, 45eqeq12d 2465 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  (
( N (.g `  (mulGrp `  R ) ) x )  =  ( 1r
`  R )  <->  ( N
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) ) )
4731, 46bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  (
( O `  x
)  ||  N  <->  ( N
(.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) ) )
4847rabbidva 3086 . . . 4  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  =  {
x  e.  B  | 
( N (.g `  (mulGrp `  R ) ) x )  =  ( 1r
`  R ) } )
4948fveq2d 5860 . . 3  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N } )  =  (
# `  { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } ) )
50 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
5150, 38unitss 17183 . . . . . 6  |-  B  C_  ( Base `  R )
52 rabss2 3568 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ( Base `  R
)  ->  { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  C_  { x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )
5351, 52mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  C_  { x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )
54 ssdomg 7563 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  e.  _V  ->  ( { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  C_  { x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  ->  { x  e.  B  | 
( N (.g `  (mulGrp `  R ) ) x )  =  ( 1r
`  R ) }  ~<_  { x  e.  (
Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R )
) x )  =  ( 1r `  R
) } ) )
558, 53, 54mpsyl 63 . . . 4  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  ~<_  { x  e.  ( Base `  R
)  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )
56 hashdomi 12427 . . . 4  |-  ( { x  e.  B  | 
( N (.g `  (mulGrp `  R ) ) x )  =  ( 1r
`  R ) }  ~<_  { x  e.  (
Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R )
) x )  =  ( 1r `  R
) }  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )  <_  ( # `  {
x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } ) )
5755, 56syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )  <_  ( # `  {
x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } ) )
5849, 57eqbrtrd 4457 . 2  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N } )  <_  ( # `
 { x  e.  ( Base `  R
)  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } ) )
59 simpl 457 . . 3  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  R  e. IDomn )
6050, 43ringidcl 17093 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
6118, 60syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )
62 simpr 461 . . 3  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
6350, 40idomrootle 31128 . . 3  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `  { x  e.  (
Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R )
) x )  =  ( 1r `  R
) } )  <_  N )
6459, 61, 62, 63syl3anc 1229 . 2  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  ( Base `  R
)  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )  <_  N )
656, 10, 13, 58, 64xrletrd 11374 1  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N } )  <_  N
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   {crab 2797   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ~<_ cdom 7516   RR*cxr 9630    <_ cle 9632   NNcn 10542   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   #chash 12384    || cdvds 13863   Basecbs 14509   ↾s cress 14510   0gc0g 14714  SubMndcsubmnd 15839   Grpcgrp 15927  .gcmg 15930   odcod 16423  mulGrpcmgp 17015   1rcur 17027   Ringcrg 17072   CRingccrg 17073  Unitcui 17162  Domncdomn 17802  IDomncidom 17803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-rp 11230  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-dvds 13864  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-hom 14598  df-cco 14599  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-prds 14722  df-pws 14724  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15840  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-mulg 15934  df-subg 16072  df-ghm 16139  df-cntz 16229  df-od 16427  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-srg 17032  df-ring 17074  df-cring 17075  df-oppr 17146  df-dvdsr 17164  df-unit 17165  df-invr 17195  df-rnghom 17238  df-subrg 17301  df-lmod 17388  df-lss 17453  df-lsp 17492  df-nzr 17780  df-rlreg 17805  df-domn 17806  df-idom 17807  df-assa 17835  df-asp 17836  df-ascl 17837  df-psr 17879  df-mvr 17880  df-mpl 17881  df-opsr 17883  df-evls 18045  df-evl 18046  df-psr1 18093  df-vr1 18094  df-ply1 18095  df-coe1 18096  df-evl1 18227  df-cnfld 18295  df-mdeg 22326  df-deg1 22327  df-mon1 22404  df-uc1p 22405  df-q1p 22406  df-r1p 22407
This theorem is referenced by:  idomsubgmo  31131
  Copyright terms: Public domain W3C validator