Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idomodle Structured version   Unicode version

Theorem idomodle 31050
Description: Limit on the number of  N-th roots of unity in an integral domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
idomodle.g  |-  G  =  ( (mulGrp `  R
)s  (Unit `  R )
)
idomodle.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
idomodle.o  |-  O  =  ( od `  G
)
Assertion
Ref Expression
idomodle  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N } )  <_  N
)
Distinct variable groups:    x, B    x, N    x, R
Allowed substitution hints:    G( x)    O( x)

Proof of Theorem idomodle
StepHypRef Expression
1 idomodle.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 fvex 5881 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  e.  _V
31, 2eqeltri 2551 . . . 4  |-  B  e. 
_V
43rabex 4603 . . 3  |-  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  _V
5 hashxrcl 12407 . . 3  |-  ( { x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }
)  e.  RR* )
64, 5mp1i 12 . 2  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N } )  e.  RR* )
7 fvex 5881 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
87rabex 4603 . . 3  |-  { x  e.  ( Base `  R
)  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  e.  _V
9 hashxrcl 12407 . . 3  |-  ( { x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )  e.  RR* )
108, 9mp1i 12 . 2  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  ( Base `  R
)  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )  e.  RR* )
11 nnre 10553 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1211rexrd 9653 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR* )
1312adantl 466 . 2  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR* )
14 isidom 17800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e. IDomn 
<->  ( R  e.  CRing  /\  R  e. Domn ) )
1514simplbi 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e. IDomn  ->  R  e.  CRing )
1615adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  R  e.  CRing )
17 crngring 17058 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  R  e.  Ring )
1918adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
20 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
21 idomodle.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( (mulGrp `  R
)s  (Unit `  R )
)
2220, 21unitgrp 17165 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  G  e. 
Grp )
2319, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
24 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
25 nnz 10896 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
2625ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  N  e.  ZZ )
27 idomodle.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( od `  G
)
28 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
29 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
301, 27, 28, 29oddvds 16421 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  x )  ||  N  <->  ( N (.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) ) )
3123, 24, 26, 30syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  (
( O `  x
)  ||  N  <->  ( N
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) ) )
32 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
3320, 32unitsubm 17168 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  (Unit `  R )  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  R )
) )
3419, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  (Unit `  R )  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  R )
) )
35 nnnn0 10812 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3635ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  N  e.  NN0 )
3720, 21unitgrpbas 17164 . . . . . . . . . 10  |-  (Unit `  R )  =  (
Base `  G )
381, 37eqtr4i 2499 . . . . . . . . 9  |-  B  =  (Unit `  R )
3924, 38syl6eleq 2565 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  (Unit `  R )
)
40 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  (.g `  (mulGrp `  R ) )  =  (.g `  (mulGrp `  R
) )
4140, 21, 28submmulg 16026 . . . . . . . 8  |-  ( ( (Unit `  R )  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  R
) )  /\  N  e.  NN0  /\  x  e.  (Unit `  R )
)  ->  ( N
(.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( N (.g `  G ) x ) )
4234, 36, 39, 41syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( N (.g `  G ) x ) )
43 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
4420, 21, 43unitgrpid 17167 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  G
) )
4519, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  G
) )
4642, 45eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  (
( N (.g `  (mulGrp `  R ) ) x )  =  ( 1r
`  R )  <->  ( N
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) ) )
4731, 46bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  B )  ->  (
( O `  x
)  ||  N  <->  ( N
(.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) ) )
4847rabbidva 3109 . . . 4  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  =  {
x  e.  B  | 
( N (.g `  (mulGrp `  R ) ) x )  =  ( 1r
`  R ) } )
4948fveq2d 5875 . . 3  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N } )  =  (
# `  { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } ) )
50 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
5150, 38unitss 17158 . . . . . 6  |-  B  C_  ( Base `  R )
52 rabss2 3588 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ( Base `  R
)  ->  { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  C_  { x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )
5351, 52mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  C_  { x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )
54 ssdomg 7571 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  e.  _V  ->  ( { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  C_  { x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  ->  { x  e.  B  | 
( N (.g `  (mulGrp `  R ) ) x )  =  ( 1r
`  R ) }  ~<_  { x  e.  (
Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R )
) x )  =  ( 1r `  R
) } ) )
558, 53, 54mpsyl 63 . . . 4  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) }  ~<_  { x  e.  ( Base `  R
)  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )
56 hashdomi 12426 . . . 4  |-  ( { x  e.  B  | 
( N (.g `  (mulGrp `  R ) ) x )  =  ( 1r
`  R ) }  ~<_  { x  e.  (
Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R )
) x )  =  ( 1r `  R
) }  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )  <_  ( # `  {
x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } ) )
5755, 56syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )  <_  ( # `  {
x  e.  ( Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } ) )
5849, 57eqbrtrd 4472 . 2  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N } )  <_  ( # `
 { x  e.  ( Base `  R
)  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } ) )
59 simpl 457 . . 3  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  R  e. IDomn )
6050, 43ringidcl 17068 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
6118, 60syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )
62 simpr 461 . . 3  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
6350, 40idomrootle 31049 . . 3  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `  { x  e.  (
Base `  R )  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R )
) x )  =  ( 1r `  R
) } )  <_  N )
6459, 61, 62, 63syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  ( Base `  R
)  |  ( N (.g `  (mulGrp `  R
) ) x )  =  ( 1r `  R ) } )  <_  N )
656, 10, 13, 58, 64xrletrd 11375 1  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  N  e.  NN )  ->  ( # `
 { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N } )  <_  N
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   class class class wbr 4452   ` cfv 5593  (class class class)co 6294    ~<_ cdom 7524   RR*cxr 9637    <_ cle 9639   NNcn 10546   NN0cn0 10805   ZZcz 10874   #chash 12383    || cdivides 13859   Basecbs 14502   ↾s cress 14503   0gc0g 14707  SubMndcsubmnd 15818   Grpcgrp 15902  .gcmg 15905   odcod 16399  mulGrpcmgp 16990   1rcur 17002   Ringcrg 17047   CRingccrg 17048  Unitcui 17137  Domncdomn 17775  IDomncidom 17776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580  ax-addf 9581  ax-mulf 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-ofr 6535  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-tpos 6965  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-rp 11231  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-fl 11907  df-mod 11975  df-seq 12086  df-exp 12145  df-hash 12384  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-dvds 13860  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-starv 14582  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-unif 14590  df-hom 14591  df-cco 14592  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-prds 14715  df-pws 14717  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-mhm 15819  df-submnd 15820  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-sbg 15908  df-mulg 15909  df-subg 16047  df-ghm 16114  df-cntz 16204  df-od 16403  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-srg 17007  df-ring 17049  df-cring 17050  df-oppr 17121  df-dvdsr 17139  df-unit 17140  df-invr 17170  df-rnghom 17213  df-subrg 17275  df-lmod 17362  df-lss 17427  df-lsp 17466  df-nzr 17753  df-rlreg 17778  df-domn 17779  df-idom 17780  df-assa 17808  df-asp 17809  df-ascl 17810  df-psr 17852  df-mvr 17853  df-mpl 17854  df-opsr 17856  df-evls 18018  df-evl 18019  df-psr1 18066  df-vr1 18067  df-ply1 18068  df-coe1 18069  df-evl1 18200  df-cnfld 18268  df-mdeg 22298  df-deg1 22299  df-mon1 22376  df-uc1p 22377  df-q1p 22378  df-r1p 22379
This theorem is referenced by:  idomsubgmo  31052
  Copyright terms: Public domain W3C validator