Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idnghm Structured version   Unicode version

Theorem idnghm 21118
 Description: The identity operator is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
idnghm.2
Assertion
Ref Expression
idnghm NrmGrp NGHom

Proof of Theorem idnghm
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5
2 idnghm.2 . . . . 5
3 eqid 2467 . . . . 5
41, 2, 3nmoid 21117 . . . 4 NrmGrp
5 1re 9607 . . . 4
64, 5syl6eqel 2563 . . 3 NrmGrp
7 eleq2 2540 . . . . . . . . . 10
87biimpar 485 . . . . . . . . 9
9 elsni 4058 . . . . . . . . 9
108, 9syl 16 . . . . . . . 8
1110mpteq2dva 4539 . . . . . . 7
12 mptresid 5334 . . . . . . . 8
1312eqcomi 2480 . . . . . . 7
14 fconstmpt 5049 . . . . . . 7
1511, 13, 143eqtr4g 2533 . . . . . 6
1615fveq2d 5876 . . . . 5
171, 2, 3nmo0 21110 . . . . . 6 NrmGrp NrmGrp
1817anidms 645 . . . . 5 NrmGrp
1916, 18sylan9eqr 2530 . . . 4 NrmGrp
20 0re 9608 . . . 4
2119, 20syl6eqel 2563 . . 3 NrmGrp
22 ngpgrp 20987 . . . . . 6 NrmGrp
232, 3grpidcl 15950 . . . . . 6
2422, 23syl 16 . . . . 5 NrmGrp
2524snssd 4178 . . . 4 NrmGrp
26 sspss 3608 . . . 4
2725, 26sylib 196 . . 3 NrmGrp
286, 21, 27mpjaodan 784 . 2 NrmGrp
29 id 22 . . 3 NrmGrp NrmGrp
302idghm 16154 . . . 4
3122, 30syl 16 . . 3 NrmGrp
321isnghm2 21099 . . 3 NrmGrp NrmGrp NGHom
3329, 31, 32mpd3an23 1326 . 2 NrmGrp NGHom
3428, 33mpbird 232 1 NrmGrp NGHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wss 3481   wpss 3482  csn 4033   cmpt 4511   cid 4796   cxp 5003   cres 5007  cfv 5594  (class class class)co 6295  cr 9503  cc0 9504  c1 9505  cbs 14507  c0g 14712  cgrp 15925   cghm 16136  NrmGrpcngp 20966  cnmo 21080   NGHom cnghm 21081 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ico 11547  df-0g 14714  df-topgen 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-grp 15929  df-ghm 16137  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-xms 20691  df-ms 20692  df-nm 20971  df-ngp 20972  df-nmo 21083  df-nghm 21084 This theorem is referenced by:  idnmhm  21129
 Copyright terms: Public domain W3C validator