MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idnghm Structured version   Unicode version

Theorem idnghm 20321
Description: The identity operator is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
idnghm.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
idnghm  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  (  _I  |`  V )  e.  ( S NGHom  S
) )

Proof of Theorem idnghm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( S
normOp S )  =  ( S normOp S )
2 idnghm.2 . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  S
)
3 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
41, 2, 3nmoid 20320 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  { ( 0g `  S ) }  C.  V )  ->  ( ( S normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  =  1 )
5 1re 9384 . . . 4  |-  1  e.  RR
64, 5syl6eqel 2530 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  { ( 0g `  S ) }  C.  V )  ->  ( ( S normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  e.  RR )
7 eleq2 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( { ( 0g `  S
) }  =  V  ->  ( x  e. 
{ ( 0g `  S ) }  <->  x  e.  V ) )
87biimpar 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { ( 0g `  S ) }  =  V  /\  x  e.  V
)  ->  x  e.  { ( 0g `  S
) } )
9 elsni 3901 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { ( 0g
`  S ) }  ->  x  =  ( 0g `  S ) )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( { ( 0g `  S ) }  =  V  /\  x  e.  V
)  ->  x  =  ( 0g `  S ) )
1110mpteq2dva 4377 . . . . . . 7  |-  ( { ( 0g `  S
) }  =  V  ->  ( x  e.  V  |->  x )  =  ( x  e.  V  |->  ( 0g `  S
) ) )
12 mptresid 5159 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  V  |->  x )  =  (  _I  |`  V )
1312eqcomi 2446 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  V )  =  ( x  e.  V  |->  x )
14 fconstmpt 4881 . . . . . . 7  |-  ( V  X.  { ( 0g
`  S ) } )  =  ( x  e.  V  |->  ( 0g
`  S ) )
1511, 13, 143eqtr4g 2499 . . . . . 6  |-  ( { ( 0g `  S
) }  =  V  ->  (  _I  |`  V )  =  ( V  X.  { ( 0g `  S ) } ) )
1615fveq2d 5694 . . . . 5  |-  ( { ( 0g `  S
) }  =  V  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  =  ( ( S
normOp S ) `  ( V  X.  { ( 0g
`  S ) } ) ) )
171, 2, 3nmo0 20313 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  S  e. NrmGrp
)  ->  ( ( S normOp S ) `  ( V  X.  { ( 0g `  S ) } ) )  =  0 )
1817anidms 645 . . . . 5  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( ( S
normOp S ) `  ( V  X.  { ( 0g
`  S ) } ) )  =  0 )
1916, 18sylan9eqr 2496 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  { ( 0g `  S ) }  =  V )  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  =  0 )
20 0re 9385 . . . 4  |-  0  e.  RR
2119, 20syl6eqel 2530 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  { ( 0g `  S ) }  =  V )  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  e.  RR )
22 ngpgrp 20190 . . . . . 6  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  Grp )
232, 3grpidcl 15565 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Grp  ->  ( 0g `  S )  e.  V )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( 0g `  S )  e.  V
)
2524snssd 4017 . . . 4  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  { ( 0g
`  S ) } 
C_  V )
26 sspss 3454 . . . 4  |-  ( { ( 0g `  S
) }  C_  V  <->  ( { ( 0g `  S ) }  C.  V  \/  { ( 0g `  S ) }  =  V ) )
2725, 26sylib 196 . . 3  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( { ( 0g `  S ) }  C.  V  \/  { ( 0g `  S
) }  =  V ) )
286, 21, 27mpjaodan 784 . 2  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  e.  RR )
29 id 22 . . 3  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e. NrmGrp )
302idghm 15761 . . . 4  |-  ( S  e.  Grp  ->  (  _I  |`  V )  e.  ( S  GrpHom  S ) )
3122, 30syl 16 . . 3  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  (  _I  |`  V )  e.  ( S  GrpHom  S ) )
321isnghm2 20302 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  S  e. NrmGrp  /\  (  _I  |`  V )  e.  ( S  GrpHom  S ) )  ->  (
(  _I  |`  V )  e.  ( S NGHom  S
)  <->  ( ( S
normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  e.  RR ) )
3329, 31, 32mpd3an23 1316 . 2  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( (  _I  |`  V )  e.  ( S NGHom  S )  <->  ( ( S normOp S ) `  (  _I  |`  V ) )  e.  RR ) )
3428, 33mpbird 232 1  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  (  _I  |`  V )  e.  ( S NGHom  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3327    C. wpss 3328   {csn 3876    e. cmpt 4349    _I cid 4630    X. cxp 4837    |` cres 4841   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   RRcr 9280   0cc0 9281   1c1 9282   Basecbs 14173   0gc0g 14377   Grpcgrp 15409    GrpHom cghm 15743  NrmGrpcngp 20169   normOpcnmo 20283   NGHom cnghm 20284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xneg 11088  df-xadd 11089  df-xmul 11090  df-ico 11305  df-0g 14379  df-topgen 14381  df-mnd 15414  df-mhm 15463  df-grp 15544  df-ghm 15744  df-psmet 17808  df-xmet 17809  df-met 17810  df-bl 17811  df-mopn 17812  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-topsp 18506  df-xms 19894  df-ms 19895  df-nm 20174  df-ngp 20175  df-nmo 20286  df-nghm 20287
This theorem is referenced by:  idnmhm  20332
  Copyright terms: Public domain W3C validator