Theorem idmon 15166

Description: If there exists G such as (GRF) = (J` B) then F is a monomorphism. JFM CAT₁ th. 63.

Hypotheses

Ref	Expression
idmon.1	|- O = dom (id` T)
idmon.2	|- H = ( hom ` T)
idmon.3	|- R = (o` T)
idmon.4	|- J = (id` T)

Assertion

Ref	Expression
idmon	|- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) -> ((GRF) = (J` B) -> F e. ( Monic ` T)))

Proof of Theorem idmon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 879	. . . . . . . . . . . 12 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) -> T e. Cat )
2	1	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . 11 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> T e. Cat )
3		simplrl 454	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> c e. O)
4		simpl2r 930	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) -> B e. O)
5	4	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> B e. O)
6	3, 5	jca 310	. . . . . . . . . . 11 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> (c e. O /\ B e. O))
7		simpl2l 929	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) -> A e. O)
8	7	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> A e. O)
9	8, 5	jca 310	. . . . . . . . . . 11 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> (A e. O /\ B e. O))
10	2, 6, 9	3jca 1050	. . . . . . . . . 10 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> (T e. Cat /\ (c e. O /\ B e. O) /\ (A e. O /\ B e. O)))
11		simplrr 455	. . . . . . . . . . 11 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> f e. (H` <.c, B>.))
12		simpl3r 932	. . . . . . . . . . . 12 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) -> F e. (H` <.B, A>.))
13	12	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . 11 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> F e. (H` <.B, A>.))
14		simpl3l 931	. . . . . . . . . . . 12 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) -> G e. (H` <.A, B>.))
15	14	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . 11 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> G e. (H` <.A, B>.))
16	11, 13, 15	3jca 1050	. . . . . . . . . 10 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> (f e. (H` <.c, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.) /\ G e. (H` <.A, B>.)))
17		idmon.1	. . . . . . . . . . 11 |- O = dom (id` T)
18		idmon.2	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( hom ` T)
19		idmon.3	. . . . . . . . . . 11 |- R = (o` T)
20	17, 18, 19	cmpassoh 15150	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. Cat /\ (c e. O /\ B e. O) /\ (A e. O /\ B e. O)) -> ((f e. (H` <.c, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.) /\ G e. (H` <.A, B>.)) -> (GR(FRf)) = ((GRF)Rf)))
21	10, 16, 20	sylc 83	. . . . . . . . 9 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> (GR(FRf)) = ((GRF)Rf))
22		simpr 350	. . . . . . . . . . 11 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> g e. (H` <.c, B>.))
23	22, 13, 15	3jca 1050	. . . . . . . . . 10 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> (g e. (H` <.c, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.) /\ G e. (H` <.A, B>.)))
24	17, 18, 19	cmpassoh 15150	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. Cat /\ (c e. O /\ B e. O) /\ (A e. O /\ B e. O)) -> ((g e. (H` <.c, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.) /\ G e. (H` <.A, B>.)) -> (GR(FRg)) = ((GRF)Rg)))
25	10, 23, 24	sylc 83	. . . . . . . . 9 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> (GR(FRg)) = ((GRF)Rg))
26	21, 25	eqeq12d 1899	. . . . . . . 8 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> ((GR(FRf)) = (GR(FRg)) <-> ((GRF)Rf) = ((GRF)Rg)))
27		simpllr 453	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> (GRF) = (J` B))
28	27	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . 11 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> ((GRF)Rf) = ((J` B)Rf))
29	27	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . 11 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> ((GRF)Rg) = ((J` B)Rg))
30	28, 29	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . 10 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> (((GRF)Rf) = ((GRF)Rg) <-> ((J` B)Rf) = ((J` B)Rg)))
31	30	biimpd 170	. . . . . . . . 9 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> (((GRF)Rf) = ((GRF)Rg) -> ((J` B)Rf) = ((J` B)Rg)))
32		simpll1 915	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ c e. O) -> T e. Cat )
33		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ c e. O) -> c e. O)
34	4	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ c e. O) -> B e. O)
35		idmon.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- J = (id` T)
36	17, 18, 35, 19	cmphmia 15147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((T e. Cat /\ c e. O /\ B e. O) -> (f e. (H` <.c, B>.) -> ((J` B)Rf) = f))
37	32, 33, 34, 36	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ c e. O) -> (f e. (H` <.c, B>.) -> ((J` B)Rf) = f))
38	37	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) -> (c e. O -> (f e. (H` <.c, B>.) -> ((J` B)Rf) = f)))
39	38	imp32 390	. . . . . . . . . . 11 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) -> ((J` B)Rf) = f)
40	39	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> ((J` B)Rf) = f)
41	35	eqcomi 1888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (id` T) = J
42	41	dmeqi 4158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- dom (id` T) = dom J
43	17, 42	eqtri 1908	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- O = dom J
44	43	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (B e. O <-> B e. dom J)
45	44	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (B e. O -> B e. dom J)
46	45	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. O /\ B e. O) -> B e. dom J)
47	46	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) -> B e. dom J)
48	47	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) -> B e. dom J)
49	48	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> B e. dom J)
50		simpll1 915	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) -> T e. Cat )
51		simprl 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) -> c e. O)
52	4	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) -> B e. O)
53		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom (dom` T) = dom (dom` T)
54	17, 53, 18	ehm 15140	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((T e. Cat /\ c e. O /\ B e. O) -> (g e. (H` <.c, B>.) -> g e. dom (dom` T)))
55	50, 51, 52, 54	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) -> (g e. (H` <.c, B>.) -> g e. dom (dom` T)))
56	55	imp 377	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> g e. dom (dom` T))
57	2, 49, 56	3jca 1050	. . . . . . . . . . 11 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> (T e. Cat /\ B e. dom J /\ g e. dom (dom` T)))
58		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (cod` T) = (cod` T)
59	17, 58, 18	cehm 15142	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T e. Cat /\ c e. O /\ B e. O) -> (g e. (H` <.c, B>.) -> ((cod` T)` g) = B))
60	50, 51, 52, 59	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) -> (g e. (H` <.c, B>.) -> ((cod` T)` g) = B))
61	60	imp 377	. . . . . . . . . . 11 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> ((cod` T)` g) = B)
62		eqid 1884	. . . . . . . . . . . 12 |- (dom` T) = (dom` T)
63		eqid 1884	. . . . . . . . . . . 12 |- dom J = dom J
64	53, 62, 63, 35, 19, 58	cmpida 15121	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. Cat /\ B e. dom J /\ g e. dom (dom` T)) -> (((cod` T)` g) = B -> ((J` B)Rg) = g))
65	57, 61, 64	sylc 83	. . . . . . . . . 10 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> ((J` B)Rg) = g)
66	40, 65	eqeq12d 1899	. . . . . . . . 9 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> (((J` B)Rf) = ((J` B)Rg) <-> f = g))
67	31, 66	sylibd 219	. . . . . . . 8 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> (((GRF)Rf) = ((GRF)Rg) -> f = g))
68	26, 67	sylbid 220	. . . . . . 7 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> ((GR(FRf)) = (GR(FRg)) -> f = g))
69		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- ((FRf) = (FRg) -> (GR(FRf)) = (GR(FRg)))
70	68, 69	syl5 20	. . . . . 6 |- (((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) /\ g e. (H` <.c, B>.)) -> ((FRf) = (FRg) -> f = g))
71	70	r19.21aiva 2176	. . . . 5 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) /\ (c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.))) -> A.g e. (H` <.c, B>.)((FRf) = (FRg) -> f = g))
72	71	ex 402	. . . 4 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) -> ((c e. O /\ f e. (H` <.c, B>.)) -> A.g e. (H` <.c, B>.)((FRf) = (FRg) -> f = g)))
73	72	r19.21aivv 2183	. . 3 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) -> A.c e. O A.f e. (H` <.c, B>.)A.g e. (H` <.c, B>.)((FRf) = (FRg) -> f = g))
74	17, 18, 19	ismonc 15163	. . . 4 |- ((T e. Cat /\ (B e. O /\ A e. O) /\ F e. (H` <.B, A>.)) -> (F e. ( Monic ` T) <-> A.c e. O A.f e. (H` <.c, B>.)A.g e. (H` <.c, B>.)((FRf) = (FRg) -> f = g)))
75	1, 4, 7, 12, 74	syl121anc 1105	. . 3 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) -> (F e. ( Monic ` T) <-> A.c e. O A.f e. (H` <.c, B>.)A.g e. (H` <.c, B>.)((FRf) = (FRg) -> f = g)))
76	73, 75	mpbird 213	. 2 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) /\ (GRF) = (J` B)) -> F e. ( Monic ` T))
77	76	ex 402	1 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ (G e. (H` <.A, B>.) /\ F e. (H` <.B, A>.))) -> ((GRF) = (J` B) -> F e. ( Monic ` T)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  <.cop 3046  dom cdm 3986  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  domcdom_ 15059  codccod_ 15060  idcid_ 15061  oco_ 15062   Cat ccat 15099   hom chom 15134   Monic cmon 15153

This theorem is referenced by:  immon 15167

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-alg 15063  df-doma 15064  df-coda 15065  df-ida 15066  df-cmpa 15067  df-ded 15082  df-cat 15100  df-hom 15135  df-mon 15155

Copyright terms: Public domain