Theorem idlaut 34046

Description: The identity function is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlaut.b	|- B = ( Base ` K )
idlaut.i	|- I = ( LAut ` K )

Assertion

Ref	Expression
idlaut	|- ( K e. A -> ( _I |` B ) e. I )

Proof of Theorem idlaut

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5774	. . 3 |- ( _I |` B ) : B -1-1-onto-> B
2	1	a1i 11	. 2 |- ( K e. A -> ( _I |` B ) : B -1-1-onto-> B )
3		fvresi 6003	. . . . . 6 |- ( x e. B -> ( ( _I |` B ) ` x ) = x )
4		fvresi 6003	. . . . . 6 |- ( y e. B -> ( ( _I |` B ) ` y ) = y )
5	3, 4	breqan12d 4405	. . . . 5 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( ( _I |` B ) ` x ) ( le ` K ) ( ( _I |` B ) ` y ) <-> x ( le ` K ) y ) )
6	5	bicomd 201	. . . 4 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( le ` K ) y <-> ( ( _I |` B ) ` x ) ( le ` K ) ( ( _I |` B ) ` y ) ) )
7	6	rgen2a 2890	. . 3 |- A. x e. B A. y e. B ( x ( le ` K ) y <-> ( ( _I |` B ) ` x ) ( le ` K ) ( ( _I |` B ) ` y ) )
8	7	a1i 11	. 2 |- ( K e. A -> A. x e. B A. y e. B ( x ( le ` K ) y <-> ( ( _I |` B ) ` x ) ( le ` K ) ( ( _I |` B ) ` y ) ) )
9		idlaut.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
10		eqid 2451	. . 3 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
11		idlaut.i	. . 3 |- I = ( LAut ` K )
12	9, 10, 11	islaut 34033	. 2 |- ( K e. A -> ( ( _I |` B ) e. I <-> ( ( _I |` B ) : B -1-1-onto-> B /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( le ` K ) y <-> ( ( _I |` B ) ` x ) ( le ` K ) ( ( _I |` B ) ` y ) ) ) ) )
13	2, 8, 12	mpbir2and 913	1 |- ( K e. A -> ( _I |` B ) e. I )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   class class class wbr 4390   _I cid 4729   |` cres 4940   -1-1-onto->wf1o 5515   ` cfv 5516   Basecbs 14276   lecple 14347   LAutclaut 33935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-map 7316  df-laut 33939

This theorem is referenced by:  idldil  34064