Theorem idhme 14879

Description: The identity function is a homeomorphism.

Hypothesis

Ref	Expression
idhme.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
idhme	|- (J e. Top -> ( _I |` X) e. (J Homeo J))

Proof of Theorem idhme

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 3795	. . . 4 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
2		idhme.1	. . . 4 |- X = U.J
3	1, 2	syl5eqel 1975	. . 3 |- (J e. Top -> X e. _V)
4		resiexg 4253	. . 3 |- (X e. _V -> ( _I |` X) e. _V)
5	3, 4	syl 12	. 2 |- (J e. Top -> ( _I |` X) e. _V)
6		f1oi 4671	. . . . . 6 |- ( _I |` X):X-1-1-onto->X
7	6	a1i 8	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ ( _I |` X) e. _V) -> ( _I |` X):X-1-1-onto->X)
8		elssuni 3206	. . . . . . . . 9 |- (x e. J -> x C_ U.J)
9		id 73	. . . . . . . . . 10 |- (x C_ U.J -> x C_ U.J)
10	9, 2	syl6ssr 2664	. . . . . . . . 9 |- (x C_ U.J -> x C_ X)
11		resiima 4282	. . . . . . . . 9 |- (x C_ X -> (( _I |` X)"x) = x)
12	8, 10, 11	3syl 24	. . . . . . . 8 |- (x e. J -> (( _I |` X)"x) = x)
13		id 73	. . . . . . . 8 |- (x e. J -> x e. J)
14	12, 13	eqeltrd 1971	. . . . . . 7 |- (x e. J -> (( _I |` X)"x) e. J)
15	14	rgen 2159	. . . . . 6 |- A.x e. J (( _I |` X)"x) e. J
16	15	a1i 8	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ ( _I |` X) e. _V) -> A.x e. J (( _I |` X)"x) e. J)
17		cnvresid 4488	. . . . . . . . . . . . 13 |- `'( _I |` X) = ( _I |` X)
18	17	a1i 8	. . . . . . . . . . . 12 |- (x C_ X -> `'( _I |` X) = ( _I |` X))
19	18	imaeq1d 4263	. . . . . . . . . . 11 |- (x C_ X -> (`'( _I |` X)"x) = (( _I |` X)"x))
20	19, 11	eqtrd 1925	. . . . . . . . . 10 |- (x C_ X -> (`'( _I |` X)"x) = x)
21	10, 20	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (x C_ U.J -> (`'( _I |` X)"x) = x)
22	8, 21	syl 12	. . . . . . . 8 |- (x e. J -> (`'( _I |` X)"x) = x)
23	22, 13	eqeltrd 1971	. . . . . . 7 |- (x e. J -> (`'( _I |` X)"x) e. J)
24	23	rgen 2159	. . . . . 6 |- A.x e. J (`'( _I |` X)"x) e. J
25	24	a1i 8	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ ( _I |` X) e. _V) -> A.x e. J (`'( _I |` X)"x) e. J)
26	7, 16, 25	3jca 1050	. . . 4 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ ( _I |` X) e. _V) -> (( _I |` X):X-1-1-onto->X /\ A.x e. J (( _I |` X)"x) e. J /\ A.x e. J (`'( _I |` X)"x) e. J))
27	2, 2	ishomeo 10235	. . . 4 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ ( _I |` X) e. _V) -> (( _I |` X) e. (J Homeo J) <-> (( _I |` X):X-1-1-onto->X /\ A.x e. J (( _I |` X)"x) e. J /\ A.x e. J (`'( _I |` X)"x) e. J)))
28	26, 27	mpbird 213	. . 3 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ ( _I |` X) e. _V) -> ( _I |` X) e. (J Homeo J))
29	28	3anidm12 1154	. 2 |- ((J e. Top /\ ( _I |` X) e. _V) -> ( _I |` X) e. (J Homeo J))
30	5, 29	mpdan 768	1 |- (J e. Top -> ( _I |` X) e. (J Homeo J))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  U.cuni 3177   _I cid 3582  `'ccnv 3985   |` cres 3988  "cima 3989  -1-1-onto->wf1o 3997  (class class class)co 4884  Topctop 8857   Homeo chomeosm 10230

This theorem is referenced by:  hmeogrp 14892

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-homeo 10232

Copyright terms: Public domain