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Theorem idfucl 15297
Description: The identity functor is a functor. Example 3.20(1) of [Adamek] p. 30. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
idfucl.i  |-  I  =  (idfunc `  C )
Assertion
Ref Expression
idfucl  |-  ( C  e.  Cat  ->  I  e.  ( C  Func  C
) )

Proof of Theorem idfucl
Dummy variables  f 
g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idfucl.i . . . 4  |-  I  =  (idfunc `  C )
2 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
3 id 22 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  C  e.  Cat )
4 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
51, 2, 3, 4idfuval 15292 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  I  =  <. (  _I  |`  ( Base `  C ) ) ,  ( z  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) )  |->  (  _I  |`  ( ( Hom  `  C ) `  z ) ) )
>. )
65fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( 2nd `  I )  =  ( 2nd `  <. (  _I  |`  ( Base `  C ) ) ,  ( z  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) )  |->  (  _I  |`  ( ( Hom  `  C ) `  z ) ) )
>. ) )
7 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( Base `  C )  e.  _V
8 resiexg 6735 . . . . . . 7  |-  ( (
Base `  C )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( Base `  C
) )  e.  _V )
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  ( Base `  C
) )  e.  _V
107, 7xpex 6603 . . . . . . 7  |-  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )  e.  _V
1110mptex 6144 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C ) ) 
|->  (  _I  |`  (
( Hom  `  C ) `
 z ) ) )  e.  _V
129, 11op2nd 6808 . . . . 5  |-  ( 2nd `  <. (  _I  |`  ( Base `  C ) ) ,  ( z  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) )  |->  (  _I  |`  ( ( Hom  `  C ) `  z ) ) )
>. )  =  (
z  e.  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )  |->  (  _I  |`  ( ( Hom  `  C
) `  z )
) )
136, 12syl6eq 2514 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( 2nd `  I )  =  ( z  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) )  |->  (  _I  |`  ( ( Hom  `  C ) `  z ) ) ) )
1413opeq2d 4226 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  <. (  _I  |`  ( Base `  C
) ) ,  ( 2nd `  I )
>.  =  <. (  _I  |`  ( Base `  C
) ) ,  ( z  e.  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )  |->  (  _I  |`  ( ( Hom  `  C
) `  z )
) ) >. )
155, 14eqtr4d 2501 . 2  |-  ( C  e.  Cat  ->  I  =  <. (  _I  |`  ( Base `  C ) ) ,  ( 2nd `  I
) >. )
16 f1oi 5857 . . . . 5  |-  (  _I  |`  ( Base `  C
) ) : (
Base `  C ) -1-1-onto-> ( Base `  C )
17 f1of 5822 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) : ( Base `  C
)
-1-1-onto-> ( Base `  C )  ->  (  _I  |`  ( Base `  C ) ) : ( Base `  C
) --> ( Base `  C
) )
1816, 17mp1i 12 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  (  _I  |`  ( Base `  C
) ) : (
Base `  C ) --> ( Base `  C )
)
19 f1oi 5857 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  ( ( Hom  `  C
) `  z )
) : ( ( Hom  `  C ) `  z ) -1-1-onto-> ( ( Hom  `  C
) `  z )
20 f1of 5822 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  ( ( Hom  `  C ) `  z ) ) : ( ( Hom  `  C
) `  z ) -1-1-onto-> (
( Hom  `  C ) `
 z )  -> 
(  _I  |`  (
( Hom  `  C ) `
 z ) ) : ( ( Hom  `  C ) `  z
) --> ( ( Hom  `  C ) `  z
) )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  ( ( Hom  `  C
) `  z )
) : ( ( Hom  `  C ) `  z ) --> ( ( Hom  `  C ) `  z )
22 fvex 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Hom  `  C ) `  z )  e.  _V
2322, 22elmap 7466 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  ( ( Hom  `  C ) `  z ) )  e.  ( ( ( Hom  `  C ) `  z
)  ^m  ( ( Hom  `  C ) `  z ) )  <->  (  _I  |`  ( ( Hom  `  C
) `  z )
) : ( ( Hom  `  C ) `  z ) --> ( ( Hom  `  C ) `  z ) )
2421, 23mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ( ( Hom  `  C
) `  z )
)  e.  ( ( ( Hom  `  C
) `  z )  ^m  ( ( Hom  `  C
) `  z )
)
25 xp1st 6829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C ) )  ->  ( 1st `  z
)  e.  ( Base `  C ) )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
( 1st `  z
)  e.  ( Base `  C ) )
27 fvresi 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1st `  z )  e.  ( Base `  C
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 1st `  z ) )  =  ( 1st `  z
) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 ( 1st `  z
) )  =  ( 1st `  z ) )
29 xp2nd 6830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C ) )  ->  ( 2nd `  z
)  e.  ( Base `  C ) )
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
( 2nd `  z
)  e.  ( Base `  C ) )
31 fvresi 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2nd `  z )  e.  ( Base `  C
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 2nd `  z ) )  =  ( 2nd `  z
) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 ( 2nd `  z
) )  =  ( 2nd `  z ) )
3328, 32oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
( ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  C
) ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( 1st `  z ) ( Hom  `  C
) ( 2nd `  z
) ) )
34 df-ov 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  z ) ( Hom  `  C
) ( 2nd `  z
) )  =  ( ( Hom  `  C
) `  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z )
>. )
3533, 34syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
( ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  C
) ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( Hom  `  C ) `  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >. )
)
36 1st2nd2 6836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C ) )  ->  z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. )
3837fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
( ( Hom  `  C
) `  z )  =  ( ( Hom  `  C ) `  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. ) )
3935, 38eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
( ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  C
) ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( Hom  `  C ) `  z ) )
4039oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
( ( ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  C
) ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( ( Hom  `  C ) `  z ) )  =  ( ( ( Hom  `  C ) `  z
)  ^m  ( ( Hom  `  C ) `  z ) ) )
4124, 40syl5eleqr 2552 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )  -> 
(  _I  |`  (
( Hom  `  C ) `
 z ) )  e.  ( ( ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  C ) ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
( Hom  `  C ) `
 z ) ) )
4241ralrimiva 2871 . . . . . 6  |-  ( C  e.  Cat  ->  A. z  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) (  _I  |`  ( ( Hom  `  C ) `  z ) )  e.  ( ( ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  C
) ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( ( Hom  `  C ) `  z ) ) )
43 mptelixpg 7525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) )  e. 
_V  ->  ( ( z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C ) ) 
|->  (  _I  |`  (
( Hom  `  C ) `
 z ) ) )  e.  X_ z  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ( ( ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  C
) ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( ( Hom  `  C ) `  z ) )  <->  A. z  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) (  _I  |`  ( ( Hom  `  C ) `  z ) )  e.  ( ( ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  C
) ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( ( Hom  `  C ) `  z ) ) ) )
4410, 43ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )  |->  (  _I  |`  ( ( Hom  `  C
) `  z )
) )  e.  X_ z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) ( ( ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  C ) ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
( Hom  `  C ) `
 z ) )  <->  A. z  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) (  _I  |`  ( ( Hom  `  C
) `  z )
)  e.  ( ( ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  C ) ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
( Hom  `  C ) `
 z ) ) )
4542, 44sylibr 212 . . . . 5  |-  ( C  e.  Cat  ->  (
z  e.  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )  |->  (  _I  |`  ( ( Hom  `  C
) `  z )
) )  e.  X_ z  e.  ( ( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) ( ( ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  C ) ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
( Hom  `  C ) `
 z ) ) )
4613, 45eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( 2nd `  I )  e.  X_ z  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) ( ( ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  C ) ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
( Hom  `  C ) `
 z ) ) )
47 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
48 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  C  e.  Cat )
49 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  x  e.  ( Base `  C ) )
502, 4, 47, 48, 49catidcl 15099 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( ( Id `  C ) `  x
)  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )
51 fvresi 6098 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Id `  C
) `  x )  e.  ( x ( Hom  `  C ) x )  ->  ( (  _I  |`  ( x ( Hom  `  C ) x ) ) `  ( ( Id `  C ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  C ) `  x ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( (  _I  |`  (
x ( Hom  `  C
) x ) ) `
 ( ( Id
`  C ) `  x ) )  =  ( ( Id `  C ) `  x
) )
531, 2, 48, 4, 49, 49idfu2nd 15293 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( x ( 2nd `  I ) x )  =  (  _I  |`  (
x ( Hom  `  C
) x ) ) )
5453fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( ( x ( 2nd `  I ) x ) `  (
( Id `  C
) `  x )
)  =  ( (  _I  |`  ( x
( Hom  `  C ) x ) ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) ) )
55 fvresi 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base `  C
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  x
)  =  x )
5655adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x )  =  x )
5756fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( ( Id `  C ) `  (
(  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  C ) `  x ) )
5852, 54, 573eqtr4d 2508 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( ( x ( 2nd `  I ) x ) `  (
( Id `  C
) `  x )
)  =  ( ( Id `  C ) `
 ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  x
) ) )
59 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
6048ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  C  e.  Cat )
6149ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  x  e.  (
Base `  C )
)
62 simplrl 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  y  e.  (
Base `  C )
)
63 simplrr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  z  e.  (
Base `  C )
)
64 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y ) )
65 simprr 757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  g  e.  ( y ( Hom  `  C
) z ) )
662, 4, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65catcocl 15102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( Hom  `  C )
z ) )
67 fvresi 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x ( Hom  `  C
) z )  -> 
( (  _I  |`  (
x ( Hom  `  C
) z ) ) `
 ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( x ( Hom  `  C ) z ) ) `  ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) )  =  ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) )
691, 2, 60, 4, 61, 63idfu2nd 15293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( x ( 2nd `  I ) z )  =  (  _I  |`  ( x
( Hom  `  C ) z ) ) )
7069fveq1d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( ( x ( 2nd `  I
) z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( (  _I  |`  ( x
( Hom  `  C ) z ) ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) ) )
7161, 55syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  x
)  =  x )
72 fvresi 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( Base `  C
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  y
)  =  y )
7362, 72syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  y
)  =  y )
7471, 73opeq12d 4227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  <. ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  x
) ,  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `  y ) >.  =  <. x ,  y >. )
75 fvresi 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( Base `  C
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  z
)  =  z )
7663, 75syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  z
)  =  z )
7774, 76oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( <. (
(  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x ) ,  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 y ) >.
(comp `  C )
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 z ) )  =  ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) )
781, 2, 60, 4, 62, 63, 65idfu2 15294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( ( y ( 2nd `  I
) z ) `  g )  =  g )
791, 2, 60, 4, 61, 62, 64idfu2 15294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( ( x ( 2nd `  I
) y ) `  f )  =  f )
8077, 78, 79oveq123d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( ( ( y ( 2nd `  I
) z ) `  g ) ( <.
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x ) ,  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 y ) >.
(comp `  C )
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 z ) ) ( ( x ( 2nd `  I ) y ) `  f
) )  =  ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )
8168, 70, 803eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( ( x ( 2nd `  I
) z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y ( 2nd `  I ) z ) `
 g ) (
<. ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x ) ,  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 y ) >.
(comp `  C )
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 z ) ) ( ( x ( 2nd `  I ) y ) `  f
) ) )
8281ralrimivva 2878 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) ) )  ->  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y ( Hom  `  C
) z ) ( ( x ( 2nd `  I ) z ) `
 ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y ( 2nd `  I ) z ) `
 g ) (
<. ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x ) ,  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 y ) >.
(comp `  C )
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 z ) ) ( ( x ( 2nd `  I ) y ) `  f
) ) )
8382ralrimivva 2878 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( Base `  C ) A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y ( Hom  `  C
) z ) ( ( x ( 2nd `  I ) z ) `
 ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y ( 2nd `  I ) z ) `
 g ) (
<. ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x ) ,  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 y ) >.
(comp `  C )
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 z ) ) ( ( x ( 2nd `  I ) y ) `  f
) ) )
8458, 83jca 532 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( ( ( x ( 2nd `  I
) x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( ( Id `  C
) `  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  x
) )  /\  A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( Base `  C
) A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y ( Hom  `  C
) z ) ( ( x ( 2nd `  I ) z ) `
 ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y ( 2nd `  I ) z ) `
 g ) (
<. ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x ) ,  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 y ) >.
(comp `  C )
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 z ) ) ( ( x ( 2nd `  I ) y ) `  f
) ) ) )
8584ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  A. x  e.  ( Base `  C
) ( ( ( x ( 2nd `  I
) x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( ( Id `  C
) `  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  x
) )  /\  A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( Base `  C
) A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y ( Hom  `  C
) z ) ( ( x ( 2nd `  I ) z ) `
 ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y ( 2nd `  I ) z ) `
 g ) (
<. ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x ) ,  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 y ) >.
(comp `  C )
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 z ) ) ( ( x ( 2nd `  I ) y ) `  f
) ) ) )
862, 2, 4, 4, 47, 47, 59, 59, 3, 3isfunc 15280 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  (
(  _I  |`  ( Base `  C ) ) ( C  Func  C
) ( 2nd `  I
)  <->  ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) : (
Base `  C ) --> ( Base `  C )  /\  ( 2nd `  I
)  e.  X_ z  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ( ( ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  C
) ( (  _I  |`  ( Base `  C
) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( ( Hom  `  C ) `  z ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  C ) ( ( ( x ( 2nd `  I ) x ) `
 ( ( Id
`  C ) `  x ) )  =  ( ( Id `  C ) `  (
(  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( Base `  C
) A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y ( Hom  `  C
) z ) ( ( x ( 2nd `  I ) z ) `
 ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y ( 2nd `  I ) z ) `
 g ) (
<. ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 x ) ,  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 y ) >.
(comp `  C )
( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) `
 z ) ) ( ( x ( 2nd `  I ) y ) `  f
) ) ) ) ) )
8718, 46, 85, 86mpbir3and 1179 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  (  _I  |`  ( Base `  C
) ) ( C 
Func  C ) ( 2nd `  I ) )
88 df-br 4457 . . 3  |-  ( (  _I  |`  ( Base `  C ) ) ( C  Func  C )
( 2nd `  I
)  <->  <. (  _I  |`  ( Base `  C ) ) ,  ( 2nd `  I
) >.  e.  ( C 
Func  C ) )
8987, 88sylib 196 . 2  |-  ( C  e.  Cat  ->  <. (  _I  |`  ( Base `  C
) ) ,  ( 2nd `  I )
>.  e.  ( C  Func  C ) )
9015, 89eqeltrd 2545 1  |-  ( C  e.  Cat  ->  I  e.  ( C  Func  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109   <.cop 4038   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    _I cid 4799    X. cxp 5006    |` cres 5010   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1stc1st 6797   2ndc2nd 6798    ^m cmap 7438   X_cixp 7488   Basecbs 14644   Hom chom 14723  compcco 14724   Catccat 15081   Idccid 15082    Func cfunc 15270  idfunccidfu 15271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-map 7440  df-ixp 7489  df-cat 15085  df-cid 15086  df-func 15274  df-idfu 15275
This theorem is referenced by:  cofulid  15306  cofurid  15307  idffth  15349  ressffth  15354  catccatid  15508  curf2ndf  15643
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