Theorem idcnop 11542

Description: The identity function (restricted to Hilbert space) is a continuous operator.

Assertion

Ref	Expression
idcnop	|- ( _I |` ~H) e. ConOp

Proof of Theorem idcnop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcnop 11420	. 2 |- (( _I |` ~H) e. ConOp <-> (( _I |` ~H):~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < z -> (normh` ((( _I |` ~H)` w) -h (( _I |` ~H)` x))) < y)))))
2		f1oi 4671	. . 3 |- ( _I |` ~H):~H-1-1-onto->~H
3		f1of 4635	. . 3 |- (( _I |` ~H):~H-1-1-onto->~H -> ( _I |` ~H):~H-->~H)
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 |- ( _I |` ~H):~H-->~H
5		fvresi 4819	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. ~H -> (( _I |` ~H)` w) = w)
6		fvresi 4819	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. ~H -> (( _I |` ~H)` x) = x)
7	5, 6	opreqan12rd 4903	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ w e. ~H) -> ((( _I |` ~H)` w) -h (( _I |` ~H)` x)) = (w -h x))
8	7	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ w e. ~H) -> (normh` ((( _I |` ~H)` w) -h (( _I |` ~H)` x))) = (normh` (w -h x)))
9	8	breq1d 3348	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. ~H /\ w e. ~H) -> ((normh` ((( _I |` ~H)` w) -h (( _I |` ~H)` x))) < y <-> (normh` (w -h x)) < y))
10	9	biimprd 171	. . . . . . . . 9 |- ((x e. ~H /\ w e. ~H) -> ((normh` (w -h x)) < y -> (normh` ((( _I |` ~H)` w) -h (( _I |` ~H)` x))) < y))
11	10	r19.21aiva 2176	. . . . . . . 8 |- (x e. ~H -> A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < y -> (normh` ((( _I |` ~H)` w) -h (( _I |` ~H)` x))) < y))
12	11	a1d 15	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (0 < y -> A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < y -> (normh` ((( _I |` ~H)` w) -h (( _I |` ~H)` x))) < y)))
13	12	ancld 322	. . . . . 6 |- (x e. ~H -> (0 < y -> (0 < y /\ A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < y -> (normh` ((( _I |` ~H)` w) -h (( _I |` ~H)` x))) < y))))
14	13	adantr 425	. . . . 5 |- ((x e. ~H /\ y e. RR) -> (0 < y -> (0 < y /\ A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < y -> (normh` ((( _I |` ~H)` w) -h (( _I |` ~H)` x))) < y))))
15		simpr 350	. . . . 5 |- ((x e. ~H /\ y e. RR) -> y e. RR)
16	14, 15	jctild 662	. . . 4 |- ((x e. ~H /\ y e. RR) -> (0 < y -> (y e. RR /\ (0 < y /\ A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < y -> (normh` ((( _I |` ~H)` w) -h (( _I |` ~H)` x))) < y)))))
17		breq2 3342	. . . . . 6 |- (z = y -> (0 < z <-> 0 < y))
18		breq2 3342	. . . . . . . 8 |- (z = y -> ((normh` (w -h x)) < z <-> (normh` (w -h x)) < y))
19	18	imbi1d 675	. . . . . . 7 |- (z = y -> (((normh` (w -h x)) < z -> (normh` ((( _I |` ~H)` w) -h (( _I |` ~H)` x))) < y) <-> ((normh` (w -h x)) < y -> (normh` ((( _I |` ~H)` w) -h (( _I |` ~H)` x))) < y)))
20	19	ralbidv 2123	. . . . . 6 |- (z = y -> (A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < z -> (normh` ((( _I |` ~H)` w) -h (( _I |` ~H)` x))) < y) <-> A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < y -> (normh` ((( _I |` ~H)` w) -h (( _I |` ~H)` x))) < y)))
21	17, 20	anbi12d 690	. . . . 5 |- (z = y -> ((0 < z /\ A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < z -> (normh` ((( _I |` ~H)` w) -h (( _I |` ~H)` x))) < y)) <-> (0 < y /\ A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < y -> (normh` ((( _I |` ~H)` w) -h (( _I |` ~H)` x))) < y))))
22	21	rcla4ev 2381	. . . 4 |- ((y e. RR /\ (0 < y /\ A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < y -> (normh` ((( _I |` ~H)` w) -h (( _I |` ~H)` x))) < y))) -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < z -> (normh` ((( _I |` ~H)` w) -h (( _I |` ~H)` x))) < y)))
23	16, 22	syl6 25	. . 3 |- ((x e. ~H /\ y e. RR) -> (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < z -> (normh` ((( _I |` ~H)` w) -h (( _I |` ~H)` x))) < y))))
24	23	rgen2 2186	. 2 |- A.x e. ~H A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. ~H ((normh` (w -h x)) < z -> (normh` ((( _I |` ~H)` w) -h (( _I |` ~H)` x))) < y)))
25	1, 4, 24	mpbir2an 800	1 |- ( _I |` ~H) e. ConOp

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338   _I cid 3582   |` cres 3988  -->wf 3994  -1-1-onto->wf1o 3997  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   < clt 6653  ~Hchil 10420   -h cmv 10424  normhcno 10426  ConOpcco 10447

This theorem is referenced by:  nmcopex 11596  nmcoplb 11597

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-cnop 11403

Copyright terms: Public domain