MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idcn Structured version   Unicode version

Theorem idcn 20053
Description: A restricted identity function is a continuous function. (Contributed by FL, 27-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
idcn  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )

Proof of Theorem idcn
StepHypRef Expression
1 ssid 3463 . 2  |-  J  C_  J
2 ssidcn 20051 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J
)  <->  J  C_  J ) )
32anidms 645 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J
)  <->  J  C_  J ) )
41, 3mpbiri 235 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    e. wcel 1844    C_ wss 3416    _I cid 4735    |` cres 4827   ` cfv 5571  (class class class)co 6280  TopOnctopon 19689    Cn ccn 20020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-map 7461  df-top 19693  df-topon 19696  df-cn 20023
This theorem is referenced by:  resthauslem  20159  kgencn2  20352  txkgen  20447  cnmptid  20456  idhmeo  20568  qtophmeo  20612  pl1cn  28403  rrhre  28464
  Copyright terms: Public domain W3C validator