Theorem idahom 15051

Description: Domain and codomain of the identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
idafval.i	|- I = (Ida ` C )
idafval.b	|- B = ( Base ` C )
idafval.c	|- ( ph -> C e. Cat )
idahom.x	|- ( ph -> X e. B )
idahom.h	|- H = (Homa ` C )

Assertion

Ref	Expression
idahom	|- ( ph -> ( I ` X ) e. ( X H X ) )

Proof of Theorem idahom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idafval.i	. . 3 |- I = (Ida ` C )
2		idafval.b	. . 3 |- B = ( Base ` C )
3		idafval.c	. . 3 |- ( ph -> C e. Cat )
4		eqid 2454	. . 3 |- ( Id ` C ) = ( Id ` C )
5		idahom.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
6	1, 2, 3, 4, 5	idaval 15049	. 2 |- ( ph -> ( I ` X ) = <. X , X , ( ( Id ` C ) ` X ) >. )
7		idahom.h	. . 3 |- H = (Homa ` C )
8		eqid 2454	. . 3 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
9	2, 8, 4, 3, 5	catidcl 14743	. . 3 |- ( ph -> ( ( Id ` C ) ` X ) e. ( X ( Hom ` C ) X ) )
10	7, 2, 3, 8, 5, 5, 9	elhomai2 15025	. 2 |- ( ph -> <. X , X , ( ( Id ` C ) ` X ) >. e. ( X H X ) )
11	6, 10	eqeltrd 2542	1 |- ( ph -> ( I ` X ) e. ( X H X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1370   e. wcel 1758   <.cotp 3996   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296   Hom chom 14372   Catccat 14725   Idccid 14726  Hom_achoma 15014  Id_acida 15044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-cat 14729  df-cid 14730  df-homa 15017  df-ida 15046

This theorem is referenced by:  idadm  15052  idacd  15053  idaf  15054  arwlid  15063  arwrid  15064