Theorem idahom 15663

Description: Domain and codomain of the identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
idafval.i	|- I = (Ida ` C )
idafval.b	|- B = ( Base ` C )
idafval.c	|- ( ph -> C e. Cat )
idahom.x	|- ( ph -> X e. B )
idahom.h	|- H = (Homa ` C )

Assertion

Ref	Expression
idahom	|- ( ph -> ( I ` X ) e. ( X H X ) )

Proof of Theorem idahom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idafval.i	. . 3 |- I = (Ida ` C )
2		idafval.b	. . 3 |- B = ( Base ` C )
3		idafval.c	. . 3 |- ( ph -> C e. Cat )
4		eqid 2402	. . 3 |- ( Id ` C ) = ( Id ` C )
5		idahom.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
6	1, 2, 3, 4, 5	idaval 15661	. 2 |- ( ph -> ( I ` X ) = <. X , X , ( ( Id ` C ) ` X ) >. )
7		idahom.h	. . 3 |- H = (Homa ` C )
8		eqid 2402	. . 3 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
9	2, 8, 4, 3, 5	catidcl 15296	. . 3 |- ( ph -> ( ( Id ` C ) ` X ) e. ( X ( Hom ` C ) X ) )
10	7, 2, 3, 8, 5, 5, 9	elhomai2 15637	. 2 |- ( ph -> <. X , X , ( ( Id ` C ) ` X ) >. e. ( X H X ) )
11	6, 10	eqeltrd 2490	1 |- ( ph -> ( I ` X ) e. ( X H X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1405   e. wcel 1842   <.cotp 3980   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   Hom chom 14920   Catccat 15278   Idccid 15279  Hom_achoma 15626  Id_acida 15656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-ot 3981  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-cat 15282  df-cid 15283  df-homa 15629  df-ida 15658

This theorem is referenced by:  idadm  15664  idacd  15665  idaf  15666  arwlid  15675  arwrid  15676