Theorem icounlem 7581

Description: Lemma for icoun 7582.

Hypotheses

Ref	Expression
icounlem.1	|- A e. RR
icounlem.2	|- B e. RR
icounlem.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
icounlem	|- ((A <_ B /\ B <_ C) -> ((A[,)B) u. (B[,)C)) = (A[,)C))

Proof of Theorem icounlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icounlem.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A e. RR
2		icounlem.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B e. RR
3		letr 6695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ x e. RR) -> ((A <_ B /\ B <_ x) -> A <_ x))
4	1, 2, 3	mp3an12 1181	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. RR -> ((A <_ B /\ B <_ x) -> A <_ x))
5	4	expdimp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. RR /\ A <_ B) -> (B <_ x -> A <_ x))
6		pm4.72 703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B <_ x -> A <_ x) <-> (A <_ x <-> (B <_ x \/ A <_ x)))
7	5, 6	sylib 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. RR /\ A <_ B) -> (A <_ x <-> (B <_ x \/ A <_ x)))
8	7	adantrr 431	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. RR /\ (A <_ B /\ B <_ C)) -> (A <_ x <-> (B <_ x \/ A <_ x)))
9		orcom 266	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B <_ x \/ A <_ x) <-> (A <_ x \/ B <_ x))
10	8, 9	syl6bb 595	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ (A <_ B /\ B <_ C)) -> (A <_ x <-> (A <_ x \/ B <_ x)))
11		ltnle 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. RR /\ A e. RR) -> (x < A <-> -. A <_ x))
12	1, 11	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. RR -> (x < A <-> -. A <_ x))
13	12	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. RR /\ A <_ C) -> (x < A <-> -. A <_ x))
14		icounlem.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- C e. RR
15		ltletr 6694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((x e. RR /\ A e. RR /\ C e. RR) -> ((x < A /\ A <_ C) -> x < C))
16	1, 14, 15	mp3an23 1183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x e. RR -> ((x < A /\ A <_ C) -> x < C))
17	16	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. RR -> (x < A -> (A <_ C -> x < C)))
18	17	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. RR -> (A <_ C -> (x < A -> x < C)))
19	18	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. RR /\ A <_ C) -> (x < A -> x < C))
20	13, 19	sylbird 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. RR /\ A <_ C) -> (-. A <_ x -> x < C))
21	20	orrd 250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. RR /\ A <_ C) -> (A <_ x \/ x < C))
22	1, 2, 14	letri 6763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A <_ B /\ B <_ C) -> A <_ C)
23	21, 22	sylan2 500	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. RR /\ (A <_ B /\ B <_ C)) -> (A <_ x \/ x < C))
24	23	biantrurd 796	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ (A <_ B /\ B <_ C)) -> ((A <_ x \/ B <_ x) <-> ((A <_ x \/ x < C) /\ (A <_ x \/ B <_ x))))
25	10, 24	bitrd 587	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. RR /\ (A <_ B /\ B <_ C)) -> (A <_ x <-> ((A <_ x \/ x < C) /\ (A <_ x \/ B <_ x))))
26		ancom 482	. . . . . . . . . 10 |- (((A <_ x \/ x < C) /\ (A <_ x \/ B <_ x)) <-> ((A <_ x \/ B <_ x) /\ (A <_ x \/ x < C)))
27	25, 26	syl6bb 595	. . . . . . . . 9 |- ((x e. RR /\ (A <_ B /\ B <_ C)) -> (A <_ x <-> ((A <_ x \/ B <_ x) /\ (A <_ x \/ x < C))))
28		ltletr 6694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((x < B /\ B <_ C) -> x < C))
29	2, 14, 28	mp3an23 1183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. RR -> ((x < B /\ B <_ C) -> x < C))
30	29	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. RR -> (x < B -> (B <_ C -> x < C)))
31	30	com23 36	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. RR -> (B <_ C -> (x < B -> x < C)))
32	31	imp 377	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. RR /\ B <_ C) -> (x < B -> x < C))
33		pm4.72 703	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x < B -> x < C) <-> (x < C <-> (x < B \/ x < C)))
34	32, 33	sylib 215	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ B <_ C) -> (x < C <-> (x < B \/ x < C)))
35	34	adantrl 430	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. RR /\ (A <_ B /\ B <_ C)) -> (x < C <-> (x < B \/ x < C)))
36		lelttric 6805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B e. RR /\ x e. RR) -> (B <_ x \/ x < B))
37	2, 36	mpan 759	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. RR -> (B <_ x \/ x < B))
38		orcom 266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B <_ x \/ x < B) <-> (x < B \/ B <_ x))
39	37, 38	sylib 215	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. RR -> (x < B \/ B <_ x))
40	39	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ (A <_ B /\ B <_ C)) -> (x < B \/ B <_ x))
41	40	biantrurd 796	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. RR /\ (A <_ B /\ B <_ C)) -> ((x < B \/ x < C) <-> ((x < B \/ B <_ x) /\ (x < B \/ x < C))))
42	35, 41	bitrd 587	. . . . . . . . 9 |- ((x e. RR /\ (A <_ B /\ B <_ C)) -> (x < C <-> ((x < B \/ B <_ x) /\ (x < B \/ x < C))))
43	27, 42	anbi12d 690	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ (A <_ B /\ B <_ C)) -> ((A <_ x /\ x < C) <-> (((A <_ x \/ B <_ x) /\ (A <_ x \/ x < C)) /\ ((x < B \/ B <_ x) /\ (x < B \/ x < C)))))
44		orddi 667	. . . . . . . 8 |- (((A <_ x /\ x < B) \/ (B <_ x /\ x < C)) <-> (((A <_ x \/ B <_ x) /\ (A <_ x \/ x < C)) /\ ((x < B \/ B <_ x) /\ (x < B \/ x < C))))
45	43, 44	syl6bbr 597	. . . . . . 7 |- ((x e. RR /\ (A <_ B /\ B <_ C)) -> ((A <_ x /\ x < C) <-> ((A <_ x /\ x < B) \/ (B <_ x /\ x < C))))
46	45	expcom 403	. . . . . 6 |- ((A <_ B /\ B <_ C) -> (x e. RR -> ((A <_ x /\ x < C) <-> ((A <_ x /\ x < B) \/ (B <_ x /\ x < C)))))
47	46	pm5.32d 709	. . . . 5 |- ((A <_ B /\ B <_ C) -> ((x e. RR /\ (A <_ x /\ x < C)) <-> (x e. RR /\ ((A <_ x /\ x < B) \/ (B <_ x /\ x < C)))))
48		andi 665	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ ((A <_ x /\ x < B) \/ (B <_ x /\ x < C))) <-> ((x e. RR /\ (A <_ x /\ x < B)) \/ (x e. RR /\ (B <_ x /\ x < C))))
49	47, 48	syl6bb 595	. . . 4 |- ((A <_ B /\ B <_ C) -> ((x e. RR /\ (A <_ x /\ x < C)) <-> ((x e. RR /\ (A <_ x /\ x < B)) \/ (x e. RR /\ (B <_ x /\ x < C)))))
50		elico2 7559	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (x e. (A[,)B) <-> (x e. RR /\ A <_ x /\ x < B)))
51	1, 2, 50	mp2an 761	. . . . . 6 |- (x e. (A[,)B) <-> (x e. RR /\ A <_ x /\ x < B))
52		elico2 7559	. . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ C e. RR) -> (x e. (B[,)C) <-> (x e. RR /\ B <_ x /\ x < C)))
53	2, 14, 52	mp2an 761	. . . . . 6 |- (x e. (B[,)C) <-> (x e. RR /\ B <_ x /\ x < C))
54	51, 53	orbi12i 277	. . . . 5 |- ((x e. (A[,)B) \/ x e. (B[,)C)) <-> ((x e. RR /\ A <_ x /\ x < B) \/ (x e. RR /\ B <_ x /\ x < C)))
55		3anass 862	. . . . . 6 |- ((x e. RR /\ A <_ x /\ x < B) <-> (x e. RR /\ (A <_ x /\ x < B)))
56		3anass 862	. . . . . 6 |- ((x e. RR /\ B <_ x /\ x < C) <-> (x e. RR /\ (B <_ x /\ x < C)))
57	55, 56	orbi12i 277	. . . . 5 |- (((x e. RR /\ A <_ x /\ x < B) \/ (x e. RR /\ B <_ x /\ x < C)) <-> ((x e. RR /\ (A <_ x /\ x < B)) \/ (x e. RR /\ (B <_ x /\ x < C))))
58	54, 57	bitri 190	. . . 4 |- ((x e. (A[,)B) \/ x e. (B[,)C)) <-> ((x e. RR /\ (A <_ x /\ x < B)) \/ (x e. RR /\ (B <_ x /\ x < C))))
59	49, 58	syl6rbbr 598	. . 3 |- ((A <_ B /\ B <_ C) -> ((x e. (A[,)B) \/ x e. (B[,)C)) <-> (x e. RR /\ (A <_ x /\ x < C))))
60		elun 2741	. . 3 |- (x e. ((A[,)B) u. (B[,)C)) <-> (x e. (A[,)B) \/ x e. (B[,)C)))
61		elico2 7559	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ C e. RR) -> (x e. (A[,)C) <-> (x e. RR /\ A <_ x /\ x < C)))
62	1, 14, 61	mp2an 761	. . . 4 |- (x e. (A[,)C) <-> (x e. RR /\ A <_ x /\ x < C))
63		3anass 862	. . . 4 |- ((x e. RR /\ A <_ x /\ x < C) <-> (x e. RR /\ (A <_ x /\ x < C)))
64	62, 63	bitri 190	. . 3 |- (x e. (A[,)C) <-> (x e. RR /\ (A <_ x /\ x < C)))
65	59, 60, 64	3bitr4g 614	. 2 |- ((A <_ B /\ B <_ C) -> (x e. ((A[,)B) u. (B[,)C)) <-> x e. (A[,)C)))
66	65	eqrdv 1882	1 |- ((A <_ B /\ B <_ C) -> ((A[,)B) u. (B[,)C)) = (A[,)C))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   u. cun 2591   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385   <_ cle 6448   < clt 6653  [,)cico 7526

This theorem is referenced by:  icoun 7582

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-ico 7530

Copyright terms: Public domain