Theorem icoshftf1oii 7578

Description: Shifting a closed-below, open-above interval is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
icoshftf1o.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. (A[,)B) /\ y = (x + C))}
icoshftf1o.2	|- A e. RR
icoshftf1o.3	|- B e. RR
icoshftf1o.4	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
icoshftf1oii	|- F:(A[,)B)-1-1-onto->((A + C)[,)(B + C))

Distinct variable groups:   x,A,y   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem icoshftf1oii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1o 4013	. 2 |- (F:(A[,)B)-1-1-onto->((A + C)[,)(B + C)) <-> (F:(A[,)B)-1-1->((A + C)[,)(B + C)) /\ F:(A[,)B)-onto->((A + C)[,)(B + C))))
2		dff13 4850	. . 3 |- (F:(A[,)B)-1-1->((A + C)[,)(B + C)) <-> (F:(A[,)B)-->((A + C)[,)(B + C)) /\ A.z e. (A[,)B)A.w e. (A[,)B)((F` z) = (F` w) -> z = w)))
3		icoshftf1o.1	. . . 4 |- F = {<.x, y>. | (x e. (A[,)B) /\ y = (x + C))}
4		icoshftf1o.2	. . . . 5 |- A e. RR
5		icoshftf1o.3	. . . . 5 |- B e. RR
6		icoshftf1o.4	. . . . 5 |- C e. RR
7		icoshft 7577	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (x e. (A[,)B) -> (x + C) e. ((A + C)[,)(B + C))))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1191	. . . 4 |- (x e. (A[,)B) -> (x + C) e. ((A + C)[,)(B + C)))
9	3, 8	fopab 4800	. . 3 |- F:(A[,)B)-->((A + C)[,)(B + C))
10		opreq1 4889	. . . . . . 7 |- (x = z -> (x + C) = (z + C))
11		oprex 4907	. . . . . . 7 |- (z + C) e. _V
12	10, 3, 11	fvopab4 4743	. . . . . 6 |- (z e. (A[,)B) -> (F` z) = (z + C))
13		opreq1 4889	. . . . . . 7 |- (x = w -> (x + C) = (w + C))
14		oprex 4907	. . . . . . 7 |- (w + C) e. _V
15	13, 3, 14	fvopab4 4743	. . . . . 6 |- (w e. (A[,)B) -> (F` w) = (w + C))
16	12, 15	eqeqan12d 1901	. . . . 5 |- ((z e. (A[,)B) /\ w e. (A[,)B)) -> ((F` z) = (F` w) <-> (z + C) = (w + C)))
17	6	recni 6467	. . . . . . . 8 |- C e. CC
18		addcan2 6508	. . . . . . . 8 |- ((z e. CC /\ w e. CC /\ C e. CC) -> ((z + C) = (w + C) <-> z = w))
19	17, 18	mp3an3 1180	. . . . . . 7 |- ((z e. CC /\ w e. CC) -> ((z + C) = (w + C) <-> z = w))
20	19	biimpd 170	. . . . . 6 |- ((z e. CC /\ w e. CC) -> ((z + C) = (w + C) -> z = w))
21		elico2 7559	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (z e. (A[,)B) <-> (z e. RR /\ A <_ z /\ z < B)))
22	4, 5, 21	mp2an 761	. . . . . . . 8 |- (z e. (A[,)B) <-> (z e. RR /\ A <_ z /\ z < B))
23	22	simp1bi 891	. . . . . . 7 |- (z e. (A[,)B) -> z e. RR)
24	23	recnd 6468	. . . . . 6 |- (z e. (A[,)B) -> z e. CC)
25		elico2 7559	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (w e. (A[,)B) <-> (w e. RR /\ A <_ w /\ w < B)))
26	4, 5, 25	mp2an 761	. . . . . . . 8 |- (w e. (A[,)B) <-> (w e. RR /\ A <_ w /\ w < B))
27	26	simp1bi 891	. . . . . . 7 |- (w e. (A[,)B) -> w e. RR)
28	27	recnd 6468	. . . . . 6 |- (w e. (A[,)B) -> w e. CC)
29	20, 24, 28	syl2an 503	. . . . 5 |- ((z e. (A[,)B) /\ w e. (A[,)B)) -> ((z + C) = (w + C) -> z = w))
30	16, 29	sylbid 220	. . . 4 |- ((z e. (A[,)B) /\ w e. (A[,)B)) -> ((F` z) = (F` w) -> z = w))
31	30	rgen2a 2160	. . 3 |- A.z e. (A[,)B)A.w e. (A[,)B)((F` z) = (F` w) -> z = w)
32	2, 9, 31	mpbir2an 800	. 2 |- F:(A[,)B)-1-1->((A + C)[,)(B + C))
33		dffo3 4792	. . 3 |- (F:(A[,)B)-onto->((A + C)[,)(B + C)) <-> (F:(A[,)B)-->((A + C)[,)(B + C)) /\ A.z e. ((A + C)[,)(B + C))E.w e. (A[,)B)z = (F` w)))
34	4, 6	readdcli 6487	. . . . . . . . 9 |- (A + C) e. RR
35	5, 6	readdcli 6487	. . . . . . . . 9 |- (B + C) e. RR
36		elico2 7559	. . . . . . . . 9 |- (((A + C) e. RR /\ (B + C) e. RR) -> (z e. ((A + C)[,)(B + C)) <-> (z e. RR /\ (A + C) <_ z /\ z < (B + C))))
37	34, 35, 36	mp2an 761	. . . . . . . 8 |- (z e. ((A + C)[,)(B + C)) <-> (z e. RR /\ (A + C) <_ z /\ z < (B + C)))
38	37	simp1bi 891	. . . . . . 7 |- (z e. ((A + C)[,)(B + C)) -> z e. RR)
39		recn 6466	. . . . . . 7 |- (z e. RR -> z e. CC)
40		negsub 6540	. . . . . . . 8 |- ((z e. CC /\ C e. CC) -> (z + -uC) = (z - C))
41	17, 40	mpan2 760	. . . . . . 7 |- (z e. CC -> (z + -uC) = (z - C))
42	38, 39, 41	3syl 24	. . . . . 6 |- (z e. ((A + C)[,)(B + C)) -> (z + -uC) = (z - C))
43	6	renegcli 6576	. . . . . . . 8 |- -uC e. RR
44		icoshft 7577	. . . . . . . 8 |- (((A + C) e. RR /\ (B + C) e. RR /\ -uC e. RR) -> (z e. ((A + C)[,)(B + C)) -> (z + -uC) e. (((A + C) + -uC)[,)((B + C) + -uC))))
45	34, 35, 43, 44	mp3an 1191	. . . . . . 7 |- (z e. ((A + C)[,)(B + C)) -> (z + -uC) e. (((A + C) + -uC)[,)((B + C) + -uC)))
46	34	recni 6467	. . . . . . . . . 10 |- (A + C) e. CC
47	46, 17	negsubi 6538	. . . . . . . . 9 |- ((A + C) + -uC) = ((A + C) - C)
48	4	recni 6467	. . . . . . . . . 10 |- A e. CC
49		pncan 6557	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ C e. CC) -> ((A + C) - C) = A)
50	48, 17, 49	mp2an 761	. . . . . . . . 9 |- ((A + C) - C) = A
51	47, 50	eqtri 1908	. . . . . . . 8 |- ((A + C) + -uC) = A
52	35	recni 6467	. . . . . . . . . 10 |- (B + C) e. CC
53	52, 17	negsubi 6538	. . . . . . . . 9 |- ((B + C) + -uC) = ((B + C) - C)
54	5	recni 6467	. . . . . . . . . 10 |- B e. CC
55		pncan 6557	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. CC /\ C e. CC) -> ((B + C) - C) = B)
56	54, 17, 55	mp2an 761	. . . . . . . . 9 |- ((B + C) - C) = B
57	53, 56	eqtri 1908	. . . . . . . 8 |- ((B + C) + -uC) = B
58	51, 57	opreq12i 4894	. . . . . . 7 |- (((A + C) + -uC)[,)((B + C) + -uC)) = (A[,)B)
59	45, 58	syl6eleq 1981	. . . . . 6 |- (z e. ((A + C)[,)(B + C)) -> (z + -uC) e. (A[,)B))
60	42, 59	eqeltrrd 1972	. . . . 5 |- (z e. ((A + C)[,)(B + C)) -> (z - C) e. (A[,)B))
61		opreq1 4889	. . . . . . . 8 |- (x = (z - C) -> (x + C) = ((z - C) + C))
62		oprex 4907	. . . . . . . 8 |- ((z - C) + C) e. _V
63	61, 3, 62	fvopab4 4743	. . . . . . 7 |- ((z - C) e. (A[,)B) -> (F` (z - C)) = ((z - C) + C))
64	60, 63	syl 12	. . . . . 6 |- (z e. ((A + C)[,)(B + C)) -> (F` (z - C)) = ((z - C) + C))
65		npcan 6559	. . . . . . . 8 |- ((z e. CC /\ C e. CC) -> ((z - C) + C) = z)
66	17, 65	mpan2 760	. . . . . . 7 |- (z e. CC -> ((z - C) + C) = z)
67	38, 39, 66	3syl 24	. . . . . 6 |- (z e. ((A + C)[,)(B + C)) -> ((z - C) + C) = z)
68	64, 67	eqtr2d 1926	. . . . 5 |- (z e. ((A + C)[,)(B + C)) -> z = (F` (z - C)))
69		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (w = (z - C) -> (F` w) = (F` (z - C)))
70	69	eqeq2d 1895	. . . . . 6 |- (w = (z - C) -> (z = (F` w) <-> z = (F` (z - C))))
71	70	rcla4ev 2381	. . . . 5 |- (((z - C) e. (A[,)B) /\ z = (F` (z - C))) -> E.w e. (A[,)B)z = (F` w))
72	60, 68, 71	syl11anc 524	. . . 4 |- (z e. ((A + C)[,)(B + C)) -> E.w e. (A[,)B)z = (F` w))
73	72	rgen 2159	. . 3 |- A.z e. ((A + C)[,)(B + C))E.w e. (A[,)B)z = (F` w)
74	33, 9, 73	mpbir2an 800	. 2 |- F:(A[,)B)-onto->((A + C)[,)(B + C))
75	1, 32, 74	mpbir2an 800	1 |- F:(A[,)B)-1-1-onto->((A + C)[,)(B + C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  {copab 3395  -->wf 3994  -1-1->wf1 3995  -onto->wfo 3996  -1-1-onto->wf1o 3997  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385   + caddc 6389   - cmin 6445  -ucneg 6446   <_ cle 6448   < clt 6653  [,)cico 7526

This theorem is referenced by:  icoshftf1olem 7579

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-ico 7530

Copyright terms: Public domain