Mathbox for ML < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoreunrn Structured version   Unicode version

Theorem icoreunrn 31727
 Description: The union of all closed-below, open-above intervals of reals is the set of reals. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
icoreunrn.1
Assertion
Ref Expression
icoreunrn

Proof of Theorem icoreunrn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexr 9694 . . . . . . 7
2 peano2re 9814 . . . . . . . 8
3 rexr 9694 . . . . . . . 8
42, 3syl 17 . . . . . . 7
5 ltp1 10451 . . . . . . 7
6 lbico1 11697 . . . . . . 7
71, 4, 5, 6syl3anc 1264 . . . . . 6
8 df-ov 6309 . . . . . 6
97, 8syl6eleq 2517 . . . . 5
10 opelxpi 4885 . . . . . . 7
112, 10mpdan 672 . . . . . 6
12 fvres 5896 . . . . . 6
1311, 12syl 17 . . . . 5
149, 13eleqtrrd 2510 . . . 4
15 icoreresf 31720 . . . . . . . 8
1615fdmi 5751 . . . . . . 7
1710, 16syl6eleqr 2518 . . . . . 6
182, 17mpdan 672 . . . . 5
19 ffun 5748 . . . . . . . 8
2015, 19ax-mp 5 . . . . . . 7
21 fvelrn 6031 . . . . . . 7
2220, 21mpan 674 . . . . . 6
23 icoreunrn.1 . . . . . . 7
24 df-ima 4866 . . . . . . 7
2523, 24eqtri 2451 . . . . . 6
2622, 25syl6eleqr 2518 . . . . 5
2718, 26syl 17 . . . 4
28 elunii 4224 . . . 4
2914, 27, 28syl2anc 665 . . 3
3029ssriv 3468 . 2
31 frn 5752 . . . . 5
3215, 31ax-mp 5 . . . 4
3325, 32eqsstri 3494 . . 3
34 uniss 4240 . . . 4
35 unipw 4671 . . . 4
3634, 35syl6sseq 3510 . . 3
3733, 36ax-mp 5 . 2
3830, 37eqssi 3480 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wa 370   wceq 1437   wcel 1872   wss 3436  cpw 3981  cop 4004  cuni 4219   class class class wbr 4423   cxp 4851   cdm 4853   crn 4854   cres 4855  cima 4856   wfun 5595  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6306  cr 9546  c1 9548   caddc 9550  cxr 9682   clt 9683  cico 11645 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-ico 11649 This theorem is referenced by:  istoprelowl  31728  relowlssretop  31731  relowlpssretop  31732
 Copyright terms: Public domain W3C validator