Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icorempt2 Structured version   Unicode version

Theorem icorempt2 31719
Description: Closed-below, open-above intervals of reals. (Contributed by ML, 26-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
icorempt2.1  |-  F  =  ( [,)  |`  ( RR  X.  RR ) )
Assertion
Ref Expression
icorempt2  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  y ) } )
Distinct variable group:    x, y, z
Allowed substitution hints:    F( x, y, z)

Proof of Theorem icorempt2
StepHypRef Expression
1 icorempt2.1 . 2  |-  F  =  ( [,)  |`  ( RR  X.  RR ) )
2 df-ico 11649 . . . 4  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
32reseq1i 5120 . . 3  |-  ( [,)  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )  |`  ( RR  X.  RR ) )
4 ressxr 9692 . . . 4  |-  RR  C_  RR*
5 resmpt2 6409 . . . 4  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  (
( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) } ) )
64, 4, 5mp2an 676 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
73, 6eqtri 2451 . 2  |-  ( [,)  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( x  e.  RR , 
y  e.  RR  |->  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
8 nfv 1755 . . . 4  |-  F/ z ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
9 nfrab1 3006 . . . 4  |-  F/_ z { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) }
10 nfrab1 3006 . . . 4  |-  F/_ z { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  y ) }
11 rabid 3002 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { z  e. 
RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  < 
y ) }  <->  ( z  e.  RR*  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) ) )
12 rexr 9694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
13 nltmnf 11439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  < -oo )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  x  < -oo )
15 renemnf 9697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  x  =/= -oo )
1615neneqd 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  x  = -oo )
1714, 16jca 534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -.  x  < -oo  /\  -.  x  = -oo ) )
18 pm4.56 497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  x  < -oo  /\ 
-.  x  = -oo ) 
<->  -.  ( x  < -oo  \/  x  = -oo ) )
1917, 18sylib 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  ( x  < -oo  \/  x  = -oo )
)
20 mnfxr 11422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- -oo  e.  RR*
21 xrleloe 11451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ -oo  e.  RR* )  ->  (
x  <_ -oo  <->  ( x  < -oo  \/  x  = -oo ) ) )
2212, 20, 21sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  <_ -oo  <->  ( x  < -oo  \/  x  = -oo ) ) )
2319, 22mtbird 302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  x  <_ -oo )
24 breq2 4427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  = -oo  ->  (
x  <_  z  <->  x  <_ -oo ) )
2524notbid 295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  = -oo  ->  ( -.  x  <_  z  <->  -.  x  <_ -oo ) )
2623, 25syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
z  = -oo  ->  -.  x  <_  z )
)
2726con2d 118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  <_  z  ->  -.  z  = -oo )
)
28 rexr 9694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
29 pnfnlt 11438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  <  y )
30 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  = +oo  ->  (
z  <  y  <-> +oo  <  y
) )
3130notbid 295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  = +oo  ->  ( -.  z  <  y  <->  -. +oo  <  y ) )
3229, 31syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( z  = +oo  ->  -.  z  <  y ) )
3332con2d 118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( z  <  y  ->  -.  z  = +oo )
)
3428, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  (
z  <  y  ->  -.  z  = +oo )
)
3527, 34im2anan9 843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  <_ 
z  /\  z  <  y )  ->  ( -.  z  = -oo  /\  -.  z  = +oo )
) )
3635anim2d 567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( z  e. 
RR*  /\  ( x  <_  z  /\  z  < 
y ) )  -> 
( z  e.  RR*  /\  ( -.  z  = -oo  /\  -.  z  = +oo ) ) ) )
37 renepnf 9696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR  ->  z  =/= +oo )
3837neneqd 2621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  ->  -.  z  = +oo )
3938pm4.71i 636 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  -.  z  = +oo ) )
40 xrnemnf 11427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  z  =/= -oo )  <->  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo ) )
4140anbi1i 699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  z  =/= -oo )  /\  -.  z  = +oo ) 
<->  ( ( z  e.  RR  \/  z  = +oo )  /\  -.  z  = +oo )
)
42 df-ne 2616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =/= -oo  <->  -.  z  = -oo )
4342anbi2i 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  z  =/= -oo )  <->  ( z  e.  RR*  /\  -.  z  = -oo ) )
4443anbi1i 699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  z  =/= -oo )  /\  -.  z  = +oo ) 
<->  ( ( z  e. 
RR*  /\  -.  z  = -oo )  /\  -.  z  = +oo )
)
45 pm5.61 717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  RR  \/  z  = +oo )  /\  -.  z  = +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  -.  z  = +oo ) )
4641, 44, 453bitr3i 278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\ 
-.  z  = -oo )  /\  -.  z  = +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  -.  z  = +oo ) )
47 anass 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\ 
-.  z  = -oo )  /\  -.  z  = +oo )  <->  ( z  e.  RR*  /\  ( -.  z  = -oo  /\  -.  z  = +oo ) ) )
4839, 46, 473bitr2ri 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  ( -.  z  = -oo  /\ 
-.  z  = +oo ) )  <->  z  e.  RR )
4936, 48syl6ib 229 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( z  e. 
RR*  /\  ( x  <_  z  /\  z  < 
y ) )  -> 
z  e.  RR ) )
5011, 49syl5bi 220 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  e.  {
z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) }  ->  z  e.  RR ) )
5111simprbi 465 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { z  e. 
RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  < 
y ) }  ->  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) )
5251a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  e.  {
z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) }  ->  ( x  <_ 
z  /\  z  <  y ) ) )
5350, 52jcad 535 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  e.  {
z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) }  ->  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) ) ) )
54 rabid 3002 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) }  <->  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) ) )
5553, 54syl6ibr 230 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  e.  {
z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) }  ->  z  e.  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  y ) } ) )
56 rabss2 3544 . . . . . . 7  |-  ( RR  C_  RR*  ->  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) }  C_  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
574, 56ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) } 
C_  { z  e. 
RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  < 
y ) }
5857sseli 3460 . . . . 5  |-  ( z  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) }  ->  z  e.  { z  e. 
RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  < 
y ) } )
5955, 58impbid1 206 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  e.  {
z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) }  <-> 
z  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) } ) )
608, 9, 10, 59eqrd 3482 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) }  =  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
6160mpt2eq3ia 6371 . 2  |-  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
621, 7, 613eqtri 2455 1  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  y ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   {crab 2775    C_ wss 3436   class class class wbr 4423    X. cxp 4851    |` cres 4855    |-> cmpt2 6308   RRcr 9546   +oocpnf 9680   -oocmnf 9681   RR*cxr 9682    < clt 9683    <_ cle 9684   [,)cico 11645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-ico 11649
This theorem is referenced by:  icoreresf  31720  icoreval  31721
  Copyright terms: Public domain W3C validator