Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icorempt2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem icorempt2 31824
Description: Closed-below, open-above intervals of reals. (Contributed by ML, 26-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
icorempt2.1  |-  F  =  ( [,)  |`  ( RR  X.  RR ) )
Assertion
Ref Expression
icorempt2  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  y ) } )
Distinct variable group:    x, y, z
Allowed substitution hints:    F( x, y, z)

Proof of Theorem icorempt2
StepHypRef Expression
1 icorempt2.1 . 2  |-  F  =  ( [,)  |`  ( RR  X.  RR ) )
2 df-ico 11666 . . . 4  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
32reseq1i 5107 . . 3  |-  ( [,)  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )  |`  ( RR  X.  RR ) )
4 ressxr 9702 . . . 4  |-  RR  C_  RR*
5 resmpt2 6413 . . . 4  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  (
( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) } ) )
64, 4, 5mp2an 686 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
73, 6eqtri 2493 . 2  |-  ( [,)  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( x  e.  RR , 
y  e.  RR  |->  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
8 nfv 1769 . . . 4  |-  F/ z ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
9 nfrab1 2957 . . . 4  |-  F/_ z { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) }
10 nfrab1 2957 . . . 4  |-  F/_ z { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  y ) }
11 rabid 2953 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { z  e. 
RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  < 
y ) }  <->  ( z  e.  RR*  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) ) )
12 rexr 9704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
13 nltmnf 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  < -oo )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  x  < -oo )
15 renemnf 9707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  x  =/= -oo )
1615neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  x  = -oo )
1714, 16jca 541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -.  x  < -oo  /\  -.  x  = -oo ) )
18 pm4.56 503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  x  < -oo  /\ 
-.  x  = -oo ) 
<->  -.  ( x  < -oo  \/  x  = -oo ) )
1917, 18sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  ( x  < -oo  \/  x  = -oo )
)
20 mnfxr 11437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- -oo  e.  RR*
21 xrleloe 11466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ -oo  e.  RR* )  ->  (
x  <_ -oo  <->  ( x  < -oo  \/  x  = -oo ) ) )
2212, 20, 21sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  <_ -oo  <->  ( x  < -oo  \/  x  = -oo ) ) )
2319, 22mtbird 308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  x  <_ -oo )
24 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  = -oo  ->  (
x  <_  z  <->  x  <_ -oo ) )
2524notbid 301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  = -oo  ->  ( -.  x  <_  z  <->  -.  x  <_ -oo ) )
2623, 25syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
z  = -oo  ->  -.  x  <_  z )
)
2726con2d 119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  <_  z  ->  -.  z  = -oo )
)
28 rexr 9704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
29 pnfnlt 11453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  <  y )
30 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  = +oo  ->  (
z  <  y  <-> +oo  <  y
) )
3130notbid 301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  = +oo  ->  ( -.  z  <  y  <->  -. +oo  <  y ) )
3229, 31syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( z  = +oo  ->  -.  z  <  y ) )
3332con2d 119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( z  <  y  ->  -.  z  = +oo )
)
3428, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  (
z  <  y  ->  -.  z  = +oo )
)
3527, 34im2anan9 853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  <_ 
z  /\  z  <  y )  ->  ( -.  z  = -oo  /\  -.  z  = +oo )
) )
3635anim2d 575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( z  e. 
RR*  /\  ( x  <_  z  /\  z  < 
y ) )  -> 
( z  e.  RR*  /\  ( -.  z  = -oo  /\  -.  z  = +oo ) ) ) )
37 renepnf 9706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR  ->  z  =/= +oo )
3837neneqd 2648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  ->  -.  z  = +oo )
3938pm4.71i 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  -.  z  = +oo ) )
40 xrnemnf 11442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  z  =/= -oo )  <->  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo ) )
4140anbi1i 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  z  =/= -oo )  /\  -.  z  = +oo ) 
<->  ( ( z  e.  RR  \/  z  = +oo )  /\  -.  z  = +oo )
)
42 df-ne 2643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =/= -oo  <->  -.  z  = -oo )
4342anbi2i 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  z  =/= -oo )  <->  ( z  e.  RR*  /\  -.  z  = -oo ) )
4443anbi1i 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  z  =/= -oo )  /\  -.  z  = +oo ) 
<->  ( ( z  e. 
RR*  /\  -.  z  = -oo )  /\  -.  z  = +oo )
)
45 pm5.61 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  RR  \/  z  = +oo )  /\  -.  z  = +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  -.  z  = +oo ) )
4641, 44, 453bitr3i 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\ 
-.  z  = -oo )  /\  -.  z  = +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  -.  z  = +oo ) )
47 anass 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\ 
-.  z  = -oo )  /\  -.  z  = +oo )  <->  ( z  e.  RR*  /\  ( -.  z  = -oo  /\  -.  z  = +oo ) ) )
4839, 46, 473bitr2ri 282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  ( -.  z  = -oo  /\ 
-.  z  = +oo ) )  <->  z  e.  RR )
4936, 48syl6ib 234 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( z  e. 
RR*  /\  ( x  <_  z  /\  z  < 
y ) )  -> 
z  e.  RR ) )
5011, 49syl5bi 225 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  e.  {
z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) }  ->  z  e.  RR ) )
5111simprbi 471 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { z  e. 
RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  < 
y ) }  ->  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) )
5251a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  e.  {
z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) }  ->  ( x  <_ 
z  /\  z  <  y ) ) )
5350, 52jcad 542 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  e.  {
z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) }  ->  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) ) ) )
54 rabid 2953 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) }  <->  ( z  e.  RR  /\  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) ) )
5553, 54syl6ibr 235 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  e.  {
z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) }  ->  z  e.  {
z  e.  RR  | 
( x  <_  z  /\  z  <  y ) } ) )
56 rabss2 3498 . . . . . . 7  |-  ( RR  C_  RR*  ->  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) }  C_  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
574, 56ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) } 
C_  { z  e. 
RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  < 
y ) }
5857sseli 3414 . . . . 5  |-  ( z  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) }  ->  z  e.  { z  e. 
RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  < 
y ) } )
5955, 58impbid1 208 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  e.  {
z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) }  <-> 
z  e.  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) } ) )
608, 9, 10, 59eqrd 3436 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) }  =  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
6160mpt2eq3ia 6375 . 2  |-  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  { z  e.  RR  |  ( x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
621, 7, 613eqtri 2497 1  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  { z  e.  RR  |  ( x  <_ 
z  /\  z  <  y ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   {crab 2760    C_ wss 3390   class class class wbr 4395    X. cxp 4837    |` cres 4841    |-> cmpt2 6310   RRcr 9556   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   [,)cico 11662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-ico 11666
This theorem is referenced by:  icoreresf  31825  icoreval  31826
  Copyright terms: Public domain W3C validator